一道2015年初中数学联赛试题的换元解法及联想

<正>2015年全国初中数学联合竞赛(初三年级)试题的压轴题为:已知实数a,b,c满足条件a/(b-c)²+b/(c-a)2+b/(c-a)²+c/(a-b)2+c/(a-b)²=0,求代数式a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)的值.组委会给出的解答莫名其妙地给出一个等式:     

一道三元分式不等式引出的探究

《中等数学》第681号问题为:已知a,b,c为两两不同的实数,证明:(a-b/b-c-3)²+(b-c/c-a-3)²+(c-a/a-b-3)²≥29.命题人通过换元、配方等代数方法证明,具体过程如下:设a-b=x,b-c=y,c-a=-x-y,则原不等式等价于(x/y-3)²+(y/-x-y-3)²+(-x-y/x-3)²≥29■(x/y-3)²+(y/x+y+3)²+(y/x+4)²≥29.令t=x/y,于是只要证(t-3)²+(1/t+1+3)²+(1/t+4)²≥29■(t-3)²(t+1)²t²+(3t+4)²t²+(4t+1)².     

从特殊入手 寻解题途径

<正>当我们面对的数学问题比较复杂而无从着手时,从特殊数入手往往是克服困难解决问题的好办法.本文关注"特殊数",请"特殊数"来帮忙,从而使难题获得巧解,现举例说明.例1设a-b=2+3^(1/2),b-c=-3(1/2),b-c=-3⁽³⁾+2,则a(3)+2,则a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca的值为__.分析根据一般情况下成立的式子,在特殊情况也必然成立的辩证观点,对某些问题可在已知条件中赋予特殊常数,寻找解题途径.     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

两个几何不等式简证

文[1]证明了以下两个几何不等式: (1)(mb-mc)2+(mc-ma)2+(ma-mb)2≥(1)/(4)[(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2]; (2)(hb-hc)2+(hc-ha)2+(ha-hb)2≤(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2.     

一道竞赛题的换元证法

题求证:对任意两两不等的三个数a,b,c,(a+b-c)2(a-c)(b-c)+(b+c-a)2(b-a)(c-a)+(c+a-b)2(c-b)(a-b)是常数.这是2012年北京市中学生数学竞赛初二年级试题之一.贵刊2012年8月下P.31给出了一个运算量要求较高的证明,一般的学生不易掌握.本文给出一个一般学生易掌握,且运算量要求不高的换元证法,供学习与欣赏.证明设a=y+z,b=z+x,c=x+y.则原式=4z2(z-x)(z-y)+4y2(y-z)(y-x)2     

巧用平方差公式妙解趣题

<正>记得在小学里,学过了小数与分数知识后,数学教师李老师曾提出一个有趣的问题:已知"快"、"乐"两个汉字分别代表两个不同的小数(或分数),请您设法找出这两个数来,使得等式:"快+乐²=快2=快²+乐"(*)成立。比如:0.1+0.92+乐"(*)成立。比如:0.1+0.9²=0.91,0.12=0.91,0.1²+0.9=0.91,即0.1+0.92+0.9=0.91,即0.1+0.9²=0.12=0.1²+0.9;又如2/3+(1/3)2+0.9;又如2/3+(1/3)²=(2/3)2=(2/3)²+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)2+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)²=     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

对一道中考试题的思考

<正>试题(2015年四川·内江卷)(1)填空:(a+b)(a-b)=_;(a-b)(a²+ab+b2+ab+b²)=_;(a-b)(a2)=_;(a-b)(a³+a3+a²b+ab2b+ab²+b2+b³)=_;(2)猜想:(a-b)(a3)=_;(2)猜想:(a-b)(a^(n-1)+a(n-1)+a^(n-2)b+ab(n-2)b+ab^(n-2)+b(n-2)+b^(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2⁹-29-2⁸+28+2⁷-…+27-…+2³-23-2²+2.原解答略.本文给出如下几点思考.一、设想——多思追问如果去掉试题所提供的由特殊到一般的     

另解两道课外练习题

<正>阅读贵刊2015年3月下刊登课外练习题,笔者通过不同途径,另解其中两道题.题一(初一(2)1)已知n个正整数按其规律排列如下a_1,a_2,a_3…a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n.解从其排列规律可以认为a_1=1=1²,a_2=10=12,a_2=10=1²+32+3²,a_3=35=12,a_3=35=1²+32+3²+52+5²,a_4=84=12,a_4=84=1²+32+3²+52+5²+72+7²,……则a_n=12,……则a_n=1²+32+3²+52+5²…+(2_n-12…+(2_n-1⁾2.由S=1)2.由S=1²+22+2²+32+3²+…+(2_n)2+…+(2_n)²     

“最值”的分布列求法

<正>大家熟知:当已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=x_k)=p_k(k=1,2,…)时,则有:Dξ=Eξ²-(-Eξ)2-(-Eξ)²=(x_1-Eξ)2=(x_1-Eξ)² p_1+(x_2-Eξ)2 p_1+(x_2-Eξ)² p_2+…+(x_n-Eξ)2 p_2+…+(x_n-Eξ)² p_n+…≥0,可得知(Eξ)2 p_n+…≥0,可得知(Eξ)²≤Eξ2≤Eξ²,当且仅当x_1=x_2=x_3=…=x_n=…=Eξ时,取等号.下面举例说明,利用构造随机变量ξ的分布列的方法,来解一些非常规随机变量ξ的分布列的最值问题,供读者们赏析参考.     

一道年份竞赛题的证明思路与方法

<正>例(2018年四川省初中数学竞赛题)试证2018²+20182+2018²×20192×2019²+20192+2019²是一个完全平方数.思路1直接转化,即将20182是一个完全平方数.思路1直接转化,即将2018²+20182+2018²×20192×2019²+20192+2019²转化为M2转化为M²的形式.证明20182的形式.证明2018²+20182+2018²×20192×2019²+20192+2019²=20182=2018²+20182+2018²×(2018+1)2+20192×(2018+1)2+2019²=20182=2018²+20182+2018²×(20182×(2018²+2×2018+1)+20192+2×2018+1)+2019²=20182=2018²+(20182+(2018²)2+20182)2+2018² (2×2018+1)+20192 (2×2018+1)+2019²     

首届《数学学习》初中数学邀请赛（初二年级）试题

一、填空题(每小题6分,共60分). (1)设n是由数字0或7组成,且又是15的倍数,则n的最小值是_.(2)分解因式x3+9x2+26x+24=_.(3)x-c/(x-a)(x-b)+b-c/(a-b)(x-b)+b-c/(b-a)(x-a),得_。(4)把x5,x+1/x,1+2/x+3/x3相乘,其积是一个多项式,该多项式的次数是_.(5)设x,y,z为实数,且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+x-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-     

盘点完全平方公式

<正>完全平方公式是进行代数运算与变形、解一元二次方程、解二次函数有关问题的重要的知识基础.这个知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).同学们在学习中常见错误有:(1)难于跳出原有的定式思维,典型错误如(a±b)²=a2=a²±b2±b²;(错因:在公式(ab)2;(错因:在公式(ab)²=a2=a²b2b²的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)2的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b²与(a-b)2与(a-b)²=     

新春好趣题

<正>将下列等式中的汉字换为35以内的自然数使等式成立:(1)申²+猴2+猴²+欢2+欢²+送2+送²+未2+未²+羊2+羊²=2016:(2)22=2016:(2)2^同+2同+2^学+2学+2^们+2们+2^新+2新+2^春+2春+2^好=2016:(3)同好=2016:(3)同⁶+学6+学⁵+们5+们⁴+新4+新³+春3+春²+好2+好¹=2016.     

庆贺中共十九大

<正>将下述汉字换成30以内,且从小到大排列的自然数,建立等式.(1)庆²+贺2+贺²+中2+中²+共2+共²十2十²+九2+九²+大2+大²+胜2+胜²+利2+利²+召2+召²+开2+开²=2017;(2)拍2=2017;(2)拍²+手2+手²+欢2+欢²+迎2+迎²+新2+新²+同2+同²+学2+学²=2017;培2=2017;培²+育2+育²+圆2+圆²+梦2+梦²+接2+接²+班2+班²+人2+人²=2017.     

智慧窗

<正>1趣换数字将下述汉字换成从小到大,且在30以内的自然数,建立等式:(1)儿²+童2+童²+是2+是²+祖2+祖²+国2+国²+的2+的²+未2+未²+来2+来²=2020;(2)呵2=2020;(2)呵²+护2+护²+儿2+儿²+童2+童²+健2+健²+康2+康²+成2+成²+长2+长²=2020;(3)打2=2020;(3)打²+好2+好²+数2+数²+学2+学²+基2+基²+础2+础²+提2+提²+高2+高²+能2+能²+力2+力²=2020;(4)扩2=2020;(4)扩²+宽2+宽²+知2+知²+识2+识²+领2+领²+域2+域²+增2+增²+强2+强²+素2+素²+质2+质²=2020.(安徽省淮南三中(232007)王秉春)     

数据分层妙解方差最值问题

<正>定理^([1])假设第一层有m个数,分别为x_1,x_2,…,x_m,平均数为x,方差为s([1])假设第一层有m个数,分别为x_1,x_2,…,x_m,平均数为x,方差为s²;第二层有n个数,分别为y_1,y_2,…,y_m平均数为y,方差为t2;第二层有n个数,分别为y_1,y_2,…,y_m平均数为y,方差为t²,则样本方差b2,则样本方差b²=1/m+n[(ms2=1/m+n[(ms²+nt2+nt²)+mn/m+n(x-y)2)+mn/m+n(x-y)²].     

趣换数字

<正>将下述汉字分别换成30以内的自然数,建立等式.(1)推²+进2+进²+义2+义²+务2+务²+教2+教²+育2+育²+均2+均²+衡2+衡²+发2+发²+展2+展²=2016,积2=2016,积²+极2+极²+培2+培²+养2+养²+学2+学²+生2+生²+创2+创²+新2+新²+能2+能²+力2+力²=2016;(2)祝2=2016;(2)祝¹+读1+读²+者2+者³+学3+学⁴+识4+识⁵+渐5+渐⁶+长6+长⁷=2016;(3)阅7=2016;(3)阅²+本2+本²+刊2+刊²+夯2+夯²+实2+实²+基2+基²+础2+础²+知2+知²+识2+识²=2016.     

春节艺苑

<正>将下列句子中的汉字换成从小到大,且在30以内的自然数,适立等式:(1)辞²+旧2+旧²+岁2+岁²+欢2+欢²+度2+度²+春2+春²+节2+节²=2016;迎2=2016;迎²+新2+新²+年2+年²+吉2+吉²+祥2+祥²+如2+如²+意2+意²=2016;(2)阅2=2016;(2)阅²+读2+读²+本2+本²+刊2+刊²+增2+增²+强2+强²+才2+才²+干2+干²=2016;扩2=2016;扩²+视2+视²+野2+野²+培2+培²+养2+养²+创2+创²+新2+新²+能2+能²+力2+力²=2016.