空间中的平面轨迹--一类热门高考题

2004年重庆市高考题有这样一道题: 四面体ABCD,在面ABC内有一点P,P到 平面BCD的距离等于P到AB的距离,则在平 面ABC内的P点轨迹为(　　)? 图10图2 解　如图2所示,作PE⊥AB于H,PE⊥ 平面E,PF⊥BC于F,设PH=PE=a,平面 ABC与平面BCD所成的角为α,则PH=PE= PF·sinα,所以P在平面ABC的轨迹是直线, 答案(D) 同样的,在2004年北京市高考题有这样一 道题 P是正方体ABCD—A1B1C1D1面BCC1B1 上的任意一点P到棱B1C1的距离等于P到棱 CD的距离,则P的轨迹是(　　) (A)直线　　　　(B)椭圆 (C)双曲…     

一道易错题的解析

例题已知平面内有一定点A与一定直线l,点P是平面上的动点,且点P到l的距离比到点A的距离小2,则点P的轨迹是().(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)无法确定许多同学都认为答案是(C),因为大家习惯上都会像图1那样在平面内任取一点P,然后将l向右平移2个单位,成为直线l′,则P就是到定点A与到定直线l′距离相等的点,根据定义,其轨迹是抛物线,这种解法看似无懈可击     

立几选择题三道

P是△ABC所在平面α外一点,O是P在平面α内的射影。 (1)若PA,PB,PC与平面α成等角; (2)若P到△ABC的三边的距离相等; (8)若PA,PB,PC两两互相垂直; 那么点O是△ABC的 (A)重心; (B)垂心; (C)内心; (D)外心。     

立体几何总复习

1 单项选择题 (1)已知正△ABC的边长为3,到这三顶点A、B、C、距离都等于1的平面的个数是( ) (A)2. (B)3 (C)5 (D)8 (2)平面外两条异面直线在该平面内的射影是( )     

浅析平面内常见曲线定义及性质的应用

平面内常见曲线有:线段的垂直平分线,角平分线,圆及圆锥曲线等.他们的定义分别如下:(1)线段的垂直平分线是平面内到两定点的距离相等的点的轨迹.(2)角平分线是平面内到角两边距离相等的点的轨迹.(3)圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹.     

立体几何图形中动点轨迹的探求策略

<正>由于高考强化能力立意,因此一些创新试题不断出现.立体几何也不例外,比如其中动点轨迹问题,就很亮眼,这非常易于考察学生的创新精神和探索能力.那么对这类问题该采取怎样的探求策略呢?现提供如下几种方式.一、特例检验例1若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹在侧面△ABC内组成的图形可能是().     

用三棱锥的体积关系式解题

在立体几何中，求点或直线到平面的距离、两异面直线的距离、三角形面积、二面角；求证四面体中有关距离的等式或不等式问题，可以利用三棱锥的体积关采式获解，这是一种简捷而有效的方法．1求点到平面的距离例1已知P为矩形平面ABCD外一点，PD上平面ABCH，AB—a，PD—b，来A点到平面PBC的距离d．解田三垂线定理知，BC上PC．在R’thABC中，S。。。一了a“BC，放由VA．P。一VP。BC，待于是汪用三俊雄的体积等回关系式来点到平面的距离的优点是，不需作出波点到此平面的垂线段．Zk直线到旱面的距志例2已知亘三棱枉ABC——AIB…     

数学问题解答

2012年2月问题解答 (解答由问题提供人给出)2 041 P是四面体A-BCD内的任一点,P到四顶点A、B、C、D的距离分别为d1、d2、d3、d4,P到四个面:面BCD、面ACD、面ABD、面ABC的距离分别为d′1、d′2、d′3、d′4,求证:     

立体几何与解析几何的交汇新视角——轨迹问题

高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交叉渗透,在知识网络的交汇点设计试题.近几年出现了以立体图形为载体的轨迹问题,将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起,立意新颖,综合性强,是新课程高考命题的一大趋势.解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题,一般可从两个方面考虑:一是利用曲线的定义,二是用解析法求出轨迹方程.例1已知平面α∥平面β,直线lα,点P∈l,平面α,β间的距离为4,则在β内到点P的距离为5且到直线l的距离为92的点的轨迹是()(A)一个圆.(B)两条平等直线.(C)四个点.(D)两个点.图1例1图简析如图1,设点P…     

十年热考,题根研究——阿波罗尼斯圆

<正>上教版高二年级下学期数学练习册22页第4题:已知A,B两点相距10厘米,动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍,求点P的轨迹.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在?平面轨迹?一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.     

费马点性质及其应用

在诸如电力线的建设、道路修建等最优化实际应用中，需要选定最佳点位置，以使该点与其它相关点的距离之和为最小．而平面几伺中三角形的费马点恰好具有这样的属性，因此费马点性质在解决有关“距离和最小”类实际问题中，具有独特的功效．先回顾三角形费马点的定义与性质．定义设△ABC所在平面内有一点P，满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P点为△ABC的费马点（如图1）．容易知道，一个三角形的费马点存在且唯一。性质三角形的费马点，是平面上所有点中到三角形的三个顶点的距离之和为最小的点．这个性质，可用很优美的平面几何…     

射影为重心的一个充要条件

点P在△ABC所在平面外一点，点O是点P在面ABC内的射影（如图）． 众所周知： （1）点O为／△ABC外心的充要条件是：PA=PB=PC     

关于空间Erds——Mordell不等式

在△ABC所在的平面上,有如下著名的Erds—Mordell不等式: 设△ABC内一点P到各顶点与到各边的距离分别为R_1,R_2,R_3与r_1,r_2,r_3,则R_1 R_2 R_3≥2(r_1 r_2 r_3) 去年,王扬在文[1]中提出了以下命题     

对新课标选修教材中两个易错问题的辨析

问题1 平面内到定点F的距离比到定直线l的距离大(小)d的轨迹一定是以定点F为焦点的抛物线吗? 　　北师大版新课标教材<数学(选修2-1)>(以下简称新教材)第73页练习2第4题: 　　平面上动点M到点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,求动点M满足的方程.……     

阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用"几何画板"探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

求异面直线距离的一种有效方法

本文介绍一种求异面直线距离的有效方法—射影法 ,此法的解题根据是基于下面两个结论 .图 1　结论 1图结论 1　如图 1,若异面直线l1,l2 在平面α内的射影是两条互相平行的直线m1和m2 ,则直线l1,l2 的距离等于直线m1,m2 的距离 .结论 2　如图 2 ,若异面直线l1,l2 在平面α内的射影分别为点A和直线m ,则l1,l2 的距离等于点A到直线m的距离 .图 2　结论 2图从图 1和图 2可以看出 ,以上两个结论的正确性是十分显然的 ,故其证明从略 ,请读者自己完成 ,下面举例说明它们的应用 .例 1　如图 3,在三棱图 3　例 1图锥P ABC中 ,PC⊥底面ABC ,PA⊥…     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…     

到两定直线距离之和(差积商)为定值的点的轨迹

<正>平面上到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,这一轨迹概念有各种各样的推广.本文讨论了平面内到两相交直线距离之和、差、积、商为定值的点的轨迹,可供中学生及老师参考.为研究方便,不妨设两相交直线为l_1:y=kx,l_2:y=-kx(k>0),动点P(x,y)到l_1、l_2的距离分别记为d_1,d_2,且d_1与d_2之和(差、积、商)m为定值且不等于0.     

向量在2003年高考试题解答中的应用

例1 (选择第4小题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点轨迹一定通过△ABC的( ). (A)外心(B)内心