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在三角形中,我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线.下面给出分角线长的一种公式.定理 如图1,D是△ABC的边BC上一点,设AB、AC分别为c、b,∠BAD=α,∠CAD=β,图1则 AD=bcsin(α+β)csinα+bsinβ.(1)当AD是∠A的平分线时, AD=2bccosA2b+c;(2)当AD是中线时, AD=bsin(α+β)2sinα=csin(α+β)2sinβ;(3)当AD是高线时, AD=ccosα=bcosβ=bcsinAa.(4)证明 在… 相似文献
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一个简单定理的两个应用562100贵州普定县教研室廖炳江在三角形中存在着如下一个简单而有用的定理:bABC中,设BC=a,AC=b,AB一c,则有:A-a.B-bsin?CMM.sin4at==.一2—b十c’一2、a+c’c-csZn;5一二一T.... 相似文献
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几个三角形面积比定理的统一证明 总被引:2,自引:1,他引:1
本文约定:△ABC的三内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,面积为S,且△ABC的半周长为p=12(a+b+c),内切圆半径长为r(=4RsinA2sinB2sinC2).本刊文[1]给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链S垂足△?.. 相似文献
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文献[1]中得出了下述二次型三角形不等式:对锐角△ABC与任意实数x,y,z,有s-aax2+s-bby2+s-ccz2≥2(yzcosBcosC+zxcosCcosA+xycosAcosB)①其中a,b,c与s分别为三角形的三边与半周.最近,我们在... 相似文献
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关于椭圆的十个最值问题 总被引:1,自引:0,他引:1
本文利用初等方法讨论了与椭圆有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 ,为方便读者选用 ,现用定理形式叙述如下 .定理 1 椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b >0 )的内接三角形的面积的最大值为3 34ab .证明 设该椭圆内接三角形ABC三顶点坐标按逆时针方向依次为A(acosθ1 ,bsinθ1 ) ,B(acosθ2 ,bsinθ2 ) ,C(acosθ3,bsinθ3) ,则 △ ABC的面积为S=121 acosθ1 bsinθ11 acosθ2 bsinθ21 acosθ3 bsinθ3=12 ab1 cosθ1 sinθ11 cosθ2… 相似文献
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1992年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题:已知三角形的三边长为a,b,c.求证:2a2+b2+b2+c2+c2+a2a+b+c<3(1)文[1]将其推广为:已知三角形的三边长为a,b,c,λ∈[-2,2],则2+λ1a+b+c(a2+λab+b... 相似文献
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问题设a,b,c表示△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,形内任意两点P1,P2到A,B,C三个顶点的距离分别为a1,a2,b1,b2,c1,c2求证:aa1a2+bb1b2+c1c2abc.这是Hayashi不等式的一个拓广,笔者经研究探索,得到如... 相似文献
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三角形的一个边角变换的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理 f (a ,b ,c,△ )≡ f (cos A2 ,cos B2 ,cos C2 ,18(sinA sinB sinC) ) ,其中a ,b ,c ,△分别是△ABC的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广 f(a ,b ,c,△ )≡f(a′ ,b′ ,c′ ,△′) ,其中 a′ =y2 z2 2 yzcosA,b′=z2 x2 2zxcosB ,c′ =x2 y2 2xycosC,△′ =12 | yzsinA zxsinB xysinC| .x ,y ,z是任意实数 ,且xyz≠ 0 .为证明该推广… 相似文献
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题目 AD为△ABC的高线 ,BD =a ,DC =b(a <b) ,将△ABC沿AD折叠成二面角B AD C ,其平面角为θ ,若cosθ =ab,则四面体A BCD的侧面ABC是 ( ) .(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)由a、b的值确定错解 首先考察θ为直角时 ,DA ,DB ,DC两两垂直 ,易证△ABC的三个角均为锐角(可用公式cosθ =cosθ1 ·cosθ2 ) ,即△ABC为锐角三角形 .因cosθ =ab >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角B AD C由直二面角连续折叠成了锐二面角 .… 相似文献
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asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)的应用夏中全(重庆市武隆县中学408500)高中代数上册第195页给出了公式:asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)①其中辅助角φ所在的象限由a,b的符号确定,φ的值通常由tgφ=ba确定... 相似文献
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题 已知△ABC的外接圆半径为 6 ,a ,b ,c分别是角A ,B ,C所对应的边 ,角B ,C和面积S满足条件S =a2 - (b -c) 2 且sinB+sinC =43,求△ABC的面积S的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解 由余弦定理 ,得a2 =b2 +c2 -2bccosA ,即a2 =(b -c) 2 + 2bc( 1 -cosA) ( 1 )又∵S =12 bcsinA =a2 - (b -c) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得 sinA =4 ( 1 -cosA) ,∴1 -cosAsinA =14 ,∴tan A2 =14 ,∴sinA =81 7.又∵si… 相似文献
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放缩法是证明不等式的重要方法 .应用哪些方法进行放缩 ,向哪个方向放缩 ,放缩到什么程度 ?是使用该法证明不等式的难点 .本文将就这些方面作些介绍 .1 去掉式子中某些正项或负项去掉式子中某些正项或者负项 ,可使式子缩小或者放大 .例 1 设a ,b ,c∈R 且ab bc ac =1,求证 :a b c≥ 3 .证 ∵ (a b c) 2 =a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac=12 [(a -b) 2 (b -c) 2 (c -a) 2 ] 3(ab bc ac)≥ 3(ab bc ac) =3 ,∵a ,b ,c∈R ,∴a b c≥ 3 .例 2 在△ABC中 ,求证 :si… 相似文献
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第24届IMO第6题是:在△ABC中,a、b、c是三边长,求证:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.(1)文[1]指出了它的下述对偶形式:ab2(a-b)+bc2(b-c)+ca2(c-a)≤0,(2)并给出了统一的距离解释.即不等式(1)、(2)的几何解释为:三角形内Brocard点到内心的距离非负.受此启发,笔者研究了第6届IMO第2题:在△ABC中,a、b、c是三边长,求证: a2(b+c-a)+b2(a+c-b)+c2(a+b-c)≤3abc,(3)发现它也有如下的… 相似文献