数学归纳法证明不等式的技巧

使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式,关键的一步是寻求P(k 1)的证明,其技巧丰富多彩,下面介绍两种常用的技巧。     

数学归纳法证明中的项数问题

数学归纳法证明中的项数问题５５０００４贵阳市第六中学邢益民在中学数学中，用数学归纳法证明一类恒等式时，如下两个问题常常使学生的解题思路受阻．１当ｎ＝１时的项数例１　　用教学归纳法证明（ｎ＋１）十（ｎ＋２）＋（ｎ十３）＋…＋３ｎ＝ｎ（４ｎ＋１）（ｎ∈Ｎ...     

用数学归纳法间接证明命题

某些与自然数有关的命题不易直接用数学归纳法证明,但有时却可以用数学归纳法证明比原命题更强的新命题.由于此强命题是使原命题成立的充分条件,因而就能达到间接证明原命题的目的。这种证法容易奏效的原因十分简单:较强的命题其归纳法假设也较强,所以有时会更方便。请看下面两例:     

用数学归纳法证明几何题

数学归纳法是数学里的一种重要方法。可用它来证明与自然数列有关的许多数学命题。值得注意的是,不少几何题与自然数列有关,也可以用数学归纳法来证明。 例一已知圆的半径为R,求证:此圆的内接正2~n边形(n≥2)的边长为     

数学归纳法习题编拟例谈

数学归纳法习题编拟例谈王雄湘（湖南湘乡一中４１１４００）为了教学的需要，常常要在教材外的资料中再找一些补充数学题．现就编拟适于证明的“数学归纳法”命题为例，谈几点作法．１借助二项式定理例如，于是便得到下面例１例１用数学归纳法证明能被４整除又例如，于是...     

谈数学归纳法的教学

统编教材第三册,以一节书的篇幅介绍了数学归纳法,这是因为数学归纳法是一种重要的推理方法,它在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。让学生在中学学习阶段就懂得数学归纳法的原理,掌握它的证题方法是十分必要的。这对于提高他们的逻辑推理能力、解题能力和进一步学习都有很大的好处。鉴于中学生的基础知识不宽和教学时间有限,在学生初次接触数学归纳法时,不宜将数学归纳法证题的各种“变着”(如反向归纳法、翘翘板归纳法等)和盘托出,讲得过深过难。而只能使学生懂得数学归纳法的基本原理,掌握它的一般证题方法。要实现这一教学目的,笔者认为在教学过程中必须抓好三环。即讲清数学归纳法的形成过程(即数学归纳法是怎样总结出来的),熟练三类基本题(即恒等式、数列的通项公式和整除问题)的证法,以及在后续的教学中适当的引伸和经常应用。     

这道竞赛题能用数学归纳法证明吗

１９９９年全国初中数学竞赛试题１５：有人编了一个程序：从１开始,交错地做加法或乘法（第一次可以是加法,也可以是乘法）．每次加法,将上次的运算结果加２或加３;每次乘法,将上次的运算结果乘２或乘３．例如３０可以这样得到：１＋３４×２８＋２１０×３３０．证明（１）　可以得到２２;证明（２）　可以得到２１００＋２９７－２．这是一个新颖的好题,起点低,入口宽,可用ｎ种方法得到（１）的结果．对于（２）,证法很多,但难度要大许多．笔者在阅卷时,发现有许多学生使用数学归纳法证明（２）,其证法如下：将　　２１０…     

关于一类条件不等式的数学归纳法证明

关于一类条件不等式的数学归纳法证明许兴华（广西防城港市上思中学５３５５００）１问题的提出在高中数学竞赛中，常出现一类以或为常数作为条件的不等式的证明，因与自然ｉ＝１数ｎ有关，尽管用数学归纳法证明方法上并不很简便，许多同学还是采用了数学归纳法。例如：例...     

用数学归纳法证明一类不等式的技巧

对于一边是常数的数列不等式，在用数学归纳法直接证明时，归纳过渡往往有一定的困难，若利用不等式的传递性、可加性等性质，通过强化命题，放缩常数等技巧，就可顺利完成归纳过渡，下面举例说明．     

异于归纳法的证明

高中《代数》第二册(甲种本)第73页,用数学归纳法证明:1·2 2·3 3·4 … n(n 1)=1/3(n 1)(n 2)不少同学证明之余问道,这个结论是如何得到的呢?现介绍除归纳法外的几种方法供同学们参考。     

数学归纳法证明的几种逻辑错误分析

本文针对用数学归纳法证明的几种常见逻辑错误,举例分析于下: 1 偷换论题的错误 偷换论题指的是在论证过程中,把原来需要证明的那个判断,无意或有因地改换成另外一个判断。在用数学归纳法证明问题时,这种错误常表现为对     

数学归纳法

数学归纳法是论证与自然数n有关的命题的一种常用思想方法,应用范围极宽,它在数学竞赛中占有特殊地位。如何合理、灵活地运用数学归纳法?这是下面所要谈及的主要问题。一、因势利导——善“退”完成数学归纳法,两个基本步骤缺一不可。比较而言,使我们陷入困境的多数归于递推步然而纵观递推步完成的百般变化,归结起来,首要的是善于因势利导,由“k 1”退到“k”。例1 证明:对任何非空的有限集合,都可以把它的所有子集排成一列,使得除第一个外,每一个子集合都可以由它前面的那个子集增加或减少一个元     

数学归纳法

数学归纳法刘昌尧（宜昌教育学院）［基本概念］数学归纳法是数学证明的一个重要工具．设ｐ（ｎ）是与ｎ有关的一个命题．为了证明ｐ（ｎ）对于ｎ≥ｎ０（ｎ０≥１，ｎ０∈Ｎ）的一切ｎ均成立．先证明当ｎ取第一个值ｎ０时ｐ（ｎ０）成立，然后假设当ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ，ｋ≥...     

再谈数学归纳法的教学设计

多年前,我参加区教学比赛,课题是"数学归纳法",写了文[1].最近又有机会进行公开教学展示,课题是"归纳一猜想一证明",这是上海市高中数学二期课改新教材第八章<数学归纳法>中的第一节内容,其学习重点包括数学归纳法.翻阅过去的有关资料,查阅了文[2]、文[3],发现自己的认识与先前也有许多不同之处,故再谈数学归纳法的教学设计.……     

这几个不等式能直接用数学归纳法证明

当与正整数有关的命题直接用数学归纳法证明受阻时,到底是方法本身的"功力不足"还是我们"使用不当",这是我们经常遇到的问题,值得研究.本文以几个不等式为例说明,供参考.     

关于用数学归纳法证明非严格不等式的问题

数学通报1986年第二期发表了《关于数学归纳法一个问题的讨论》,提出了用数学归纳法证明非严格不等式中的一个问题,我们同意该文所述观点,并就这个问题进一步谈谈看法。 对于这个问题争论的焦点是用数学归纳法证明非严格不等式时,由第一步只是等号成立,第二步就归纳假设“≥”或“≤”,归纳基础到底够不够?     

灵活运用数学归纳法思想一例

通常我们用一定的起点、步长,套用一定的格式来使用数学归纳法.对于一些特殊的问题,我们应该从问题的本质出发,挖掘内在性质,巧用数学归纳法的思想.这里用一个令很多人困惑不解的实例来说明这一思想.     

数学归纳法常见错例辨析

<正>数学归纳法是现行普通高中课程标准实验教科书选修4-5《不等式选讲》中的重要内容,其主要用于研究与正整数有关的数学问题.它是各级各类考试命题的热点,同时它也是学好高等数学的基础,但很多同学却因只了解了数学归纳法程式化的证题步骤而对其原理不明确而导致解题的失误,现举例加以辨析,以期对大家的学习有所帮助.1.奠基不够充分     

反向数学归纳法

反向数学归纳法４３００７０华中师大数学系郑学群我们知道第一数学归纳法是：（１）命题ｐ（ｎ）当ｎ＝１时正确；（２）从命题ｐ（ｎ）的正确性推出命题ｐ（ｎ＋１）的正确性，那么命题ｐ（ｎ）对所有的自然数ｎ都正确．数学归纳法的第二步是证明命题的关键，通常是由自...