运用均值定理解题的错解与技巧剖析

“若a1,a2,…,an∈R+,则a1+a2+n…+an≥na1a2…an,仅当a1=a2=…=an(n≥2,n∈N)时等号成立”是一个应用广泛的平均不等式,许多外形与它截然相异的函数式,常常也能利用它巧妙地求出最值.运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容,因此必须掌握用重要不等式求函数最值的方法.一、重视运用正数、取等、定值1.注意正数例1求函数y=x+4x的值域.错解:∵x+4x≥2x×4x=4(仅当x=2时取等号),所以值域为[4,+∞).这里错误在于使用均值定理a+b≥2ab时忽略了条件:a,b∈R+.正解:当x>0时,x+4x≥2x×4x=4(当x=2时取等号);当x<0时,-x>0而(-x)+-4x≥2(-x)-4x=4…     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

关于函数y=ax+b/x及其变式命题的解答(连堂讲稿)

[复习说明] 运用均值不等式求函数y=ax+b/x(ab＞0)在其定义域内的值域及最值是畅通无阻的,但若求它在指定区间内的值域及最值却会时常陷入困境.     

y的范围就是函数的值域吗?

在解有关函数值域问题时 ,不少同学误将函数 ｙ所应满足的一个不等式的取值范围当作函数的值域 .下面举例予以剖析 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ)的值域为 [- 1 ,2 ],求函数 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)的值域 .错解 :∵ - 1≤ｆ(ｘ)≤ 2 ,　　　 1≤ ｆ(ｘ) + 2 ≤ 2 ( 1 )　　　 - 2≤ - ｆ(ｘ)≤ 1 ( 2 )∴ - 1≤ ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)≤ 3,即函数 ｇ(ｘ)的值域是 [- 1 ,3].剖析　这里利用不等式的性质推导得ｇ(ｘ) 的取值范围 .但是 ,( 1 )式在 ｆ(ｘ) =2时取最大值 2 ,而 ( 2 )式当 ｆ(ｘ) =- 1时取最大值 .所以 ,( 1 ) ,( 2 )式同时取最大值…     

运用S_n=An~2+Bn解决问题

<正>等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,其前n项和可以表示为:S_n=An²+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An2+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An²+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An2+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An²+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax2+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax²+Bx开口向下,f(0)=0,f(12)>0,f(13)<0,其对称轴x=x_0(x_0∈(6,6.5)),所以当n=6时,S_n取得最大值.     

用代换法求函数值域

代换法是一重要的数学方法,在中学数学乃至高等数学的学习中都有着广泛的应用。运用它常常可使问题化繁为简,化难为易。本文仅就利用代换法求函数值域加以说明。例1 求函数的值域, 解∵,故设(x-1)~(1/2)=t(t≥0)则 x=t~2+1 从而 y=-t~2+t-1(t≥0) ∵例2 求函数的值域。     

分式函数值域问题解法举例

函数值域的求法是函数重要内容之一,本文仅就分式函数值域的求法举例说明． 1.直接法例1 求函数y=2/x-1(x≠1)的值域. 解函数y=2/x-1的定义域为x∈R且x ≠1, 因此,函数y=2/x-1的值域为y∈R且y≠0. 2.用均值不等式例2 已知函数f(x)=kx b的图像与     

妙用导数证明数列不等式

<正>最近在研究函数导数和不等式的综合问题时遇到一类题目,参考答案让人百思不得其解,发现这类题目有共同的解法,与大家分享.题目证明不等式1+1/2+1/3+…1/n>ln(n+1)+n/(2(n+1)(n∈N^*).证明要证原不等式,只要证明1+1/2+1/3+…1/n-ln(n+1)-n/(2(n+1)>0.构造数列{a_n},其前n项和为S_n,且S_n=1     

浅谈“两式相减”的策略

<正>两式相减是数学中一种重要的转化方法,很多数学问题,可借助于"两式相减"获得解决,应用十分广泛.那么怎样用"两式相减"呢?一、错项相减例1记数列{(2n+3)(1/2)ⁿ}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)n}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)ⁿ,∴有S_n=1/2·5+(1/2)n,∴有S_n=1/2·5+(1/2)²·7+(1/2)2·7+(1/2)³·9+…+(1/2)3·9+…+(1/2)ⁿ(2n+3)1将1式两边乘以公比1/2,得     

用均值不等式求“最值”须注意的几点

利用均值不等式求最值要注意使用的条件 .下面试通过几例进行剖析 .一、正数是前提例 1已知ｘ∈Ｒ ,求函数ｙ=ｘ+1ｘ的最值 .错解　由ｘ +1ｘ≥ 2 ,得函数ｙ的最小值为 2 .(ｘ =1时取到等号 )评析　错误的原因是误把ｘ当成了正数 .在利用均值不等式求最值时 ,必须首先搞清给定的数或式是否是正的 ,如果是负的 ,必须先变成正的 .二、定值是关键例 2　已知 0 <ｘ <1 ,求函数ｙ =ｘ( 1 -ｘ) 2 的最大值 .错解　∵　ｘ( 1 -ｘ) 2 ≤ [ｘ +( 1 -ｘ) 22 ]2 ,∴　当ｘ =( 1 -ｘ) 2 ,即ｘ =3 -52 时 ,ｘ+( 1 -ｘ) 22 =3 -52 为定值 .∴　函数ｙ=ｘ( …     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

利用重要不等式求函数最值应注意的几个问题

利用重要不等式求函数最值应注意的几个问题４３００６１湖北省武昌实验中学张天雄利用重要不等式求函数的最大（或最小）值，同学们常常犯下述五个方面的错误：１忽视了正数这一条件例１求函数的值域．错解．函数的值域是［２，＋∞）．分析不等式成立的条件是ｘ＞０，而...     

求函数值域时的常见错误分析

函数值域是函数的三大要素之一 (另两个为定义域和对应法则 ) ,求值域的问题 ,能综合地体现出学生运用函数性质、运用不等式等数学知识的能力 ,同时更能促进学生对函数概念的理解 ,所以它成为练习和考试的热点之一 .在求值域时 ,最容易出现下列的错误 .1　草率代入例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ + 2 ,ｘ∈ [0 ,3]的值域 .错解 :代入得 ｆ(0 ) =2 ,ｆ(3) =5 ,故值域为 [2 ,5 ].分析 :没有考虑在所给区间 [0 ,3]上函数是否单调 .事实上只有当ｆ(ｘ)在定义域 [α ,β]上单调递增时 ,才可以说值域是 [ｆ(α) ,ｆ(β) ],递减时值域为[ｆ(β) ,…     

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

柯西不等式的妙用

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立． 以上不等式就是选修4-5<不等式选讲>中所介绍的柯西不等式(简记为"方和积不小于积和方"),其应用十分广泛和灵活,掌握它,对证明不等式、求函数的最值、解方程(组)、求参数的取值范围、求代数式的值、实现有效传接等都是大有裨益的.     

多元最值和值域问题的解法探究

高中数学多元最值和值域总是解法探究主要是不等式的基本性质、基本不等式以及求函数值域的基本方法的综合运用,而不等式及求函数值域是高中数学的重要组成部分,在高中教学及高考中有着举足轻重的地位,多元不等式是一类具有挑战性的题型,本文将探析此类问题的解题方法.……     

另辟捷径求最值

<正>在解决一些求最值问题时,若利用常规的方法求解,有时过程繁琐,甚至无从下手,但若挖掘与其它知识之间的联系,以相关的知识作为桥梁,很多问题就可以迎刃而解了.例1求函数t=(1-10~(1/2)sinα)/(3+cosα)的值域.解(利用直线和圆的位置关系)原函数变形为槡10~(1/2)sinα+tcosα+3t-1=0,则点(sinα,cosα)在直线槡10~(1/2)x+ty+3t-1=0上,又该点在圆x2+y2=1上,则问题转化为直线槡10x+ty+3t-1=0和圆x2+y2=1有交点,     

均值不等式求三角函数最值举例

<正>均值不等式是求代数最值的重要方法,而且过程简单,应用广泛,如果把它迁移到三角函数中,还能求三角函数的最值,解这类题不仅满足一正、二定、三相等的要求,还要根据三角函数的特点作技巧性的变形,现举例说明.例1求函数y=4sin²θ+csc2θ+csc²θ的最小值.分析注意到正弦函数sinθ与余割函数cscθ互为倒数,易求y的最小值.解∵y=4sin2θ的最小值.分析注意到正弦函数sinθ与余割函数cscθ互为倒数,易求y的最小值.解∵y=4sin²θ+csc2θ+csc²θ≥2·2sinθ·cscθ=4,∴y_(最小)=4.点评运用不等式求最值应注意放缩的合理性,并判断等号是否可取.对等号不可取     

貌合神离的几个值域问题

我们在平常求函数值域时,有一类问题极 易混淆,现举例说明一下: 例题1 若函数的值域为[-1, 4],求a的取值范围. 分析 函数的定义域为R,值域为[-1, 4],利用判别式法求a的取值范围. 解 由得yx2-ax+y-3=0=, 当y≠0时,方程必有实根,则关于y的不等式     

一个重要函数不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x及其应用

在导数的应用里很容易得到这样一个重要不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x,(x＞-1,当且仅当x=0时取等号),通过利用这个不等式或者它的等价变形可以用来证明一些数列不等式或者函数不等式的问题,下面搜集了在近年来的部分省份高考试题中的一些应用.例1 (2008年山东理21)已知函数f(x)=1/(1-x)n+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.