广义函数的乘法

1950年,法国数学家L.Schwartz成功地引入了广义函数概念:具有紧支集的无穷次连续可微函数空间上的连续线性泛函。但如何定义任意两个广义函数的乘积问题一直未能得到圆满解决。从广义函数概念出发,易于定义无穷次可微函数与任意广义函数的乘积:     

δ~(m)(x)和 x_+~(±n)ln~k x_+的乘积

关于广义函数的乘积,有各种定义.在[1,2]中曾比较了各种乘积,证明了利用广义函数的解析表示结合非标准分析定义的乘积 SoT 包含了绝大多数已知的乘积.乘积 SoT的一个特点是易于对特殊的广义函数的乘积算出具体的结果,包括有限部分和无穷部分,例如可见[3—7].应用解析表示计算乘积的还可见[8—11].当然由于没有应用非标准分析,算出的乘积只限于是普通的广义函数的情形或阿达玛有限部分的情形.应用解析表示使得乘积易于计算的原因,是常见的广义函数均可由比较简单的初等解析函数来表示.     

某些无穷乘积的代数无关性

本文研究了某些用无穷乘积定义的函数在代数点和超越点上的值的代数无关 性.     

某些无穷乘积的代数无关性(Ⅱ)

本文证明了某些具有代数系数的无穷乘积和幂级数定义的函数在某些代数数和超越数上值的代数无关性.     

分布值函数和分布的乘法（Ⅱ）

在超分布的代数运算的基础上定义了分布的U-乘积,具体计算了(δ~((m))(x)·δ~((n))(x))U、δ~((x))_U~n和(x~m·(δ(x))~(m+p))_U。利用U-乘积定义了分布的广义乘积,还引进了δ(x)在点a的值的概念。最后,研究了广义乘积在近代物理学中的两个应用:(1)给出了非线性波动方程的因果解;(2)给出了跃迁几率计算过程中使用的公式(δ(x))~2=δ(0)δ(x)的确切含义及证明。     

关于一个超越性定理及其应用

本文对文［１］中一个超越性定理给出另外两个不同的简单证明,并用来证明某些通过在数域上定义的无穷乘积表示的函数在代数点上的值的超越性,从而构造了一些新的超越数．     

关于一个超越性定理及其应用

本文对文［1］中一个超越性定理给出另外两个不同的简单证明,并用来证明某些通过在数域上定义的无穷乘积表示的函数在代数点上的值的超越性,从而构造了一些新的超越数.     

广义不变凸多目标半无限规划的鞍点条件

利用广义代数运算,定义了一类不变凸函数和不完全向量值Lagrange函数的鞍点,研究了涉及此类函数的多目标半无限规划问题,得到了广义鞍点的必要性和充分性条件.在更弱的凸性条件下,得到了几个重要结果.     

算子代数上的广义正定函数

本文研究定义于基本函数空间Ｄ或Ｓ上取值于ｖｏｎＮｅｕｍａｎｎ代数或Ｃ－－代数中的广义函数．证明了每个从局部紧的交换群到Ｃ－代数的范数连续正定函数可以表示为正向量值测度的富里埃变换．也得到了广义正定函数和平移不变厄米正定双线性泛函的一般表示定理．     

实正定矩阵与Minkowski不等式的再推广

本文给出实广义正定矩阵概念的新推广及其基本性质,讨论它及常见几种定义下广义正定矩阵的代数结构,得到非对称正定矩阵乘积的一个新刻画,并利用所获广义正定矩阵的性质,拓广了Minkowski,OstrowskiTaussky等矩阵不等式的取值范围.     

代数体函数的公共值点密度与唯一性定理

该文利用孙道椿定义的代数体函数的加法, 研究了两个代数体函数之间的公共值点的密度, 并将几个亚纯函数的唯一性定理推广到了多值的代数体函数.     

非标准分析与广义函数的乘法(Ⅰ)

广义函数的乘法问题是一个始终未能很好解决的问题.本文运用非标准分析给出了一种乘法,它对任意两个广义函数都有定义,并以种种标准的乘法为特殊情况.文中还利用广义函数在一点的阶的概念,给出了一种非常广泛的标准乘法.     

基于树的最小乘积模糊集代数

给出Σ-代数、Σ-树和Σ-树函数的定义.引入了最小乘积模糊集代数,以此研究了一类特定形式的Σ-树.讨论了线性正规等式下的等价类的封闭性,证明了Σ-运算满足分配律并具有保序性.     

标度广义效应代数和标度效应代数的结构

研究了标度广义效应代数与标度效应代数的代数结构,给出了比较完整的结果.通过引入全标度广义代数的概念,本文证明了区间[0,1)上的标度广义效应代数和单位区间[0,1]上的标度效应代数完全由单位区间上的阿基米德余模确定,标度广义效应代数恰同构于全标度广义代数的下集.若标度广义代数满足局部有限条件,则它同构于实数加法群的子群代数.满足(S)条件的标度效应代数同构于实数加法群的子群代数和全标度广义代数的字典序乘积的子代数.     

非标准分析和任意维数的广义函数的乘法

本文把文献[1]中所定义的一维广义函数的乘积推广至任意维数。于是对任意S,T∈D′(Rⁿ),我们有乘积SoT。这一乘积具有通常乘积所具有的性质。一个新的现象是:偶数维的δ函数的自乘具有非零的Hadamard有限部分。     

广义函数的卷积

在古典分析中,已引入: 定义1 设f∈L_p(-∞,+∞),g∈L_q(-∞,+∞),其中1≤p,q≤+∞,满足1/p+1/q=1,则f和g的卷积定义为: 利用直积的概念,Schwartz L.给出了广义函数卷积的一般定义. 定义2 设f,g是两个广义函数,定义f和g的卷积为: (f*g,φ=(f(x)×g(y),φ(x+y)),φ∈D. 但是,在这里要指出,φ(x+y)已经不是(x,y)空间中的具有有界支集的函数,因而一般地说,定义2是没有意义的. 但对下面两种情况,定义2是有意义的. (1)广义函数f,g之一的支集是有界的; (2)两个广义函数f,g的支集都是同一方向有界的. 1973年Jones D S.研究了广义函数卷积,给出了另外一种广义函数卷积定义.     

(h，■)-广义切导数与最优性条件

借助于Ben-Tal广义代数运算定义了广义(h,■)-Clarke切锥,广义(h,■)-邻接切锥和广义(h,■)-伴随切锥,由此定义了广义(h,■)-Clarke方向导数、广义(h,■)-邻接方向导数、广义(h,■)-伴随方向导数及(h,■)-广义梯度,由此给出了具有(h,■)-凸性的的实值函数最优解的判别条件.文章是Ben-Tal代数在凸分析理论中的应用,所有结果和所用方法可以应用于多目标优化的研究.     

分片代数集合的不可约性和同构

本文利用多元样条函数来定义分片代数集合,讨论了分片代数集合的不可约性和同构问题,给出了分片代数集合不可约的两个等价条件,并把分片代数集合的同构分类问题转化为交换代数的同构分类问题。     

代数体函数的一类新的奇异方向

该文运用代数体函数的球面特征函数作为比较函数, 定义了代数体函数的 T 方向, 证明了平面上的代数体至少存在一条 T 方向,其例外值的个数至多为2+[δ_x] ≤ 2 ν.     

函数乘积的可导性

运用导数的定义,从理论上分析不同形式的函数乘积的可导性条件。