证明线段相等的几种方法赏析

<正>初中阶段证明线段相等的方法非常多,下面我们以一道题为例来说明常见的几种证明线段相等的方法.题目如图1,在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BD=CF,连接DF交BC于点E,求证:DE=EF.证明一、利用全等三角形证明方法一如图2,作DM∥AC,交BC于M.     

从新教材一个例题谈起

上海市二期课改新教材八年级第一学期(试验本)第115页例8:已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上的中点,点E、F分别在边BC、AC上,DE⊥DF.求证:EF2=AF2 BE2.     

一道几何试题的多种解法

<正>题目如图1,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过点C作CF⊥AG,垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点,连接DE、DF.求证:∠AED=∠DFE.一、根据等腰直角三角形和斜边上的中点联想到等腰三角形三线合一解法1如图2,连接CD,则CD⊥AB,     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

一道中考题的多解与变式

<正>本文以课本基本图形(如图1、图2)为依托,对一道中考题进行多解与变式如下.题目(2013年绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图3,AC∶AB=1∶2,EF⊥CB,求证:EF=CD;(2)如图4,AC∶AB=1∶31/2,EF⊥CE,求EF∶EG的值.     

几何题的多解与多变

题目已知:如图1,AM是△ABC的中线,P是MC上任意一点,过P作AM的平行线交AB、AC(或延长线)于点D、E.求证:PD PE=2AM. 一、解法 分析若过A作 AF∥BC,AP 于 F,则 AM=PF=PE EF,这只需证PE DF =AM,即EF=DF即 可. 简证1△AFD∽△BNA DF/AF=AM/BM=AM/MC①;AF∥PC EF/AF=PE/PC②;PE∥AM AM/MC-PE/PC③.由①②③可得 DF=EF.     

补充几个八年级的解法

<正>《中学生数学》2016年12期刊载了《一道考试题的多种解法》一文,作者对第(2)问介绍了九年级学生的两种解法.然而此题毕竟是八年级的期末考试题,在此对第(2)问介绍几个八年级同学可做的解法.题已知四边形ABCD是正方形,E是AB边上一点,连接DE,过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F,连接EF.(1)如图1,求证:DE=DF;     

“折、剪、拼、量“的中考数学试题

2005年全国各地中考数学试题中,涌现出了许多题型活泼、设计新颖、富有创意的动手操作型试题,本文对这类试题分类评析,供参考.一、折叠问题1.1求线段的长例1:(05深圳)如图,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为.解:因为△ABE向上翻折成为△FBE,所以△ABE≌△FBE,所以EF=AE,BF=AB,∵DE EF DF=8,∴AD DF=8,∵BF BC CF=22,∴AB BC CF=22,∴AD DF AB BC CF=8 22即AB BC=15∴CF=7.1.2探求角度问题例2:(05扬州)如图:将一张矩形纸片…     

直角三角形内接矩形对角线最短问题的拓展研究

我们先看如下典型的问题:问题如图1,在△ABCKH,∠C=90°,BC=a,AC=b,点D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点,且DE//AC,DF//BC,求线段EF长的最小值.解析连接CD,作CH⊥AB于点H,则CD≥CH.     

对一道拓广探索题的再拓广

人教版八年级《数学》上P27页有一道拓广探索题:如图1,△ABC中,AD是它的角平分线,求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.分析这是角平分线性质的运用.按照书上的提示:作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则由角平分线性质有DE=DF.     

一道中考数学模拟试题的多种证法

<正>(2016年北京市通州区初三模拟考试数学试卷第28题)在△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D.(1)如图1,作∠ADB的角平分线DF交BE于点F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;(2)如图2,连接DE,点G与点D关于直线AC对称,连接DG、EG.(1)依据题意补全图形;(2)用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系,并加以证明.     

2001年全国高中数学联赛加试第一题另解

题目如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF 交于点H,百线ED和AB交于点M,FD与AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;(2)OH⊥MN. 证明(1)如图建立坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,α)、(b,0)、(c,0). ∴ CF方程为y=b/α(x-c) ①     

该题还可以进一步简证

题目如图1,在△ABC中,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,BE与CF交于点P,过点P作BC的平行线分别交DF、AD、DE于点G、H、K.求证:GP=HK.该题,文[1]给出了一个简证,笔者通过一番琢磨,给出一个更为简洁的证明.证明如图2,设过点P与BC平行的直     

“智多星”与“一题多解”

我们班从初一年级开始成立了“智多星”数学兴趣小组 ,其主要任务是攻克学习中的疑难问题 ,探讨解题方法 .对于班级黑板报中的每期一题“征解” ,我们“智多星”数学兴趣小组成员积极撰稿 .请看一例 :题目　已知如图 1,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,以AD和AC为边作平行四边形ACED ,DC的延长线交BE于点F ,求证 :EF =FB .图 1　　　　图 2证法 1　如图1,连结AE交DC于点O .∵四边形ACED是平行四边形 ,∴AO=EO .∵OF∥AB ,∴EF =FB .证法 2　如图 2 ,过点F作FM∥AD交AB于点M .∵DF∥AM ,∴四边形AMFD是平行四边形 .∴FM∥AD …     

挖掘已知条件,实现一题多解

<正>一题多解对拓展中学生的思维,培养学生的发散思维能力和创新能力具有重要作用.下面就从一道习题的多种解法来说说一题多解的数学思维过程.例如图1,△ABC中,AB=BC,以AB为直径作⊙O交AC于D,交BC于E,过点D作DF⊥BC,垂足为F,连BD、OE交于点G.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若tan∠A=2,求EG/GO的值.第一问只需要连接OD,证明OD⊥DF     

常规试题亦能“演绎”别样精彩

教师在教学实践中,碰到学生问问题是再常见不过的事了,学生的问题以常规试题居多,但面对一道常规试题如能用非常规的思维方式去审视,亦能演绎出别样精彩. 1 题目再现 如图1,在△ABC和△DE中,∠BA C=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接CD、BE,F是CD的中点,连接AF,求证:AF=1/2 BE,AF ⊥BE.     

对一道课本习题的浅析

问题人教版数学八年级下册教科书第133页的第15题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.图1图2证明在AB上任取一点M,使AM=EC,连结ME,如图2.因为∠MAE=∠FEC,∠AME=∠ECF,所以△AME≌△ECF故AE=EF.这是按教材提示做辅助线,很容易获得的结果.但是我们面对这一经典的习题不妨做些如下的探讨和研究:①将“问题”中的“E为BC的中点”,改为“E为线段BC上的任意一点”,其他条件不变.求证:AE=EF.(如图3)为使问题一般化,我做如此变换,下面探讨的方法仍然适合特殊情…     

三角形费马点几何最值问题的变式探究

<正>(2020年重庆a卷26题)如图(1),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF=AD;(2)如图(2)所示,在点D运动的过程中,当BD=■CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论;     

用旋转变换揭示一道平面几何题的结构本质

<正>(人民教育出版社八年级数学下册(2013年审定,2020年印刷)第十八章《平行四边形》第68页"拓广探索"第14题)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)根据提示,取AB的中点G,连接EG构造出△AGE,如图2.根据题意及构造条件知AG=EC,∠AGE=∠ECF,而∠BAE与∠AEB互余,∠AEB与∠FEC互余,