立体几何总复习

第一章直线与面—、例题例1 如图1—1(a),点P、Q,R、S分别是空间四边形ABCD四边的中点: (1) 若空间四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为a,b,AC和BD所成的角为θ,求四边形PQ-RS的面积。     

一道试题解法的精彩演绎

一、原题呈现例1(1)如图1,若BC=6,AC=4,∠C=60°,求△ABC的面积;(2)如图2,若BC=a,AC=b,∠C=α,求△ABC的面积;(3)如图3,在四边形ABCD中,若AC=m,BD=n,对角线AC、BD交于O点,它们所成的锐角为β,求四边形ABCD的面积.说明:这是《中学数学》(下)2014年第8期文1给出的一道关于三角函数方面的复习题.评析:本题源自高中课本,主要目的是引导学生经历从特殊到一般的过程去探索并发现三角形的面积公     

椭圆内接四边形面积最大值的一种简捷求法

如图,已知椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),A、B、C、D是椭圆上四点,求四边形ABCD面积的最大值.我们的习惯思维是连结对角线AC或BD,将四边形ABCD的面积转化为两个三角形面积之和,从而建立四边形ABCD面积的目标函数,再求面积的最大值.但是,因为涉及     

浅谈用旋转法作辅助线证明几何题

<正>1.试题呈现(2018广州中考第25题)如图1,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC(1)求∠A+∠C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE~2=BE~2+CE~2,求点E运动路径的长度.     

用割补法解面积问题

<正>数学是一扇要用智慧开启的门,重要的在于不断探索,从中找出规律和方法,下面就是运用割补法解面积问题的几个例子.一、如图1,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积为24cm2则AC长为多少?解把△ADC绕点A顺时针旋转90°,得△ABC′,如图2所示:∵AB=AD,∴△ADC≌△ABC′.∵∠ABC′+∠ABC=∠ADC+     

数学问题解答

1989年3月6号问题解答 (解答由问题提供人给出) 481.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是凸四边形,AC、BD相交于O,若△AOB的面积为36,△COD的面积为64,四棱锥的高为9.求这样的四棱锥的最小体积。     

2014年北京市中学生数学竞赛中一道题的另解

<正>题目如图1,四边形ABCD中,∠ACB=∠ADB=90°,AC与BD相交于点E,AC=BC,AD=4,BD=7,求△AEB的面积.此题是2014年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题填空题的第6题,文〔1〕竞赛组委会给出了一种参考解法.当然,竞赛委员会给出的解法,是不超出北京市当年数学教学进度的学生可以使用的解法.若作为一般竞赛     

面积法巧证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:1OI-O1J=O1B-O1D.图1这是《中等数学》2006年第1期奥林匹克数学问题高中169.这里利用面积证法给出一个连初中生都能知晓的证法.证明连结D     

中点四边形

中点四边形即顺次连接四边形各边中点而得到的四边形. 如图,E、F、G、H分别是四边形,ABCD各边中点,则有EF∥1/2AC∥HG,HE∥1/2BD     

一道训练学生发散思维的试题

在一次学校月考中,笔者命制了一道试题如下如图,⊙M与x轴交于A、D两点,与y轴正半轴交于B点,C是⊙M上一点,且A(-2,0),B(0,4),AB=BC.(1)求圆心M的坐标;(2)求四边形ABCD的面积;(3)过C点作弦CF交BD于E点,当BC=BE时,求CF的长.图1图2笔者在阅卷和考后试卷评讲过程中,发现学生有许多新     

从两道课后习题看共性和通法

<正>在新北师大版九上第四章总复习中,有两道较难的习题,一道需要做辅助线,一道要求三条线段的比例.习题1如图1,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在DC的延长线上取一点E,连接OE交BC于点F.已知AB=a,BC=b,CE=c,求CF的长.习题2如图2,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR     

求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

四边形的一个性质及其推论

<正>性质如图1,在四边形ABCD中,若∠BAD+∠BCD=α(0°<α≤180°),则(AC·BD)²=(AB·CD)2=(AB·CD)²+(AD·BC)2+(AD·BC)²-2AB·BC·CD·ADcosα.证明如图2,过点A、D分别作射线AE、DE交于点E,且使∠DAE=∠BCD、∠ADE=∠BDC,则△EDA∽△BDC.     

一道课外练习题的另解

<正>《中学生数学》2015年(4月下),课外练习及参考解答栏目中,初三年级第1题.在正方形ABCD中,N为CD的中点,M在AD上,且∠CBM=∠NMB,若AB=1,求四边形BCNM的面积.分析如图1,线段BM、MN把边长为1的正方形ABCD分割成三部分,Rt△AMB、Rt△MDN和四边形BCNM.只需求出Rt△AMB和Rt△MDN     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

面积法所证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:     

四边形的面积公式

本文将给出四边形的八个优美的面积公式.结论1记四边形ABCD的面积为S,AC=m,BD=n,AC,BD的夹角为α.则S=1/2mnsinα①O,线段AC是四边形内部的一条对角线,取其方向上的一个单位法向量e,则点B,D到AC的距离分别为|OB.e|,|OD.e|.     

2011年全国高中数学联赛平面几何题的背景探讨

2011年全国高中数学联赛加试平面几何试题为：如图1,P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点．若∠BPA=∠DPA,证明：∠AQB=∠CQB．     

解法多样 情理之中 意料之外 余味悠长——2012年济南市学考数学第26题赏析

试题如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2(3^1/2),AC、BD相交于点O.（1）求边AB的长;（2）如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板