n次多项式系统不变直线条数的两个估计

该文将ｎ次多项式系统简称为Ｅｎ系统。该文证明了Ｅｎ系统当ｎ≥３时可存在Ｒｎ＝２ｎ＋１＋（－１）＾ｎ２条方向各异的不变直线及当ｎ≥２时至多存在ｎ组平行的不变直线；本文举例说明，当ｎ≥２时，Ｅｎ系统可以存在Ｓｎ＝２ｎ＋３＋（－１）＾ｎ＋１２条不变直线。提出了二个估计：（１）当ｎ≥２时，Ｅｎ系统至多存在Ｓｎ条不变直线，证明了ｎ＝２，３，４时这一估计是对的；（２）当ｎ≥３３时，Ｅｎ系统至多存在Ｒｎ条方向各     

组合数与空间的分割

一条直线上的n个点最多能把这条直线分成n+1个部分,这一点是很显然的。我们不禁要继续问:平面上n条直线最多能把这个平面分成多少部分呢?三维空间中的n个平面最多能把这个空间分成多少部分呢?     

关于Kn—H2n＋1的升分解

［１］中猜想：任意有正数条边的图都可以升分解．本文证明了Ｋｎ－Ｈ２ｎ＋１可以升分解,其中Ｈ２ｎ＋１表示至多有ｎ个顶点和２ｎ＋１条边的图,ｎ≥７．     

关于多边形分平面区域的计数问题

平面区域的计数问题是组合数学中的一个专题 .本文将利用递推函数的方法来讨论ｎ个开放图形或ｎ个封闭图形分平面所得到的最多区域数的问题 .首先给出封闭图形和开放图形的概念 :封闭图形 :指一般的凸ｎ边形 ;如 ,三角形、四边形 .开放图形 :指在凸ｎ边形中去掉ｍ条边 (ｎ-2 ≥ｍ≥ 1 ) ,如果可以把被去掉的边的端点在图中相关的线段改为射线或直线 ;如 ,一组平行线、角ＡＯＢ .其中每一条直线、线段或射线都称为边 .定理 1　ｎ个角 (这里只讨论锐角的情况 )最多把平面分成 2ｎ2 -ｎ +1个区域 .分析　当ｎ个角把平面分成的区域数最多时 ,这…     

空间分割问题的注记

空间分割问题的注记谷海伟，段来华（山东曲阜师大数学系２７３１６５）（山东惠民一中２５１７００）一个平面最多能被ｎ条直线分割成多少个区域？或更一般地，一个ｍ维空间最多能被。个。一１维子空间分割成多少个区域？这一有趣的问题就是所谓的空间分割问题．它引起了...     

关于平面闭折线的一个定值命题

本文拟给出关于平面闭折线的一个有趣的定值命题．为了叙述简便起见,本文约定：符号Ａ（ｎ）表示平面闭折线Ａ１Ａ２Ａ３…ＡｎＡ１,它的边为有向线段ＡｉＡｉ＋１（ｉ＝１,２,…,ｎ,且Ａｎ＋１为Ａ１）．先引入如下概念和引理：定义设Ｐ为闭折线Ａ（ｎ）所在平面内...     

用物理知识证数学公式一例

１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝１６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）是一个非常重要的数列求和公式,其应用十分广泛．关于它的证明,有不少巧妙的方法．利用物理学中重心和静力矩知识来推导这个公式,是一种颇为有趣的方法．这种方法基于下面的质点系设计：如图,在一根数轴上,以坐标为１的Ａ点为一个顶点,以坐标为ｎ的Ｈ点为底边上中垂线的垂足作一等边三角形ＡＢＣ,再在该等边三角形内过坐标为２,３,４,…,ｎ－１的各点分别作数轴的垂线,把三角形的两腰ＡＢ和ＡＣ分成ｎ－１等分,然后过这两组分点分别作平行于两腰的两组平行线,把△Ａ…     

再谈椭圆中一类三角形面积的最大值

文［１］利用伸缩变换讨论了椭圆内过定点的直线与椭圆的两个交点与原点构成的三角形面积的最大值．本文将利用行列式及二次函数在闭区间上的最值理论讨论这一问题．为此先给出下面两个引理．引理１　坐标平面内逆时针排列的三点Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）、Ｃ（ｘ３,ｙ３）构成的△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１１ｘ２ｙ２１ｘ３ｙ３１．（证明略）．引理２　二次函数在闭区间上的最值要么在顶点取得,要么在区间的端点取得（证明略）．定理　椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ、ｎ∈Ｒ＋）内有一定点Ｍ（ｐ,ｑ）,过Ｍ的直线…     

直线与平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直的判定和性质李迪淼（湖南洞口一中４２２３００）【基本概念】１．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．２．过一点有且只有一条直线和一...     

高维空间中半线性波动方程的Sobolev指数

ＧｕｓｔａｖｏＰｏｎｃｅ与ＴｈｏｍａｓＣ．Ｓｉｄｅｒｉｓ［４］猜测对一些具有特殊非线性项的半线性波动方程，如ｕｔ－△ｕ＝ｕｋ（Ｄｕ）α（ｘ∈Ｒｎ，ｋ∈Ｚ＋，ｌ＝｜α｜２），其中Ｓｏｂｏｌｅｖ指数会在ｎ２与（ｎ２＋１）之间．文［４］中，在ｘ∈Ｒ３时，回答了这一问题．本文在ｎ３维空间中，得到了半线性波动方程ｕｔ－△ｕ＝ｕｋ（Ｄｕ）α（ｘ∈Ｒｎ，ｋ∈Ｚ＋，ｌ＝｜α｜２）的Ｓｏｂｏｌｅｖ指数为ｍａｘ｛ｎ２＋１２，（ｎ２－１）·ｌ－３ｌ－１＋２｝，此数确实在区间［ｎ２＋１２，ｎ２＋１］中．     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

用构造法解一类最值问题

用构造法解一类最值问题文家金（四川省安岳一中６４２３６７）问题１设折线：Ａ１Ａ２…Ａｎ＋１的长为定值Ｌ：与直线Ａ１Ａｎ＋１所围成的ｎ十１边形的面积记为Ｓ（ｎ≥２）．（１）为何种折线时Ｓ最大？（２）若Ａ１，Ａｎ＋１为定点，问为何种折线时Ｓ最大？结论：（...     

Steiner分割问题的进一步探讨

Ｓｔｅｉｎｅｒ分割问题的进一步探讨徐道（江苏如皋市教师进修学校２２６５００）ｎ条直线最多可将一个平面分割成多少区域？ｎ个平面最多可将整个空间分割成多少个区域？这就是著名的Ｓｔｅｉｎｅｒ直线分割平面及平面分割空间问题．关于这一问题的推广与探讨，已有好多...     

直线方程题卡

直线方程题卡笑文题过点Ｐ（－１，２）作一直线，在两坐标轴上截得的线段等长，则这样的直线有（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条分析只要确定待定直线的斜率，就可以写出所求直线所属的直线系的方程．主解设直线的斜率为ｋ，则有直线系方程ｙ＝ｋ（ｘ＋１）＋２...     

一个排列数公式在数列求和中的应用

在排列组合中,由组合数性质Ｃｍｎ＋１＝Ｃｍｎ＋Ｃｍ－１ｎ,容易推出：Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋＋Ｃｎｎ＋ｍ　＝Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．于是　ＣｎｎＰｎｎ＋Ｃｎｎ＋１Ｐｎｎ＋Ｃｎｎ＋２Ｐｎｎ＋…＋Ｃｎｎ＋ｍＰｎｎ＝Ｃｍ＋１ｎ＋ｍ＋１Ｐｎｎ＝１ｎ＋１Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１Ｐｎｎ＋１．由ＣｎｋＰｎｎ＝Ｐｎｋ,得：Ｐｎｎ＋Ｐｎｎ＋１＋Ｐｎｎ＋２＋…＋Ｐｎｎ＋ｍ＝１ｎ＋１Ｐｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．本文应用这个公式来研究现行高中教材《代数》下册中的一些数列前ｎ项和,不仅可以简化运算,而且为这些数列前…     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

关于二部图K(m,n)-2的色唯一性

设Ｋ（ｍ，ｎ）－２表示从完全二部图Ｋ（ｍ，ｎ）中删去任意２条边所得之图．本文证明了：１．若ｎ≥ｍ≥３，且ｎ＋ｍ＞(（ｎ－ｍ）^２＋８)^1/2＋１/２（ｎ－ｍ）^２＋４，则Ｋ（ｍ，ｎ）－２是色唯一图；２．当ｍ≥３时，Ｋ（ｍ，ｍ）－２，Ｋ（ｍ，ｍ＋１）－２和Ｋ（ｍ，ｍ＋２）－２均是色唯一图．     

谈直线的“侧”及其应用——中学数学笔谈之十二

平面中一条直线把整个平面分成两个半平面,我们称它们为直线的两个“侧”．取定一直角坐标系．设直线ｌ的方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０①（Ａ,Ｂ不同时为零）．当一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）不在ｌ上时,把它代入①的左端必不为零．容易证明,在ｌ同（异）侧的点的坐标代入①左端...     

数学问题解答

１９９８年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１６１．对任意正整数ｎ，试证明：１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋…＋１３ｎ＋１＜９８．证明容易证明，１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋…＋１３ｎ＋１是关于ｎ递增的，所以上述不等式无法直接用数学归纳法证明．我们设法在不等式左边...     

一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...