一道中考数学题的解答与变式思考

<正>2018年北京市中考数学第12题:如图1,点A、B、C、D在⊙O上,■,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.本题在全卷中是一道简单的问题,解答并不难,但是图1中■,∠CAD=30°,则∠CAB=30°,AC为四边形ABCD的对角线,也是∠BAD的平分线,蕴涵了极为丰富的几何内容.     

2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题解答

题目(重庆市初中数学竞赛)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.求证:BD=CD.分析由题设中的已知条件,△ABC为等腰直角三角形.易求得∠BAD=15°,∠ACD=75°,∠DCB=15°.要证明BD=CD,即要证明∠DBC=15°,或证明点D在BC的中垂线上.     

有关角格点问题的拓展探究

<正>1原练习题的呈现和说明原练习题的呈现《中学生数学》2020年7月下(初中版)课外练习初二年级第3题:如图1,在等腰△ABC中,顶角∠A=80°,在△ABC内取一点M,使∠MBC=30°,∠MCB=10°,计算∠AMC的值.说明在等腰△ABC中,顶角∠A=80°,则两个底角∠ABC=∠ACB=50°.已知∠MBC=30°,∠MCB=10°,则∠ABM=20°,∠ACM=40°,∠BMC=140°,(以上所得角的度数在另解时将直接引用).     

新题征展(70)

A 题组新编 1.(1)在△ABC中,已知AB=AC=1,∠A=20°,E,D分别是AB,AC上的动点.求BD DE EC的最小值dmin; (2)在(1)中,将∠A=20°改为∠A=30°,求dmin;     

学习几何,重在联想——从一道竞赛题想到的

2010年全国初中数学联赛试题中有这样一道题:例1在△ABC中,已知∠CAB =60°,D,E分别是边上的点,且∠AED=60°,ED+ DB=CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB=A.15°B.20°C.25°D.30°分析考虑到题目中给出的已知条件“ED+ DB=CE”,辅助线可能有两种作法:①在CE上截取;②延长DB.     

从圆的定义谈起

湖北教育出版社出版的数学《双基训练》中有这样一道几何题; 在等边三角形ABC外作一锐角∠PAC,在AP上截取AD=BC,求∠BDC的度数(图1) 本题若用直线形知识求解,则过程较繁,即∠BDC=(1/2)(180°-∠CAD)-∠ADB=90°-(1/2)∠CAD-(1/2)(180°-60°--∠CAD)=90°-(1/2)∠CAD-60° ∠CAD=30°若用圆的定义解此题,则可达事半功倍的效果。由题设知AD=AC=AB=BC,即点D,     

一道课外练习题的解法探析

《中学生数学》(初中)2011年第9期(下)"课外练习"初三年级的第3题是:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB的度数.此为1983年前南斯拉夫数学奥林匹克试题,虽有一定的难度.但不乏思考性和趣味性.下面将探析该题的另几种新颖、独特的解法,供读者参考.     

凸多边形边数的另解

<正>贵刊2016年12月下智慧窗栏目刊登的《凸多边形的边数》中的原题:已知凸n边形A_1A_2A_3…A_n的所有内角都是15°的整数倍,且∠A_1+∠A_2+∠A_3=450°,而其它内角都相等,那么n最少是,最多是.原解据题设知:∠A_1+∠A_2+∠A_3=450°,故可设∠A_4=∠A_5=…=∠A_n=x·15°,由此得:450°+(n-3)x·15°=(n-2)×180°,30+(n-3)x=(n-2)×12.     

构造图形 巧解三角

<正>解(证)三角题的一般方法是通过三角函数的恒等变形来进行,这是基本的方法,也是很重要的方法,但不是唯一的方法.事实上,有些三角题还可以构造图形,用图形性质来解答,而且方法巧妙,值得一学.现举例说明.例1求tan20°+4sin20°的值.解由式子中角的特点,可构造直角三角形ABC,使∠C=90°,AB=2,BC=1(如图1),则CA=3^(1/2),∠A=30°,∠ABC=60°.作∠CBD=20°,则DB=sec20°,DC=tan20°.     

2006中国数学奥林匹克(第2天)

1在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE AP=PD.证设AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n.因为∠ACP ∠PCB=90°=∠PBC ∠PCB,所以∠ACP=∠PBC.图1题1图延长AD至Q,使得∠AQC=∠A     

构造辅助圆巧解中考题

<正>先看2015年山东威海的一道中考题:如图1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为().(A)68°(B)88°(C)90°(D)112°本题若按常规方法,可利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理,通过列方程求解.设∠CAD=α.由AB=AC=AD,     

菱形中的一道精彩试题

<正>题目已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G为垂足.求证:四边形CEGF是菱形.一、一题多证思路分析1先证四边形CEGF是平行四边形,再证EG=EC.证法一如图1,∵AE平分∠BAC,EC⊥AC,图1EG⊥AB,∴EC=EG,EG∥CF.又∵∠ACD+∠CAD=90°,     

利用辅助圆解竞赛题

<正>在处理平面几何中的许多问题时,常需要借助于圆的性质.而我们需要的圆有时题设中并没有;有时虽然题设中有圆,但是此圆并不是我们需要的圆,这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要的圆找出来.一、利用圆的定义作圆例1(江苏省竞赛题)如图1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,     

一道第九届丝绸之路数学竞赛题别证

<正>(第九届丝绸之路数学竞赛题)在凸四边形ABCD中,∠ADB+∠ACB=∠CAB+∠DBA=30°,且AD=BC.证明:线段DB,CA,DC可以围成一个直角三角形.本文在此给出这道赛题的两个别证.证明设∠CAB=a,     

解题方法的多样化

题目《数学(七年级下册)》(北师大版)复习题第186页第二题:一个零件的形状如图1所示:按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°,李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格,     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

一道条件多余的赛题

2010年北京市中学生数学竞赛初二试题第2题:如图1,直线k∥l,∠4-∠3=∠3-∠2=∠2-∠1=d>0,其中∠3<90°,∠1=50°,则∠4的最大可能整数值是(     

勾股定理在平面和空间的几个推广

2003年全国普通高考文史类第15题,是勾股定理在空间的推广问题,现就平面几何中勾股定理再谈几个平面和空间的推广形式. 勾股定理在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C。所对的边分别为a、b、c,其中∠C=90°,则     

例谈阴影部分面积的求值技巧

求阴影部分面积,通常是根据图形的特点,将其分解、转化为规则图形求解.本文介绍在转化过程中的几种常用方法.1直接法当已知图形是读者所熟悉的基本图形时,先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小,然后直接代入公式进行计算.图1例1如图1,在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P,则图中阴影部分的面积为A.32πB.43πC.43πD.π3解析依题设,有EN=PE=AB=1,EC=21BC=23.在Rt△ECN中,NC=EN2-EC2=1-43=21.从而有∠NEC=30°,同理:∠MEB=30°,所以∠MEN=180°-2×30°=120°,因此S扇形MEN=1203π6.012=π3.故选D.2和差法当图形比较复杂时,可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉图形的面积的和或差来计算.例2如图2,AB和AC是⊙O的切线,B、C为切点,∠BAC=60°,⊙O的半径为1,则阴影部分的面积是图2A.3-32πB.3-3πC.23-3πD.23-π解析连结OB、OC,则S阴影=S四边形ABOC-S扇形OBC,由于∠BOC=180°-60°=120°,所以S扇形OBC=1326...     

一道证明线段相等的经典几何题

题目 (2010年无锡市初中毕业升学考试第26题) (1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP平分线上一点,若∠AMN=90°,求证:AM=MN.