一道初中联赛题的另解

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一道高中联赛题的另解

<正>题目如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC≠60°,过点B、C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD、CE,且满足BD=CE=BC.直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G.设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N.证明:AM=AN.这是2014年全国高中数学联合竞赛加试的第二题.组委会提供的两种解法中,一种是多次利用角平分线性质定理得证,技巧性较强;另一种是利用余弦定理,通过计算线段长度求得.本文给出两种比较基础的证明方法,供读者参考.     

一道全国联赛初赛题的另解

<正>~~     

一道2013年联赛题的另解

<正>题目(2013年全国初中数学联赛试题)已知实数a,b,c,d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.本刊5月下的参考答案同时采用了换元法和夹逼法,意境高,技巧性强.下面提供另两种常规解答,供学习参考.解法1由条件得(2a2+3c2)(2b2+3d2)=36,即4a2b2+6a2 d2+6b2c2+9c2 d2=36.由条件(ad-bc)2=6得a2 d2+b2c2-2abcd=6,∴6a2 d2+6b2c2=36+12abcd.∴4a2b2+12abcd+9c2 d2=0,∴(2ab+3cd)2=0,∴2ab=-3cd.再由条件得2(a2-b2)=-3(c2-d2),上面两式相乘得cd(a2-b2)=ab(c2-d2),     

一道全国初中数学联赛题的另解

<正>先了解一个公式,平分圆周角的弦长公式:如图1,点A、B、C在⊙O上,弦AD平分∠BAC,若∠BAC=2α,AB=a,AC=b,AD=c,则c=(a+b)/2cosα.证明如图2,连接CD、BD、BC,BC交AD于点E.因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD.于是CD=BD.因为∠CBD=∠BAD,     

一道全国联赛题的消元另解

<正>《中学生数学》2007年第2月上期关于全国高中数学联赛加试第三题的解法,我参看了多本杂志,无一例外地与给的标准答案一致.我初看此解法,已有半生畏惧,思绪也跟着繁索起来,现在我有另解,希望有更多的人了解此种解法,见下:     

一道2013年全国初中数学联赛题的另解

2013年全国初中数学联赛试题中有如下一道条件求值问题:若正数a、b、c满足b2+c2-a22()bc2+c2+a2-b22()ca2+a2+b2-c22()ab2=3,求代数式b2+c2-b22bc+c2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab的值.本刊2013年5月下第28页给出了组委会提供的反证法,但是一般学生不易想到,现在提供一种大多数学生想得到,易操作的因式分解法.供参考与欣赏.解易知条件(b2+c2-a22bc)2+(c2+a2-b22ca)2+(a2+b2-c22ab)2-3=0.[(b2+c2-a22bc)2-1]+[(c2+a2-b22ca)2-1]+[(a2+b2-c22ab)2-1]=0.(b2+c2-a22bc+1)(b2+c2-a22bc-1)+(c2+a2-b22ca+1)(c2+a2-b22ca-1)+(a2+b2-c22ab+1)(a2+b2-c22ab-1)=0.     

另解两值联赛题

(一)2010年全国高中数学联赛一试试题(9)已知函数f(x)=ax~2+bx~2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1,| f′(x)≤1 |,试求a的最大值.解由于f′(x)=3ax~2+2bx+c当a>0时,表示一条下凹的抛物线,从题设条件,可知0≤x≤1,-1≤f′(x)≤1.从图线中可以得到     

一道2013年全国初中联赛题的两种另解

<正>中学生数学(初中版)2013年5月刊登了《2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案》一文,其中第4个选择题系一道不定方程题,并给出了参考答案.笔者读后,想出另外两种解法,故写此文和大家分享如下:题目(2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试第4题)不定方程3x²+7xy-2x-5y-17=0的全部正整数解(x,y)的组数     

两道联赛题的另解

一、对2003年全国高中联赛第13题,可以如下利用柯西不等式,求得证明. 题13设3/2≤x≤5,证明不等式解待证式变为     

一道赛题的另解

《中学生数学》2007年3月(上)第27页《一道赛题解法的探究》一文,给出了2006年安徽省高中数学竞赛初赛中的题目:"设x,y是实数,且满足x~2 xy y~2=3.则x~2-xy y~2的最大值与最小值是_____."的三种思路和解法.为了拓展视野,本文拟再给出该题目的另两种思路和解法.     

一道联赛题的多解探究

2010年全国高中联赛江西省预赛题第3题：函数f（x）=（1-2x）~（1/2）/（x＋2）的值域是.这是一道求无理函数值域的题目,看上去并不复杂,但其中蕴含着诸多的数学思想方法,本文给出几种解法,敬请各位读者指正.思路一三角代换法分析由于函数解析式中含有（1-x2）~（1/2）,让人联想到三角公式,于是可采用三角换元...     

一道联赛题的多解探究

2010年全国高中联赛江西省预赛题第3题:函数f（x）=（1-2x）^1/2/（x+2）的值域是.这是一道求无理函数值域的题目,看上去并不复杂,但其中蕴含着诸多的数学思想方法,本文给出几种解法,敬请各位读者指正.思路一三角代换法分析由于函数解析式中含有（1-x2）^1/2,让人联想到三角公式,于是可采用三角换元法.解法1易知函数的定义域为[-1,1].     

一道全国联赛题的别解

1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数ａ ,ｂ ,ｃ .已知复数ｚ1 ,ｚ2 ,ｚ3满足 :|ｚ1 |=|ｚ2 |=|ｚ3|=1.ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式ｅｉθ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解　令ｚ1 =ｃｏｓθ1 ｉｓｉｎθ1 ,ｚ2 =ｃｏｓθ2 ｉｓｉｎθ2 ,ｚ3=ｃｏｓθ3 ｉｓｉｎθ3,则ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=ｃｏｓ(θ1 -θ2 ) ｃｏｓ(θ2 -θ3) ｃｏｓ(θ3-θ1 ) [ｓｉｎ(θ1 -θ2 ) ] ｓｉｎ(θ2-θ3) ｓｉｎ(θ3…     

一道高中联赛数论题的另解及加强

<正>在数论知识体系中,取整类型的函数是有实际意义的一类函数,在数据加密、数据传输与纠错中都有很重要的作用.在高中数学联赛中,取整类型的函数也时常出现,例如2015年的联赛数论题需要使用高斯函数(向下取整)进行计算,2016年的题干中出现了向上取整函     

一道联赛题的别解及推广

2001年全国高中数学联赛第(12)题:在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图1)要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同植物,现有4种不同植物可供选择,则有______种栽种方案. 本题除了利用排列组合的知识解之外,还     

另解两道联赛题

（一）2010年全国高中数学联赛一试试题（9） 已知函数f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（a≠0）,当0≤x≤1,｜f′（x）≤1｜,试求a的最大值．