对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

椭圆中的最值问题

<正>最值问题是解析几何中的一类常考问题,具有综合性强、思维量大等特点,经常作为压轴题出现.下面以椭圆为例,谈一下破解策略,供大家参考.策略一、借助二次函数的性质例1已知点P(x,y)在椭圆x²/8+y2/8+y²/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|2/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|²=x2=x²+(y-1)2+(y-1)²,且x2,且x²=     

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

借助中间桥梁巧化问题

<正>1.问题提出(2011年高考湖南文第8题)已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=-xx-1,g(x)=-x²+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-22+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2)](B)(2-2(1/2)](B)(2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2))(C)[1,3](D)(1,3)2.问题解读本题属于"方程问题",而且是"超越方程",难以直接入手!一般地,解决"超越方程"往往利用转化与化归的思想,把问题转化为y=f(x)与y=g(x)的交点问题.在同一坐标系中,画出y=f     

一道三元分式不等式引出的探究

《中等数学》第681号问题为:已知a,b,c为两两不同的实数,证明:(a-b/b-c-3)²+(b-c/c-a-3)²+(c-a/a-b-3)²≥29.命题人通过换元、配方等代数方法证明,具体过程如下:设a-b=x,b-c=y,c-a=-x-y,则原不等式等价于(x/y-3)²+(y/-x-y-3)²+(-x-y/x-3)²≥29■(x/y-3)²+(y/x+y+3)²+(y/x+4)²≥29.令t=x/y,于是只要证(t-3)²+(1/t+1+3)²+(1/t+4)²≥29■(t-3)²(t+1)²t²+(3t+4)²t²+(4t+1)².     

三角形的面积问题探索

<正>一、直接求三角形的面积例1(2016年全国竞赛试题)如图1,已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为().(A)12(B)15(C)16(D)18简析利用方程先求出圆的半径.设OC=x,则OA=OD=x+2.∵OD⊥AB于C,∴AC=CB=(1/2)AB=4.在Rt△OAC中,(OC)²+(AC)2+(AC)²=(OA)2=(OA)²,即x2,即x²+42+4²=(x+2)2=(x+2)²,解得x=3,即OC=3.     

关于三次函数切线问题的思考

<正>2014年北京高考文数试卷的20题如下:已知函数f(x)=2x³-3x,(Ⅱ)若过点(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.无独有偶,2016年沧州质检文科试卷上的21题与其相似:已知函数f(x)=ax3-3x,(Ⅱ)若过点(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.无独有偶,2016年沧州质检文科试卷上的21题与其相似:已知函数f(x)=ax³-3x,g(x)=xlnx+63-3x,g(x)=xlnx+6^(1/2)/9,且函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在交点处存在公共切线,(Ⅱ)若     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

奇偶函数对称性应用举隅

<正>奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称,该性质大家并不陌生,如能借鉴奇偶函数的这两种对称性,或能为解题另辟蹊径.例1已知函数f(x)=log_2(2x+1)/(4x-3)的图像是一个中心对称图形,则其对称中心为.解析设函数f(x)=log_2(2x+1)/(4x-3)图像的对称中心为(a,b),则g(x)=f(x+a)-b=log_2     

利用导数求参变量范围题的错题分析

<正>题目设函数f（x）=-a（x²+1）^1/2+x+ a,x∈（0,1）a∈R⁺.若f（x）在（0,1）上是增函数,求a的取值范围.错解f′（x）=（-ax）/（x²+1）^1/2+1,∵f（x）在（0,1）上是增函数,∴在x∈（0,1）上有f′（x）>0,     

巧换元 妙解方程(组)

<正>有些方程或方程组不易直接求解,若巧换元,还可妙解题.换元的关键是选择换元对象,确定换元方法,有时还要做些变形,才能妙解题.换元是一种解题技巧,而巧换元则是巧中之巧,现举例说明.例1解方程(4x-1)(3x-1)(2x-1)(x-1)=8x⁴.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x4.解先搭配括号展开.原方程变形为(4x²-5x+1)(6x2-5x+1)(6x²-5x+1)=8x2-5x+1)=8x⁴.(1)     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

构造单调函数解题

函数的单调性是函数的一个重要性质,对有些数学问题,根据题目条件及结构特征,恰当地构造单调函数,利用函数的单调性,常能获得简捷、直观的解法.1.求值例1设x,y为实数,且满足(x-1)3 2003(x-1)=-1(y-1)3 2003(y-1)=1.则x y=.解原方程组化为(x-1)3 2003(x-1)=-1(1-y)3 2003(1-y)=-1.构造函数f(t)=t3 3t,易知函数f(t)=t3 3t在(-∞, ∞)上单调递增,而f(x-1)=-1=f(1-y),所以x-1=1-y,即x y=2.2.确定大小例2若(log23)x (log35)y≥(log35)-x (log23)-y,则()A.x-y≥0B.x y≥0C.x-y≤0D.x y≤0解由条件得(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,设函…     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

例谈条件求值

<正>在解条件求值时,根据已知条件和待求值的代数式之间的联系,灵活选择解法,将会收到事半功倍的效果,现介绍几种解条件求值的方法.例1已知x=2,求x⁴-3x4-3x³+4x3+4x²-5x+13的值解法一原式=22-5x+13的值解法一原式=2⁴-3×24-3×2³+4×23+4×2²-5×2+13=11.解法二(逐次提出x,变形后再代入):原式=x{x[x(x-3)+4]-5}+13     

求圆的方程问题的四种解法

<正>在数学的学习过程中,如果对一题有多种解法,则说明对知识有更多的理解;对知识的应用也更加熟练.下面就以一道求圆的方程为例:已知圆C_1:x²+y2+y²+2x+2y-8=0与C_2:x2+2x+2y-8=0与C_2:x²+y2+y²-2x+10y-24=0相交于A、B两点,求圆心在直线y=-x,且过A、B两点的圆的方程.方法一(待定系数法)     

2011年高中数学联赛(B卷)第8、9题解法探究

第8题抛物线y2=2p(x-p/2)(p>0)上动点A到点B(3,0)的距离的最小值记为d(p),求满足d(p)=2的所有实数p的和.解法一设抛物线上动点A(x,y),有y2=2p(x-p/2),则|AB|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+2p(x-p/2)=x2+2(p-3)x+(9-p/2)=(x+p-3)2-2p2+6p,(x≥p/2)