两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

巧换元 妙解方程(组)

<正>有些方程或方程组不易直接求解,若巧换元,还可妙解题.换元的关键是选择换元对象,确定换元方法,有时还要做些变形,才能妙解题.换元是一种解题技巧,而巧换元则是巧中之巧,现举例说明.例1解方程(4x-1)(3x-1)(2x-1)(x-1)=8x⁴.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x4.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x²-5x+1)(6x2-5x+1)(6x²-5x+1)=8x2-5x+1)=8x⁴.(1)     

数形结合巧解题

<正>题目已知椭圆3x²+2y2+2y²-6x=0(1)与x2-6x=0(1)与x²+y2+y²-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x2-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x²-6x+2m=0,即Δ=b2-6x+2m=0,即Δ=b²-4ac>0,∴0相似文献   

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

关于丢番图方程X~3±1=1267y~2的整数解

关于丢番图方程x³±1=1267y3±1=1267y²的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x2的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x³-1=1267y3-1=1267y²有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x2有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x³+1=1267y3+1=1267y²仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

一类Lienard型p-Laplacian方程周期解的存在唯一性

利用重合度理论和一些分析技巧,研究了一类Lienard型p-Laplacian方程(φ_p(x^((n-1))(t)))'+f(t,x(t),x((n-1))(t)))'+f(t,x(t),x^((n-1))(t))+(?)gk(t,x(t),x(t-τ_k(t))=e(t)获得其存在周期解的充分条件,并给出了在p≥2,n=2,f(t,u,v)=h(t,v)情形下存在唯一周期解的充分条件.所用方法与已有文献不同,结果是新的且与时滞τ_k(t)有关.     

幂函数不等式的错解剖析

<正>例若(a+1)^(-(1/3))<(3-2a)(-(1/3))<(3-2a)^(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x(-(1/3)),则实数a的取值范围是_____.错解1因为函数y=x^(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x(-(1/3))为减函数,故不等式可化为a+1>3-2a.解得a>2/3.错因剖析忽略了函数y=x^(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x(-(1/3))的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),以及函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).错解2因为函数y=x^(-(1/3))的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).故不等式可化为     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

学会用化归法思考高中代数问题

<正>化归法是通过数学知识和方法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题的数学方法.在下面的内容中,将重点介绍化归法在高中代数中的应用.例1(1999年高考试题理科)若(2x+√3)⁴=a_0+a_1x+a_2x4=a_0+a_1x+a_2x²+a_3x2+a_3x³+a_4x3+a_4x⁴,那么(a_0+a_2+a_4)4,那么(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)2的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4)"之间的联系,就说明你学会化归法的使用方法.     

求圆的方程问题的四种解法

<正>在数学的学习过程中,如果对一题有多种解法,则说明对知识有更多的理解;对知识的应用也更加熟练.下面就以一道求圆的方程为例:已知圆C_1:x²+y2+y²+2x+2y-8=0与C_2:x2+2x+2y-8=0与C_2:x²+y2+y²-2x+10y-24=0相交于A、B两点,求圆心在直线y=-x,且过A、B两点的圆的方程.方法一(待定系数法)     

例谈函数性质在解竞赛题中的灵活应用

<正>一、中心对称的应用构造函数,使函数关于某点成中心对称.例1(睿达杯2012年第8题)设x,y是实数,且满足{(x-1)⁵+2012 5(x-1)5+2012 5(x-1)^(1/2)=-1,(y-2)(1/2)=-1,(y-2)⁵+2012 5(y-2)5+2012 5(y-2)^(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x⁵+2012 5x5+2012 5x^(1/2),则f(x)是R上的奇函数,图像关于原点对称,     

活用幂的运算法则解题

<正>幂的运算法则有如下四条:a^m·am·aⁿ=an=a^(m+n);(a(m+n);(a^m)m)ⁿ=an=a^(mn);(ab)(mn);(ab)^m=am=a^m bm b^m;am;a^m÷am÷aⁿ=an=a^(m-n)在解决有关幂的问题时,若能注意活用这些法则,常能使问题化繁为简,化难为易.一、直接运用在运算中,直接运用幂的运算法则进行解答.例1已知x(m-n)在解决有关幂的问题时,若能注意活用这些法则,常能使问题化繁为简,化难为易.一、直接运用在运算中,直接运用幂的运算法则进行解答.例1已知x³·x3·x^a·xa·x^(2a+1)=x(2a+1)=x⁽³¹⁾,求a的值.     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

函数不等式中的参数取值范围的求解方法

<正>求函数不等式f(x)≥g(x)中的参数的取值范围(最值)的方法到底有几种?何时用哪种方法求解速度快?对此问题,本文作一些归纳、总结、探究,以飨读者朋友.例1定义在R上的奇函数f(x)对任意x¹,x1,x²(x2(x¹≠x1≠x²)都有(x2)都有(x¹-x1-x²)[f(x2)[f(x¹)-f(x1)-f(x²)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a2)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a²e2e^a-aa-a²)     

有理分式函数的探究

<正>由两个多项式函数的比形成的函数f(x)=P(x)/Q(x)=(a_0+a_1x+a_2x²+…+a_px2+…+a_px^p)/(b_0+b_1x+b_2xp)/(b_0+b_1x+b_2x²+…+b_qx2+…+b_qx^q)称为有理分式函数(Rational fractional Functions).其图像和性质在现行新的高中教材中未作专门介绍,而它的图像综合了平移变换和伸缩变换,有时还涉及到对称变换,所以一直被高考命题者看好.教师在处理有理分式函数时没有     

纠正一道竞赛试题参考答案的错误

<正>2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题第1题:若y=log_(2016)(x²-ax+65)的值域为R2-ax+65)的值域为R⁺,那么实数a的取值范围是.错误参考答案1由值域为R+,那么实数a的取值范围是.错误参考答案1由值域为R⁺,所以x+,所以x²-ax+65>1,即x2-ax+65>1,即x²-ax+64>0,从而Δ<0,解得-16相似文献   

数学解题应遵循“多想少算”原则

1问题的提出在辅导一名高三学生时,遇到了这样一个数学问题:函数f(x)=1+3x²/|x|√1+x²(x≠0)的最小值为__.     

椭圆中的最值问题

<正>最值问题是解析几何中的一类常考问题,具有综合性强、思维量大等特点,经常作为压轴题出现.下面以椭圆为例,谈一下破解策略,供大家参考.策略一、借助二次函数的性质例1已知点P(x,y)在椭圆x²/8+y2/8+y²/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|2/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|²=x2=x²+(y-1)2+(y-1)²,且x2,且x²=     

关于椭圆、双曲线切线方程的一个结论

<正>题目若点M (x_0,y_0)在圆x²+y2+y²=1上,则过点M的圆的切线方程是____.解(1)当x_0y_0≠0时,设过点M的圆的切线l的斜率为k,因为OM⊥l,所以有k·k_(OM)=-1,又因为k_(OM)=y_0/x_0,x所以x_0/y_0.