三棱锥的外接球半径的计算方法

<正>纵观近几年全国卷和其他各省市高考卷,对于简单多面体外接球的考查几乎成了高考必考题之一,其中又以对三棱锥的外接球的考查居多.学生在平时学习中,对三棱锥的外接球相关问题的求解普遍感觉困难,主要是因为不善于抓住几何体的结构特征,不能正确寻找球心和半径,下面主要介绍求三种常见类型的三棱锥的外接球半径的计算方法.     

空间几何体外接球问题探究

<正>球是特殊的空间几何体,具有与对称有关的多方面的性质,由于多面体外接球具有唯一性,因此以空间几何体外接球为载体的几何问题成为高考试题的热点和难点.解决外接球半径问题的关键是球心的位置,而确定球心位置依据是球心的两个特征:一是球心到球面各点的距离都等于半径,二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.本文从以下几个方面探究空间几何体外接球半径问题.     

简单多面体的外接球

<正>简单多面体外接球和内切球问题是高考的热点,也是教学中的重点和难点,此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题,下面我们对常见问题题型作一些归纳、总结.(一)通过补形来解决例1在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,求该三棱锥的外接球的表面积.     

探寻四面体外接球球心位置

如何处理多面体的外接球的问题？关键在于确定球心,由球心的位置求出半径,从而解决其他问题．由于空间不共面的四个定点确定唯一的球面,对于任何多面体的外接球面的问题,都可以先选定四个顶点确定其外接球球心,求出半径,再解决与其他顶点相关的问题．     

例谈棱柱与棱锥外接球球心的确定

球是高中数学中的重要内容之一,在历年高考题中,有关简单空间几何体的外接球问题屡见不鲜.解决这类问题的关键是球心的确定,此时应紧抓一个关键点:球心到各顶点距离都相等,下面仅就棱柱与棱锥的外接球问题浅谈如何确定简单空间几何体外接球的球心.     

例谈三棱锥外接球问题的求解策略

<正>三棱锥的外接球是其球面经过三棱锥的四个顶点的球,如何解决三棱锥的外接球问题?本文介绍三种基本方法.1定义法例1(2020年广东省高考二模试题)如图1,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=2a,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成A_1DE,连接A_1C.若当三棱锥A_1-CDE的体积取得最大值时,     

求多面体外接球半径的一个统一公式

<正>求多面体外接球半径是高考的常考知识点,常见的方法有三种:一是根据多面体的特征,将多面体进行补形,补成长方体或正方体,正方体或长方体的对角线即为多面体外接球的直径;二是找出多面体外接球的球心,再构造含有球半径的三角形,转化为解三角形问题;三是建立适当的空间直角坐标系,设出球心的坐标,通过球心到各顶点的距离相等列出方程组,从而求出球心的坐标,进而求出外接球的半径.下面根据第二种解法推导出一个统一的求多面体外接球的公式.     

外接球球心的确定

在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1　例1图例1　已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26…     

聚焦核心素养 展示生长课堂——以“多面体的外接球问题”的教学为例

多面体的外接球问题是高考数学中的热点问题,解决此类问题的关键是确定球心的位置.本文结合教学实践,着重介绍三种确定球心的方法(定义法、补形法、性质法),谈谈直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养的培养.     

几何体与球的接切问题

<正>一、几何体的外接球问题1.与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心(体对角线的中点)与外接球心重合,求出体对角线长,进一步求出外接球半径.在长方体ABCDA1B1C1D1中,棱AB,AD,AA1的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为().因D_1B=(a²+b2+b²+c2+c²)2)¹/2,故外接球半径R=((a1/2,故外接球半径R=((a²+b2+b²+c2+c²)2)¹/2)/2.     

几何体的外接球问题

<正>我们在解题时,常常会碰到一些关于几何体的外接球的表面积、体积等问题.经过一段时间的归纳总结,我发现解决这一类问题的关键是找到外接球的球心,而找球心一般有以下三种类型:第一种类型:外接球的球心即几何体底面多边形的外心.例1三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.1等腰四面体的外接球三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体.设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=24a2 b2 c2.特别地,当a=b=c时,棱长为a的正四面体的外接球半径为R=46a.例1(2003年…     

三棱锥外接球半径的求法溯源

<正>有关多面体的外接球在高考近十年中连续出现多次,特别是2016～2020年,每年都有考题涉及外接球问题,在2018年全国3卷理科第10题、文科第12题、2019年全国1卷理科第12题,居于选择题核心压轴位置.如果多面体存在外接球,那么在此多面体内能找到一个三棱锥,这个三棱锥的外接球与多面体是同一个外接球,     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道，每个四面体都有外接球，球心就是各条棱的中垂面的交点，这个点到各个顶点的距离都相等．给出一个四面体求它的外接球半径，是一类常见的问题。下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法．     

应用长方体模型解决四面体问题

<正>四面体是常见的空间几何体,以其为载体的试题形式多样,需要我们具备较强的空间想像力.如果我们能将与四面体有关的问题,关联到长(正)方体中,则可以将问题简化.一、侧棱两两垂直的四面体转化长(正)方体例题1在三棱锥A-BCD中AB、AC、AD三条侧棱两两垂直,AB=1,AC=2,AD=3.求三棱锥A-BCD外接球的半径.     

球心在哪里

球是几何中重要的几何体,近几年来,高考、竞赛中多次出现,学生解决涉及球的问题颇感困难,而解决这类问题的关键是确定球心的位置!球心在哪里呢?1.在空间中,到线段两端点距离相等的点的集合是平面,叫线段的中垂面.若点A、B是球面上两点,则球心在线段AB的中垂     

多面体外接球半径求解策略

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用,现就通过例题来探讨这类问题的求解策略．     

直击四面体外接球的半径

<正>四面体的外接球问题是新高考中的热点问题,需要较强的空间想象力.随所给条件的不同,难易差别较大,常出现在客观题的压轴位置.本文尝试对这类问题进行探究,希望对大家解决此类问题有所帮助.1问题的一般模型如图1,球O为四面体ABCD的外接球,     

试谈立体几何中《多球》问题的解法

我们知道,立体几何中有关球的问题常常利用平面几何中圆的有关性质、定理和计算法则去解决。可是对于多个球在一起的有关问题应当用什么办法去解决呢?我认为关键在于抓住它们的球心位置和半径即可迎刃而解。现举例说明: 1.把半径为1的四个球垒成两层放在桌面上,     

多面体外接球半径求解策略

<正>如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的