反客为主 解题三例

在解题中经常遇到这样的问题,题中有处于客位上的数或字母,它们并不占主导地位,但常规解法又无法解决,这时若把客位字母或数看作主导地位的未知数求解,如此反客为主,改变解题方向常能使问题迎刃而解,下面举三例说明.     

反客为主,解题一法

<正>有一些数学问题,题中涉及到若干个量,其中有常量,也有变量.同学们在解答时,由于受思维定势的影响,不习惯把其中的常量暂时视为变量,而把其中的变量暂时视为常量,结果导致求解过程异常复杂,甚至难以求解.其实,如果根据需要,将常量与变量的地位调换,即"反客为主",具体来说,就是在解题时,将某个常量暂时看作变量,而把变量暂时看作常量,有时在解题中能起到事半功倍的效果,不妨请看以下几例:     

数学解题中的"反客为主"

数学中的“反客为主”也称更换主元,是指在解题过程中将两个字母或代数式主次互换,使问题达到消元、降次、化归的目的,将复杂问题简单化.使用这种方法必须抓住问题的实质,要求学生挣脱知识框架的束缚,激活他们的多元思维,创造解题新平台.下面以几道题为例进行说明.例1已知a>1,n     

巧变形 妙解题

求代数式的值是数学竞赛中的一种常见的题型,大多数同学常常采用的方法是求出代数式中所含字母的值,再代入代数式进行计算,这样往往非常繁琐．如果采取非常规变形,利用整体代入等思想,则可巧妙求解．题目已知x2 4x-1=0,求     

巧构造 妙解题

构造法是一种重要的解题方法 ,是最富活力的数学转化方法之一 .恰当地运用这一方法解题 ,能收到以简驭繁、化难为易、事半功倍之效 .下面以各类竞赛题为例说明 .一、构造方程例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ三数满足方程组ａ +ｂ =8,ａｂ -ｃ2 + 82ｃ =48.试求方程ｂｘ2 +ｃｘ -ａ=0的根 .( 2 0 0 2年全国初中数学联赛题 )解　∵　ａ +ｂ =8,　ａｂ =ｃ2 -82ｃ +48,∴　ａ ,ｂ是方程ｘ2 -8ｘ +ｃ2 -82ｃ + 48=0的两根 ,则Δ =82 -4 (ｃ2 -82ｃ + 48)≥ 0 ,即　 -4 (ｃ -4 2 ) 2 ≥ 0 .∴　ｃ =42 .代入方程 ,得ｘ2 -8ｘ + 16=0 ,解之得ａ =ｂ =4.∴　…     

巧用平移妙解题

<正>平移是指在平面内,将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动,这样的图形运动叫做图形的平移运动,简称平移.有些问题采用平移的方法解决,往往会有神奇之效,下面从近几年中考题中精选几例与同仁共赏.一、平移小路算面积     

巧变形 妙解题

贵刊2010年第4期(下)刊载的王本友老师的《这道例题的解答有瑕疵》一文,对本刊登载的2009年第9期(下)刊载的王婧同学的习作《求二次函数最值的方法探析》中的例1解析提出质疑:结论正确,解答过程中推理不严密,出现了错误,并用分类讨论的思想方法和     

特殊取值妙解题

午饭后,阿木老师在教室和大家聊天.班里的"数学王子"坏笑着对阿木老师说:"阿木老师,您数学这么厉害,那会不会做初中的数学题呀?"围观的同学们一听,原来是"数学王子"要挑战阿木老师了.     

巧构造 妙解题

<正>球与空间几何体,在新课程标准下是一个由直观感知到操作确认最后推理计算的问题,但是在新课标高考数学试卷中又以小题的形式多有涉及,而研究新课标高考试题,不难发现只有充分感知体验球与空间几何体的关系,才能有较深刻的理性认识,构造或变形解决有关问题.下面笔者就球与空间几何体问题的解决过程给以解析,供同学们参考.     

反客为主

2007年北京市海淀区高三第二学期期中练习第8题是:已知函数f(x)=x~2 ax 1/x~2 a/x b(x∈R,且x≠0).若实数a、b使得f(x)=0有实根,则a~2 b~2的最小值为( ).     

旋转法解题,妙!

旋转是把某一图形F绕一个定点顺时针或逆时针方向旋转一定的角度到图形F’的一种变换.在中考和数学竞赛部分难题中,常常利用这种变换,打破常规证(解)题的思维局限,大胆构想,大手笔运动图形,拓宽了思路,使一些非常棘手的难题迎刃而解。旋转法证(解)题一般有以下几种思考类型。     

巧变形,妙解题

希望杯全国数学邀请赛试题越来越深受高中学生的亲眯,其原因就在于希望杯赛题的考查内容广而新,题型灵活多变、充满生机与活力,解题方法丰富多彩、别具一格.本文介绍一道2012年希望杯高二赛题的解法,供参考.     

巧补形 妙解题

立体几何初步的学习重点是逐步形成空间想象能力,即以常见的空间几何体为载体,进行识图与画图的训练,在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对空间图形的观察、实验、操作和思辨,了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,并能解决一些简单的推理论证及应用问题．这里,常见的空间几何体指：长方体（正方体）、三棱锥、四棱台、圆柱、球等．     

巧构模型妙解题

<正>题目求方程x+y+z=16的正整数解的组数.分析此题我们可以按x取值进行讨论求解,过程复杂繁琐.但是若联想到球入盒原理,构造模型,则可化难为易,简单快捷.     

巧借圆 妙解题

<正>圆是几何图形中最规范,也是最完美的一种,圆具有许多很好的性质,解题时若能根据题意构造辅助圆,则可收到避繁就简的效果,更给人一种思路清晰,思维流畅的感觉.借助辅助圆解题时,要明确以下几方面的知识.1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心,定长为半径的圆.2.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.3.直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角     

巧变余弦定理妙解题

余弦定理揭示了三角形中边与角之间的关系,在解决三角形问题中起着非常重要的作用.在很多关于三角形边角关系的试题中,若能将余弦定理作适当的变形,再恰到好处地加以灵活运用,往往比直接应用其本身解题更简捷高效.本文从余弦定理的推导方法及最终形式两个不同的角度入手将其变形,进而得到两个重要的性质,并加以应用来处理近年相关的高考题,不仅过程简单明了,而且效果事半功倍.     

巧构造,妙解题

<正>前几天的考练中,有这样一道几何题:在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,在三角形内有一点D,使得AB=DB,AD=CD,求∠ABD的度数.起初,因为老师讲过类似的题目,只是条件改变了,所以我首先想到了用垂线法解决这个问题,具体如下:过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.容易证明四边形AMDN是矩形,因此AN=DM.∵AD=CD,DN⊥AC,∴DN为线段AC的中垂线,则AN=