正确理解和运用第一积分中值定理

第一积分中值定理是微积分中基本定理之一。在逻辑证明方面,有着广泛的应用。 该定理应叙述为: 定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使 integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a) a<ξ相似文献   

b→a时拉格朗日中值定理中ξ的变化趋势

<正> 微分学中拉格朗日中值定理为: 定理1 若函数f(x)满足:i)f(x)在[a,b]上连续,(ii)f(x)在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。     

多阶可微函数的迭代根与 Bodewadt 猜想

B(?)dewadt 在[1]中研究了定义于开区间(a,b)上的多阶可微函数 F(x)的迭代根,并证明了如下之B(?)dewadt 定理 若 F(x)定义于(a,b)且在(a,b)有任意阶的导数 F~(k)(x),(k=1,2,…),F′(x)>0,F(x)>x.且 F(x)把(a,b)变为(a,b),则对任意正整数 n≥2,存在定义于(a,b)的任意阶可微函数 f(x)满足     

利用微分中值定理推广两个题目

利用泰勒中值定理推广[1]中的一个例题,利用罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理推广2001年全国考研一个题目,分别得到如下结果:1.若f(x)在(a、b)内恒为正,在[a,b]上具有(2n 2)阶连续导数,并且在两个端点处不超过2n阶的导数均为零,则∫abf(2fn( 2x))(x)dx>(2(nb -1a))!22n 21n 22.若f(x)在[-a,a]上具有2n阶导数,且在原点处不超过2n-2阶的偶数阶导数均为零,则在[-a,a]上至少存在一点η,使2a2n 1f(2n)(η)=(2n 1)!∫-aaf(x)dx     

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

简化形式的积分中值定理另一种表述

阐述了简化形式的积分中值定理中f(x)不要求连续的情况下成立的条件.即"设函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,同时f(x)在[a,b]上有原函数,则存在ξ∈(a,b),使∫ from x=a to b f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立",并且给出了简洁的证明.     

积分中值定理的一个证法

积分中值定理是这样叙述的:设函数f(x)在[a,b]上连续,则在(a,b)内至少存分点ξ,使integral from n=a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a)目前各类高校教材及教学参考书,对该定理的证明通常都是利用积分估值定理与闭区间上连续函数的介值定理完成的.这种证法只能证出ξ∈[a,b],不能证出ξ∈[a,b].现介绍一种证法,分两步:     

一个定理的推广

文[1]中的定理为:若f(x)是[a,b]上的增函数,x f(x)=m,x f-1(x)=m的根分别为a,b,则a b=m.经探讨,笔者发现定理中的条件“f(x)是[a,b]上的增函数”是多余的,该定理可进一步推广为:定理若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b,则a b=m.定理的证明用到下面的引理:引理若函数y=f(x     

杭州大学一九八三年攻读硕士学位研究生入学考试试题

1.给定函数f∈C~2[a,b]和分划a=x_0相似文献   

关于周期插值样条的几点注记

§1.引言 假定[a,b]上的分划为△:a=x_0相似文献   

一道2007乌克兰竞赛题的推广

文[1]在探究一道2007乌克兰竞赛题提出如下猜想:设a、b、c>0,且abc≥1,则有n3(an an-1 …a 1)(bn bn-1 … b 1)(cn cn-1 … c 1)≥(n 1)3(an-1 … a 1)(bn-1 … b 1)(cn-1 … c 1).本文将得到:定理若Πmi=1xi≥1,xi>0,3≤m,2≤n,i,m,n∈N ,则有nmΠmi=1(xin xni-1 …xi 1)≥(n 1)miΠ=m1(xin-1 …xi 1).证明考虑函数F(x)=n2 n1(1-xn 1)-(1-xn)(1 x)=nn -11(1-xn 1)-x xn(x>0),当0F(1)=0;当x>1时,(n-1)xn-1>xn-2 … x 1(共n-1项),F′(x)<0,F(x)是减函数,F(x)相似文献   

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

关于Dini定理

关于函数序列或函数级数的一致收敛性判别准则 ,我们熟知的有 M判别法 ,Abel定理及Dirichlet定理 .在作者的《数学分析》(下册 P95 ,高等教育出版社 ,1 995年 )中还介绍了 Dini定理 ,以下称之为第一 Dini定理 .第一 Dini定理　设 [a,b] R是一有界闭区间 , n∈N,fn∶ [a,b]→R是一连续函数且满足下述条件 :1 )函数序列 { fn}是单调的 ,即 n∈ N ,fn≤ fn+ 1或 n∈ N ,fn≥ fn+ 1.2 )函数序列 { fn}在 [a,b]上逐点收敛于一连续函数 f :[a,b]→ R ,那末函数序列 { fn}在 [a,b]上一致收敛于函数 f.注意 ,上述条件 1 )中的单调性是指函数…     

一个二次系统不存在极限环的新证法

<正> 本文研究二次微分系统 x=-y+lx~2+mxy+ny~2=P_2,y=x(1+by)=Q_2,(b≠0)(1)将证明下面定理. 定理1 系统(1)在相平面上不存在极限环. 在[1]中已证当m~2+4n(n+b)≥0时(1)在相平面上不存在极限环,那里是用找Dulac函数的方法来证明的,利用Dulac函数     

对一道习题的思考

从相关习题出发，借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am}；设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数，则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

微分中值定理的巧用

一定理:1°洛尔定理:若函数f(x)在[a,b]上连续;在(a,b)上可微且f(a)=f(b)=0,则存在ξ∈(a,b)使,f′(ξ)=0。 2°Cauchy定理:若函数f(x)及g(x)在     

关于积分中值定理的逆定理

<正> 著名的积分中值定理可叙述为: 积分第一中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积且不改变符号,则存在ξ∈[a,b],使     

在L~2空间上用插值型算子逼近的一个註记

设定义在[a,b]上的权函数W(x)满足W(x)>0(a,e)和integral from n=a to b (W(x)) dx< ∞;以 (a<)x_n~(n)相似文献   

读"圆锥曲线的一个优美性质"想到的

文[1]:“圆锥曲线的一个优美性质”,其结论如下:定理1设椭圆E:x2a2 y2b2=1(a>b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2 n2b2≠1)的两直线分别交E于A、B、C、D,则直线AC、BD的交点N在直线l:mxa2 nyb2=1上.定理2设双曲线E:x22a-y2b2=1(a>0,b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2-2nb2≠1)的两直     

广义Stirling数及其性质

This paper gives a common generalization of generalized stirling number in [1]-[9].namely (x|a)n=∑k≥0 Aa,b(n,k)(x|b)k and obtains some properties..