函数的右导数与导函数的右极限的关系

通过例子和定理讨论了函数f（x）在点x0处的右导数f′＋（x0）与导函数当x→x0^＋时的右极限f′（x0^＋）=limx→x0^＋f′（x）之间的关系．     

三个极限公式的研究及其应用

首先给出了(∑ from k=1 to n (a_k~f(x)-n))/f(x)的极限公式,进而又给出了[∑ from k=1 to n (a_k~f(x)-(n-1))]~1/f(x)的极限公式,同时也得到了(1/n∑ from k=1 to n a_k~f(x))~1/f(x)的根限公式,从而,可应用公式求三种类型的极限,使求极限公式化     

广义的洛必达法则

众所周知 ,洛必达法则是高等数学里导数在求不定型极限中的重要应用 ,然而许多同学利用它求极限时 ,一看符合洛必达法则的条件 ,就马上利用洛必达法则分子分母同时求导计算 ,不会结合极限的运算法则 ,显得死板教条 ,有时尽管也把极限求出来 ,但是计算过程相当麻烦 .对此 ,本文结合通常的洛必达法则 ,特给出下面的广义法则 .定理 1　设 f (x) =f1(x) f2 (x) ,g(x) =g1(x) g2 (x)在 x=a的某个去心邻域内处处可导 ,且g′2 (x)≠ 0 ,如果 :(1 ) limx→ af (x) =0 ,limx→ ag(x) =0 ;(2 ) limx→ af2 (x) =0 ,limx→ ag2 (x) =0 ;(3 ) limx→ af1…     

Precise Rates in the Law of Iterated Logarithm for the Moment of I.I.D. Random Variables

Let{X,Xn;n≥1} be a sequence of i,i.d, random variables, E X = 0, E X^2 = σ^2 〈 ∞.Set Sn=X1＋X2＋…＋Xn,Mn=max k≤n│Sk│,n≥1.Let an=O（1/loglogn）.In this paper,we prove that,for b〉-1,lim ε→0 →^2（b＋1）∑n=1^∞ （loglogn）^b/nlogn n^1/2 E{Mn-σ（ε＋an）√2nloglogn}＋σ2^-b/（b＋1）（2b＋3）E│N│^2b＋3∑k=0^∞ （-1）k/（2k＋1）^2b＋3 holds if and only if EX=0 and EX^2=σ^2〈∞.     

一类特殊函数极限的计算

本文基于高等数学中极限计算方法,利用定积分定义法和Taylor中值定理法,求解lim（x→∞）1/n n∑k=1 f[k]这类特殊极限     

关于函数及其导数相互关系的几个结论

讨论由f(x)和f^(n 1)(x)的性质来决定f‘(x),f‘‘(x)……f(n)(x)的相应性质,得到几个结论璧如：设f（x)在区间(a, ∞)有直到(n 1)阶的导数,那么当limx→ ∞f(x)=0且limx→ ∞f^(n 1)(x)=0时,必有limx→ ∞f(x)=0……limx→ ∞f^(n)(x)=0     

不等式背景下的函数求值问题

众所周知,不等式a≤c≤a中蕴涵着等量关系c=a,不等式g（x）≤f（x＋k）-f（x）≤g（x）（x∈R）中蕴涵着等量关系f（x＋k）-f（x）-g（x）．若函数g（x）已知,再给出f（x0）的值以及n（n∈R且n≥2）,就可以求出f（x0＋nk）=f（x0）＋∑i=0^n-1g（x0＋ik）这一函数值．     

考点40 函数的极限与连续

1.(辽宁卷,2)极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的().(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件2.(广东卷,3)limx→-3x+3x2-9=().(A)-16(B)0(C)61(D)313.(全国卷,5)limx→1(x2-31x+2-2x2-4x+3)=().(A)-21(B)21(C)-61(D)614.(湖北卷,8)若limx→1(1-a x-1-b x2)=1,则常数a,b的值为().(A)a=-2,b=4(B)a=2,b=-4(C)a=-2,b=-4(D)a=2,b=45.(江西卷,8)若limx→1f(x-1)x-1=1,则limx→1x-1f(2-2x)=().(A)-1(B)1(C)-21(D)21考点40函数的极限与连续1.f(x)在x=x0处连续,必有limx→x0f(x)存在,…     

欧拉常数γ的几种表示

调和级数∑n=1^∞1/n是发散的，而极限lim n→∞（∑k=1^∞1/k-lnn）却是收敛的，其极限值称为欧拉常数γ，本文给出了欧拉常数γ的几个有趣的级数表示和积分表示．     

关于L′Hospital法则的一个注记

在微积分这门课程当中 ,常常碰到求 00 型、∞∞ 型的极限问题 ,解决这类问题的一种简单而有效的方法是 L′Hospital法则。过去 ,在不少有关的书籍中 [1,2 ,3] ,∞∞ 的 L′Hospital法则的表述是 :若 (1 )函数 f (x)和 g(x)在 (a,a δ)有定义 (δ>0 ) ,limx→ a 0 f (x) =∞ ,limx→ a 0 g(x) =∞(2 ) f(x)和 g(x)在 (a,a δ)都可导 ,g′(x)≠ 0 ,并且 limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　 (包括 A=∞的情形 )则limx→ a 0f (x)g(x) =limx→ a 0f′(x)g′(x) =A　　最近 ,我们在 [4,5,6 ]中看到 ,去掉条件 (1 )中的 limx→ a 0 f (x) =∞…     

SATURATION THEOREMS FOR GENERALIZED BERNSTEIN POLYNOMIALS

In the present paper, we give the explicit formula of the principal part of ∑k=0^n（{k}q-[n]qx）^sxk ∏m=0^n-k-1（1-q^mx） with respect to [n]q for any integer s and q ∈ （0, 1]. And, using the expressions, we obtain saturation theorems for Bn （f , qn,x） approximating to f（x） ∈ C[O, 1], 0 〈 qn ≤ 1, qn → 1.     

几类B值拟鞅空间上的原子分解

设1〈P≤2,0〈n≤1,X是P一致可光滑空间的Banach空间,则对每个X值拟鞅f=（fn）n≥0∈pHn^σ（X）存在分解fn=∑k∈Zμkαn^k（n≥0）,并且｜｜f｜｜pHα^σ（X）＋｜｜R（f）｜｜α～inf（∑k∈μk^a）^1/a,这里a^k=（an^k）n≥（k∈Z）是一列（1,α,∞;p）拟鞅原子,并且在L^1中收敛,sup k∈z｜｜a^k＊｜｜n〈∞,（μk）k∈Z∈la是非负实数列．对于拟鞅空间pHa^s（X）和qKn（x）成立类似的结果．此外,利用拟鞅原子分解定理,证明了几个拟鞅不等式．     

一道高等数学竞赛题的一题多解

陕西省第四次高等数学竞赛 (初赛 ) ( 2 0 0 1年 9月 )有这样一道选择题 :已知limx→ 0x2 f ( x) +cosx-1x4 =0 ,则limx→ 02 f ( x) -12 x2 =(　　 )( A) 0　　 ( B) -12 4　　 ( C)不存在　　 ( D) 11 2下面给出这道题的三种解法 ,希望对读者能有所启发。解 1　选 ( B)。由cosx=1 -12 x2 +x44!+0 ( x4 )得0 =limx→ 0x2 f ( x) +cosx -1x4 =limx→ 0x2 f ( x) -12 x2 +x44!+0 ( x4 )x4 =limx→ 0 (f ( x) -12x2 +14 !+0 ( x4 )x4 ) =limx→ 0f ( x) -12x2 +12 4所以　　　　　　　 limx→ 02 f ( x) -12 x2 =-12 4评注　利用 cosx的带 …     

函数单调性在证明不等式中的应用

利用函数的某些性质解决不等式的证明问题 ,在高等数学中是经常使用的方法 ,本文结合实例 ,利用函数的单调性来处理不等式的证明问题 .例 1　当 0 f (x) >limx→ π2 - 0f (x) ,而 limx→ 0 f (x) =1 ,limx→ π2 - 0f (x) =2π ,故 1 >sinxx >2π.例 2　当 x>0时 ,证明 :x -x22 相似文献   

三个数列的收敛速度

利用不等式形式对e-〔1＋1/n〕^n,〔1＋1/n〕^（n＋1）-e,e-n∑k=0 1/k!进行了估计,给出了数列〔〔1＋1/n〕^n〕,〔〔1＋1/n〕^（n＋1）〕,{n∑k=0 1/k!}收敛于e的速度.     

关于一类奇异两点边值问题的 Chawla样条方法

1、引言 本文考虑如下的奇异两点边值问题。-1/w（x）（p（x）y＇（x））＇ = f（x,y（x））, x ∈ （0, 1）（1）limx→0＋ p（x）y＇（x） = 0,y（1）=A（2）。     

n次迭代还原函数的一个构造定理的改进

定义1^[1]记函数f（x）=f^[1]（x）,f（f（x））=f^[2]（x）,…,f（f（…f（x）…））=f^[n]（x）,f^[n]（x）为f（x）的n次迭代．     

The Jackson Inequality for the Best L2-Approximation of Functions on [0, 1] with the Weight x

Let L^2（[0, 1], x） be the space of the real valued, measurable, square summable functions on [0, 1] with weight x, and let n be the subspace of L2（[0, 1], x） defined by a linear combination of Jo（μkX）, where Jo is the Bessel function of order 0 and {μk} is the strictly increasing sequence of all positive zeros of Jo. For f ∈ L^2（[0, 1], x）, let E（f, n） be the error of the best L2（[0, 1], x）, i.e., approximation of f by elements of n. The shift operator off at point x ∈[0, 1] with step t ∈[0, 1] is defined by T（t）f（x）=1/π∫0^π f（√x^2 ＋t^2-2xtcosO）dθ The differences （I- T（t））^r/2f = ∑j=0^∞（-1）^j（j^r/2）T^j（t）f of order r ∈ （0, ∞） and the L^2（[0, 1],x）- modulus of continuity ωr（f,τ） = sup{｜｜（I- T（t））^r/2f｜｜：0≤ t ≤τ] of order r are defined in the standard way, where T^0（t） = I is the identity operator. In this paper, we establish the sharp Jackson inequality between E（f, n） and ωr（f, τ） for some cases of r and τ. More precisely, we will find the smallest constant n（τ, r） which depends only on n, r, and % such that the inequality E（f, n）≤ n（τ, r）ωr（f, τ） is valid.     

极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

Vilenkin-Like系统的不等式

For bounded Vilenkin-Like system, the inequality is also true：
（∑ k=1 ^∞ kp-2｜f^^（k）｜^p）^1/p ≤ C｜｜f｜｜Hp, 0 〈 p ≤ 2,
where f^^（·） denotes the Vilenkin-Like Fourier coefficient of f and the Hardy space Hp（Gm） is defined by means of maximal functions. As a consequence, we prove the strong convergence theorem for bounded Vilenkin-Like Fourier series, i.e.,
（∑ k=1 ^∞ k^p-2｜｜Skf｜｜p^p）^1/p≤C｜｜f｜｜Hp,0〈p〈1.