走进杨辉三角形再探数字规律

<正>同学们在学习整式的乘法后,大都计算过a+b的n次方(a+b≠0,n为自然数)的结果:(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b².(a+b)2.(a+b)³=(a+b)3=(a+b)²(a+b)=a2(a+b)=a³+3a3+3a²b+3ab2b+3ab²+b2+b³.(a+b)3.(a+b)⁴=[(a+b)4=[(a+b)²]2]²=a2=a⁴+4a4+4a³b+6a3b+6a²b2b²+4ab2+4ab³+b3+b⁴.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)4.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)⁰=1,(a+b)0=1,(a+b)¹=a+b)组成的一张表及其中的数字规律.(各版本的教科书中的阅读材料都有相关探究和介绍)     

竞赛中的代数式求值问题

<正>代数式求值(或证明)是竞赛中的常见问题.以考查基本方法和观察能力为主,在试题上侧重知识的灵活运用,本文从几个方面举例说明,供参考.一、利用非负数各项的和为0,其每项都为零求值(或证明)例1(2016年全国初中数学竞赛题)设实数a,b,c满足:abc≠0且14(a²+b2+b²+c2+c²)=(a+2b+3c)2)=(a+2b+3c)²,求(a2,求(a²+2b2+2b²+3c2+3c²)/(ab+ac+bc)的值.     

忽视△≥0致错两例

<正>《中学生数学》2016年1月下初一年级课外练习题第2(1)题为:设a²-a+1=0,求a2-a+1=0,求a⁽²⁰¹⁶⁾+1/a(2016)+1/a⁽²⁰¹⁶⁾的值.评析我们知道,关于x的一元二次方程ax(2016)的值.评析我们知道,关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),当Δ=b2+bx+c=0(a≠0),当Δ=b²-4ac≥0时,方程有实根;当Δ=b2-4ac≥0时,方程有实根;当Δ=b²-4ac<0时,方程无实根.上述题目中,对于a2-4ac<0时,方程无实根.上述题目中,对于a²-a+1=0而言,由于Δ=(-1)2-a+1=0而言,由于Δ=(-1)²-4×1×1=-3<0,故这样的a     

关于同心椭圆与圆的切线的一个结论

<正>题目对于任给的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x2=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x²+y2+y²=a2=a²b2b²/a2/a²+b2+b²和外包圆O_外:x2和外包圆O_外:x²+y2+y²=a2=a²+b2+b².(1)圆O内任何一条切线交椭圆C于点A、B,则OA⊥OB;(2)从圆O外上任意一点P引椭圆C的两     

盘点完全平方公式

<正>完全平方公式是进行代数运算与变形、解一元二次方程、解二次函数有关问题的重要的知识基础.这个知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).同学们在学习中常见错误有:(1)难于跳出原有的定式思维,典型错误如(a±b)²=a2=a²±b2±b²;(错因:在公式(ab)2;(错因:在公式(ab)²=a2=a²b2b²的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)2的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b²与(a-b)2与(a-b)²=     

一个恒等式的有趣应用

<正>a³+b3+b³+c3+c³-3abc=(a+b+c)(a3-3abc=(a+b+c)(a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca),这里不妨将其记为(*),这是一个对称、和谐又十分优美的恒等式.事实上,只要把它的右边展开,即得左边,下面,我们来看它在有关解题中的有趣应用.例1(五羊杯赛题)实数a,b满足a2-ab-bc-ca),这里不妨将其记为(*),这是一个对称、和谐又十分优美的恒等式.事实上,只要把它的右边展开,即得左边,下面,我们来看它在有关解题中的有趣应用.例1(五羊杯赛题)实数a,b满足a³+b3+b³+3ab=1,则a+b的值为______.解从条件式可得a3+3ab=1,则a+b的值为______.解从条件式可得a³+b3+b³+(-1)3+(-1)³-3ab     

利用欧拉公式解方程(组)

<正>我们知道对于任意实数a,b,c,都有如下公式:a³+b3+b³+c3+c³-3abc=(a+b+c)(a3-3abc=(a+b+c)(a²+b2+b²+c2+c²-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a2-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a³+b3+b³+c3+c³=3abc.当我们解方程(组)时,经常会碰到有两项或三项立方加减或立方根加减的情况,都可充分运用欧拉公式求解.     

用边来判断角的类型

<正>在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c,(1)若∠C=90°,则a²+b2+b²=c2=c²;(2)若∠C<90°,则a2;(2)若∠C<90°,则a²+b2+b²>c2>c²;(3)若∠C>90°,则a2;(3)若∠C>90°,则a²+b2+b²2.结论 (1)是我们熟知的勾股定理,现在对(2)、(3)我们来给出证明.证明(2)分三种情况:(1)当∠B=90°时,结论显然成立;(2)当∠B>90°时,如图1,过点A作AD⊥BC交CB延长线于D,     

余弦定理的证明方法赏析

<正>一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在△ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a2-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,及∠A,求证:a²=b2=b²+c2+c²-2bccosA.     

对一道中考试题的思考

<正>试题(2015年四川·内江卷)(1)填空:(a+b)(a-b)=_;(a-b)(a²+ab+b2+ab+b²)=_;(a-b)(a2)=_;(a-b)(a³+a3+a²b+ab2b+ab²+b2+b³)=_;(2)猜想:(a-b)(a3)=_;(2)猜想:(a-b)(a^(n-1)+a(n-1)+a^(n-2)b+ab(n-2)b+ab^(n-2)+b(n-2)+b^(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2⁹-29-2⁸+28+2⁷-…+27-…+2³-23-2²+2.原解答略.本文给出如下几点思考.一、设想——多思追问如果去掉试题所提供的由特殊到一般的     

利用梯形性质证明不等式

<正>（2ab）/（a+b）≤（ab）^1/2≤（a+b）/2≤（（a²+b²）/2）^1/2（a>0,b>0）是不等式中最著名的不等式,也是最基本最重要的不等式,其中（2ab）/（a+b）=2（（1/a）+（1/b））^-1称为调和平均值,（ab）^1/2称为几何平均值,（a+b）/2称为算术平均数,（（a²+b²）/2）^1/2称为平方平均数,当且仅当a=b时式中等号成立,它的代数证法并不难,笔者发现,通过构造梯形,利用几何的方法亦可通俗易懂地证明这个不等式。     

同轴椭圆与双曲线的两个性质

<正>如果椭圆的长轴、短轴分别与双曲线的实轴、虚轴(或虚轴、实轴)重合,则称这样椭圆与双曲线是同轴曲线.同轴椭圆与双曲线方程的形式类似,应该有内在的联系,本文进行初步探讨.题目如图1,已知椭圆D:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,双曲线C:x2=1,双曲线C:x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(或y2=1(或y²/b2/b²-x2-x²/a2/a²=1),其中a>b>0.     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

余弦定理的一种变式及应用

<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a²=(b+c)2=(b+c)²-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b²=(c+a)2=(c+a)²-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c²=(a+b)2=(a+b)²-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系;     

分式型不等式的证明

题组若a,b,c∈R₊,则（1）a/（b+c）+b/（c+a）+c/（a+b）≥3/2（1963年莫斯科数学竞赛题）.（2）（a⁺b^）/（a+b）+（b²+c²）/（b+c）+（c²+a²）/（c+a）≥a+b+c.（3）（W.Janoux猜想）（c²-b²）/（a+b）+^a-c2/（b+c）+（b²-a²）/（c+a）≥0.（4）a²/(b+c+b²（c+a）+c²/（a+b）≥（a+b+c）/3（第二届友谊杯国际数学邀请赛试题）.     

例谈连用两次不等关系求最值的一个误区

<正>在某些二元代数式求最值问题中,常会用到连用两次不等关系求最值的方法,通常情况下,只要保证两次不等关系能同时取到等号就可以了,但在实际问题中,还是会出现一些误区.我们来看下面这道例题:例题已知a,b∈R,a+b≠0,求a²+b²+1/(a+b)²的最小值.     

两种方法判断角的类型

<正>文[1]给出了一种判断角的类型的方法如下.在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c.(1)若a²+b²=c²,则∠C=90°,即∠C为直角;(2)若a²+b²>c²,则∠C<90°,即∠C为锐角;(3)若a²+b²2,则∠C>90°,即∠C为钝角.反之也成立,证明见文[1].本文再介绍两种判断角的类型的方法如下.     

巧证“轮换”不等式

<正>这类不等式的特征是:字母成轮换对称形式,其证法思路是连续三次用均值不等式,并且相加,化简或推理之后可证,方法十分巧妙现举例说明.例1已知a、b、c为实数,且a+b+c=1,求证:a²+b2+b²+c2+c²≥1/3.证法1∵a+b+c=1,当且仅当a=b=c=1/3时,不等式中等号成立.于是有下列证法:     

构造函数法证明不等式

<正>构造函数法就是根据所证不等式的特征,构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等性质来证明不等式,这种方法,统称为构造函数法.例1设a,b,c∈R,求证:a²+ac+c2+ac+c²+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a²+(c+3b)a+c2+(c+3b)a+c²+3b2+3b²+3bc.∵Δ=(c+3b)2+3bc.∵Δ=(c+3b)²-4(c2-4(c²+3b2+3b²+3bc)=     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.