一道三元分式不等式引出的探究

《中等数学》第681号问题为:已知a,b,c为两两不同的实数,证明:(a-b/b-c-3)²+(b-c/c-a-3)²+(c-a/a-b-3)²≥29.命题人通过换元、配方等代数方法证明,具体过程如下:设a-b=x,b-c=y,c-a=-x-y,则原不等式等价于(x/y-3)²+(y/-x-y-3)²+(-x-y/x-3)²≥29■(x/y-3)²+(y/x+y+3)²+(y/x+4)²≥29.令t=x/y,于是只要证(t-3)²+(1/t+1+3)²+(1/t+4)²≥29■(t-3)²(t+1)²t²+(3t+4)²t²+(4t+1)².     

巧用一个恒等式解题举例

<正>在中学数学中有这样一个恒等式,即a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca=1/2[(a-b)2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)²+(b-c)2+(b-c)²+(c-a)2+(c-a)²].这个等式有三大特点:(1)结构很有规律;(2)便于记忆;(3)应用广泛.在解题中,有时直接用等式,有时创造条件转化后用等式.现举例说明.例1已知x-y=a,z-y=10,则代数式x2].这个等式有三大特点:(1)结构很有规律;(2)便于记忆;(3)应用广泛.在解题中,有时直接用等式,有时创造条件转化后用等式.现举例说明.例1已知x-y=a,z-y=10,则代数式x²+y2+y²+z2+z²-xy-yz-zx的最小值是().     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

另解两道课外练习题

<正>阅读贵刊2015年3月下刊登课外练习题,笔者通过不同途径,另解其中两道题.题一(初一(2)1)已知n个正整数按其规律排列如下a_1,a_2,a_3…a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n.解从其排列规律可以认为a_1=1=1²,a_2=10=12,a_2=10=1²+32+3²,a_3=35=12,a_3=35=1²+32+3²+52+5²,a_4=84=12,a_4=84=1²+32+3²+52+5²+72+7²,……则a_n=12,……则a_n=1²+32+3²+52+5²…+(2_n-12…+(2_n-1⁾2.由S=1)2.由S=1²+22+2²+32+3²+…+(2_n)2+…+(2_n)²     

巧用平方差公式妙解趣题

<正>记得在小学里,学过了小数与分数知识后,数学教师李老师曾提出一个有趣的问题:已知"快"、"乐"两个汉字分别代表两个不同的小数(或分数),请您设法找出这两个数来,使得等式:"快+乐²=快2=快²+乐"(*)成立。比如:0.1+0.92+乐"(*)成立。比如:0.1+0.9²=0.91,0.12=0.91,0.1²+0.9=0.91,即0.1+0.92+0.9=0.91,即0.1+0.9²=0.12=0.1²+0.9;又如2/3+(1/3)2+0.9;又如2/3+(1/3)²=(2/3)2=(2/3)²+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)2+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)²=     

借助中间桥梁巧化问题

<正>1.问题提出(2011年高考湖南文第8题)已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=-xx-1,g(x)=-x²+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-22+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2)](B)(2-2(1/2)](B)(2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2))(C)[1,3](D)(1,3)2.问题解读本题属于"方程问题",而且是"超越方程",难以直接入手!一般地,解决"超越方程"往往利用转化与化归的思想,把问题转化为y=f(x)与y=g(x)的交点问题.在同一坐标系中,画出y=f     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)把下列算式中的9个汉字换成1⁹这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(19这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(1²+22+2²)/(1×2)+(22)/(1×2)+(2²+32+3²)/(2×3)+(32)/(2×3)+(3²+4)2+4)²/(3×4)+…+(10072/(3×4)+…+(1007²+10082+1008²)/(1007×1008)+(10082)/(1007×1008)+(1008²+10092+1009²)/(1008×1009).(北京市海淀区世纪城三期春荫园11号楼2单元1C(100097)胡怀志)2.已知两个数a,b均大于2,试证a+b与a·b的大小.     

趣味换数

<正>下列各式中的不同汉字,代表不同的数字,你能写出一组答案吗?(1)中²+学2+学²+生2+生²+数2+数²+学2+学²+为2+为²+良2+良²+师2+师²+益2+益²+友2+友²=2017;(2)读2=2017;(2)读²+者2+者²+喜2+喜²+欢2+欢²+中2+中²+学2+学²+生2+生²+数2+数²+学2+学²=2017;(3)数2=2017;(3)数²+学2+学²+趣2+趣²+味2+味²+在2+在²+本2+本²+刊2+刊²=2017.     

智慧窗

<正>1欢呼"嫦娥三号"发射成功请你将下述句子中的汉字分别换成不同的自数数,使等式成立.嫦²+峨2+峨²+三2+三²+号2+号²+登2+登²+月2+月²+成2+成²+功2+功²=2014;玉2=2014;玉²+兔2+兔²+探2+探²+月2+月²+圆2+圆²+梦2+梦²+实2+实²+现2+现²=2014.(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2新年祝福四位数2014可拆分为六个正整数的平方和,满足:{2014=中2=2014.(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2新年祝福四位数2014可拆分为六个正整数的平方和,满足:{2014=中²+学2+学²+生2+生²+学2+学²+习2+习²+好2+好²,{2014=中2,{2014=中²+学2+学²+生2+生²+身2+身²+体2+体²+棒2+棒².其中前者六个数等差2,后者六个数等差4.写出这两个拆分.(相同的汉字代表相同的数,不同的汉字代表不同的数)(黑龙江省绥化市教育学院(152002)田永海)     

新春好趣题

<正>将下列等式中的汉字换为35以内的自然数使等式成立:(1)申²+猴2+猴²+欢2+欢²+送2+送²+未2+未²+羊2+羊²=2016:(2)22=2016:(2)2^同+2同+2^学+2学+2^们+2们+2^新+2新+2^春+2春+2^好=2016:(3)同好=2016:(3)同⁶+学6+学⁵+们5+们⁴+新4+新³+春3+春²+好2+好¹=2016.     

文字换数

<正>将下述各个句子中的汉字分别换成平同的自然数,建立等式(1)休¹+闲1+闲²+不2+不³+忘3+忘⁴+学4+学⁵+习5+习⁶=2017;愉6=2017;愉¹+快1+快²+度2+度³+过3+过⁴+寒4+寒⁵+假5+假⁶=2017.(2)打6=2017.(2)打²+好2+好²+数2+数²+学2+学²+基2+基²+础2+础²+知2+知²+识2+识²=2017;造2=2017;造¹+就1+就²+未2+未³+来3+来⁴+创4+创⁵+新5+新⁶+人6+人⁷+才7+才⁸=2017.     

用唐诗《悯农》做数字谜

<正>四位数2017可拆分为五个正整数的平方和,满足(1)2017=锄²+禾2+禾²+日2+日²+当2+当²+午2+午²(2)2017=汗2(2)2017=汗²+滴2+滴²+禾2+禾²+下2+下²+土2+土²(3)2017=谁2(3)2017=谁²+知2+知²+盘2+盘²+中2+中²+餐2+餐²(4)2017=粒2(4)2017=粒²+粒2+粒²+皆2+皆²+辛2+辛²+苦2+苦²其中(1)四个偶数依次差2,(2)四个偶数依次差4,(3)四个偶数依次差10,(4)四个偶数的平均数为20,一个奇数为17.     

趣换数字

<正>将(1)中汉字换成30以内的自然数,(2)中汉字换成1～9这9个自然数,(3)中汉字换成从小到大且在25以内的12个自然数,建立等式.(1)新²+一2+一²+学2+学²+年2+年²+迎2+迎²+来2+来²+新2+新²+伙2+伙²+伴2+伴²=2016.(2)夯实数×学-基础+阅本÷刊=2016.     

一道2015年初中数学联赛试题的换元解法及联想

<正>2015年全国初中数学联合竞赛(初三年级)试题的压轴题为:已知实数a,b,c满足条件a/(b-c)²+b/(c-a)2+b/(c-a)²+c/(a-b)2+c/(a-b)²=0,求代数式a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)的值.组委会给出的解答莫名其妙地给出一个等式:     

另解课外练习题两则

<正>题一(《中学生数学》2017年7月下课外练习题初一年级2(2)).证明2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²是一个完全平方数.解由于20162是一个完全平方数.解由于2016²+20172+2017²=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则20162=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²=(2016     

智慧窗

<正>1庆贺新年(1)下面算式中的"庆""贺""新""年"代表4个不同的自然数,且庆>贺>新>年.请你将算式的汉字换成恰当的数,使算式成立.庆²+贺2+贺²+新2+新²+年2+年²=2022.(2)不同的汉字代表0～9中不同的数字,当算式成立时,"我们爱智慧窗"这六个汉字所代表的六位数是().     

学会用化归法思考高中代数问题

<正>化归法是通过数学知识和方法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题的数学方法.在下面的内容中,将重点介绍化归法在高中代数中的应用.例1(1999年高考试题理科)若(2x+√3)⁴=a_0+a_1x+a_2x4=a_0+a_1x+a_2x²+a_3x2+a_3x³+a_4x3+a_4x⁴,那么(a_0+a_2+a_4)4,那么(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)2的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4)"之间的联系,就说明你学会化归法的使用方法.     

智慧窗

<正>1趣味换数将下述汉字换成从小到大、且在30以内的自然数,建立等式.(1)祝²+贺2+贺²+本2+本²+刊2+刊²+出2+出²+版2+版²+六2+六²+百2+百²+七2+七²+十2+十²+期2+期²=2021.(2)本2=2021.(2)本²+刊2+刊²+是2+是²+学2+学²+习2+习²+数2+数²+学2+学²+的2+的²+好2+好²+帮2+帮²+手2+手²=2021.(3)迎2=2021.(3)迎²+接2+接²+二2+二²+零2+零²+二2+二²+二2+二²+年2+年²=2022.(4)贵2=2022.(4)贵²+刊2+刊²+月2+月²+月2+月²+佳2+佳²+文2+文²+见2+见²=2022.     

智慧窗

<正>1趣换数字将下述汉字换成从小到大,且在30以内的自然数,建立等式:(1)儿²+童2+童²+是2+是²+祖2+祖²+国2+国²+的2+的²+未2+未²+来2+来²=2020;(2)呵2=2020;(2)呵²+护2+护²+儿2+儿²+童2+童²+健2+健²+康2+康²+成2+成²+长2+长²=2020;(3)打2=2020;(3)打²+好2+好²+数2+数²+学2+学²+基2+基²+础2+础²+提2+提²+高2+高²+能2+能²+力2+力²=2020;(4)扩2=2020;(4)扩²+宽2+宽²+知2+知²+识2+识²+领2+领²+域2+域²+增2+增²+强2+强²+素2+素²+质2+质²=2020.(安徽省淮南三中(232007)王秉春)