一道中考题的解答探究

<正>1.题目呈现(2015年江苏泰州第25题)如图1,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;(3)求四边形EFGH面积的最小值.2.解法探究本题的第(1)问是正方形性质和判定相结合的一道题目.证明的思路可以先证明四边形     

图形最值问题的两个解题模型

<正>在全国各地中考中,图形最值问题的考查一直是热点问题,此类问题有两个大解题模型,举例说明如下.一、构建函数关系求解例1(2015·江苏泰州)如图1,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.求四边形EFGH面积的最小值.解析此题易证,△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,设四边形EFGH面积为S,设BE=xcm,则BF=(8-x)cm,     

涉及正方形的几个性质

1．问题的提出文[1]给出如下命题：如图1，已知四边形EFGH是正方形，E、F、G、H分别在四边形ABCD的四条边上，且AH=BE=CF=DG，则四边形ABCD是正方形．受这个问题的启发，笔者发现并证明了一组有趣的结论．     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

一题多解 拓宽思维

<正>(2017年陕西中考第14题)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为.这是一道由课本的图形变化而得的几何题,源于课本但高于课本.可以采用旋转、割补等多种方法,从不同角度求解,拓宽学生的数学思维.     

以“会标”为背景的中考题欣赏

20 0 2年 8月在北京召开的国际数学家大会的会标(以下简称会标 )是取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》 ,它在 2 0 0 3年中考中受到各地命题者的青睐 ,各地的中考试题中出现了多个以会标为背景的中考题 ,现介绍如下 ,供同学们参考 .一、利用丰富的边、角相等关系证明三角形全等例 1　 ( 2 0 0 3年安徽省中考数学试题 )如图是 2 0 0 2年 8月在北京召开的第 2 4届国际数学家大会会标中的图案 ,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形 .求证 :△ABF≌△DAE .证明 :∵四边形ABCD ,EF GH都是正方形 ,∴∠BAF =90°-∠DAE=∠ADE .在Rt…     

关注模型 妙解中考题

同学们在学习勾股定理时,利用图1～图3中相关图形的面积关系证明了勾股定理.在图1中,S正方形ABCD=4S△ADE+S正方形EFGH,在图2中,S正方形ABCD=4S△AEF+S正方形EFGH,在图3中,S梯形ABCD=2S△ABE+S△ADE.图1图2图3勾股定理的证明是同学们学习过的非常重要的数学模型,利用它可顺利解决相关中考试题.     

一般截割定理

(一)一个流行趣题的启示近几年来,流行这样一道几何题: 任意四边形ABCD一组对边AD和BC分别被点E、H和F、G三等分,问四边形EFGH的面积是ABCD面积的几分之几? ABCD是任意的四边形(图1,a),问的却是“面积比是几分之几”,如果命S_(BFGH)=n/m S_(ABCD),那么题暗示我们,n/m是不会随着四边形形状而改变的,它是与ABCD形状无关的常数。限定探索。对(?)ABCD(图1,n),n/m=?显然,n/m=     

让点“动”起来,一题多变

<正>我们在处理课本习题时要根据题目的特征,让其中的元素"动"起来,让习题"活"起来,通过一题多变,深入挖掘其隐藏的价值,扩展我们的思路,起到举一反三的作用.题目一(人教版义务教育教科书八年级《数学》下第62页第15题)如图1,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.分析要证AF-BF=EF,观察图形可知AF-AE=EF,所以只需证明AE=BF即     

一道立几习题的应用

高中课本《立体几何》(甲种本)第51面复习参考题A组第10题“三个平面两两相交,有三条交线求证这三条交于一点交互相平行。”(以下简称习题)该题84年被选作高考理科试题之一。其实与该题异曲同工的有这样一道提,“平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四条边上,那么(1)如果EH//FG,则EH//BD,FG//BD;(2)如果EH与FG所在的两条直线相交,则交点在直线BD上。如图1和2”。此题与习题相比,叙述更加具体,学生容易入手,教师应向学生指出两题的一致性,使两题相互映证,     

一道小题的多种解法

<正>在求解数学问题时,由于思考的角度不同,一些典型问题往往有不止一种的解答方法,这就是通常所说的一题多解.一题多解并不是目的,通过它可以训练和培养思维的灵活性和创造性.下面通过一道例题加以说明.例如图1,已知四边形ABCD是正方形,点E在BF上,若四边形AEFC是菱形,则∠EAB=_____.     

一道中考题的多种解法

<正>笔者参加了2014年临沂市中考数学试题的阅卷,学生对第25题的解题方法多种多样,可谓精彩纷呈.现作以总结,供同学们学习参考.2014年临沂市中考数学第25题:如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.(1)证明:AM=AD+MC;     

课本——中考题的“源头活水”——从中考看一道课本题目的衍变

课本是《课程标准》的物化,是中考命题的蓝本,同时也是中考命题的天然素材,有了课本这个“源头活水”,一年一度的中考题才会始终给人一种“清如许”的感觉.每年都有大量的中考题目直接出自课本,或撷此作基,繁衍生息.本文兹举一例,探其衍,究其变,力图把握立意,指导教学.题例(北师大版9年级数学下第二章《二次函数》P75复习题中的A组第7题)图1如图1(单位:m),等腰直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1)写出y与x的关系式;(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?答案(1)y=2x2(0     

一道经典几何题的多种解法

<正>一题多解有利于调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创新思维能力.下面,以八年级一道经典几何题为例.题目如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.一、利用全等三角形的性质证明两线段相等解法1如图2,在AB上截取AG,使得AG=CE,易得BG=BE,     

一道试题解法的精彩演绎

一、原题呈现例1(1)如图1,若BC=6,AC=4,∠C=60°,求△ABC的面积;(2)如图2,若BC=a,AC=b,∠C=α,求△ABC的面积;(3)如图3,在四边形ABCD中,若AC=m,BD=n,对角线AC、BD交于O点,它们所成的锐角为β,求四边形ABCD的面积.说明:这是《中学数学》(下)2014年第8期文1给出的一道关于三角函数方面的复习题.评析:本题源自高中课本,主要目的是引导学生经历从特殊到一般的过程去探索并发现三角形的面积公     

一道初中选拔联题的探究

2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛第14题:图1如图1:已知点A在BG上,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形,其面积分别为7、11,则△CDE的面积为.这是一道不算难的题,利用sin∠CDE=sin(180°-∠ADG)=sin∠ADG,有S△CDE=12CD·DE·sin∠CDE=12AD·DG·sin∠ADG=12AD·AG=12槡7·槡11-7=槡7.笔者在研究这道题的过程中,发现还可以探得这个图中其它有意思的结论:分别求S△ADE和S△BDE的面积;并指出面积S△CDE、S△ADE、S△BDE三者之间的关系(如图2).     

一道课外练习题的另解

<正>《中学生数学》2015年(4月下),课外练习及参考解答栏目中,初三年级第1题.在正方形ABCD中,N为CD的中点,M在AD上,且∠CBM=∠NMB,若AB=1,求四边形BCNM的面积.分析如图1,线段BM、MN把边长为1的正方形ABCD分割成三部分,Rt△AMB、Rt△MDN和四边形BCNM.只需求出Rt△AMB和Rt△MDN     

在“MM教育方式”指导下运用计算机辅助教学一得

首先让我们看一个问题：如图1，在四边形ABCD中，分别从四个顶点A、B、C、D向对角线作垂线AE、BF、CG、HH，垂足分别为E、F、G、H．求证：四边形ABCD一四边形EFGH．我们把这个问题相应的图形输入计算机，让D点运动，当D点进入△ABC之内时，凸四边形一ABCD变为四四边形ABCD，我们看到四边形EFGH也变为四四边形（图2）；当D点运动到与A关于BC的异侧时，凸四边形变为有自交点的四边闭析线（蝴蝶形），四边形EFGH也变化为蝴蝶形（图3）．试问：它们是否能保持分别同原图形相似呢？按初中几何课本所说：“形状相同的图形是…     

注意培养学生作草图的能力

一、问题的提出几何证题,离不了画草图。一个符合题意的、直观的草图,往往是我们由已知通向未知的桥梁。在平几复习课中,笔者布置过这样一道习题:“已知四边形ABCD的对角线AC、BD垂直且相等,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH是正方形。”为画草图,有一学生反复三次都没成功,对角线相等了但不垂直,垂直了而又不相等,最后只得画一正方形代之。可见作图能力的高低直接影响解     

对三棱锥的一个截面的探讨

现行高级中学课本《立体几何》（必修本）P62，有这样一道题求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．这是一道看似平淡无奇、实则回味无穷的好题．如图I，利用线面平行的性质不准证明．本文拟对截面EFGH作点探讨，得到一些饶有趣味的命题，并例析此截面的广泛应用．IM面特殊化由截面＊＊CH平行移动而得命gi（l）当E为AB中点，且SA一BC时，截面EFGH是菱形；（2）当SA上BC时，截面EFGH是矩形；（3）当E为AB中点，SA—BC，SA上BC时，截面EFGH是正方形．对棱SA、BC的长H相对位置已定，则有命…