Stability of axisymmetric motions in a rotating inviscid atmosphere

Summary We study the set of ordinary differential equations representing the truncation of the spectral vorticity equation in spherical geometry for two-dimensional, non divergent motions in a homogeneous, inviscid rotating atmosphere. The set of included spectral components represent an arbitrary axisymmetric field of motion (zonal flow) interacting with a couple of non zonal, wave-like perturbations. We analize the stability of the equilibrium configuration described by purely zonal flow, by an esplicit representation of the linear and non-linear parameters which characterize the unstable oscillations induced by perturbations of the equilibrium.

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Sommario Si studiano le soluzioni di un sistema di equazioni differenziali ordinarie che rappresentano il troncamento a poche componenti di Fourier dell'equazione di conservazione della vorticità per moti bidimensionali, non divergenti in una atmosfera rotante, inviscida e omogenea. Tale troncamento include tutte le componenti spettrali che rappresentano flussi a simmetria assiale (moti zonali) in interazione non lineare con una coppia di componenti asimmetriche che rappresentano flussi ondulatori. Si studia la stabilità della configurazione di equilibrio caratterizzata da moto zonale stazionario, analizzando i parametri lineari e non lineari che descrivono le oscillazioni instabili di ampiezza finita del campo di flusso che nascono da condizioni iniziali nell'intorno dell'equilibrio.

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This work was supported by the C.N.R. through the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

New results on the semidiscrete Boltzmann equation for a binary gas mixture

Summary A plane semidiscrete model of the Boltzmann equation for a binary gas mixture with molecular collisions ruled by the hard-spheres interaction potential is described. After establishing a model, a theorem demostrating the global existence of mild solutions of the initial-value problem is given and the propagation of unidimensional shock waves examined.

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Sommario Si propone un modello semidiscreto piano dell'equazione di Boltzmann per una miscela binaria con collisioni molecolari soggette al potenziale di interazione delle sfere rigide. Costruito il modello, si dà un teorema di esistenza globale di soluzioni generalizzate per il problema di Cauchy, e si analizza la propagazione di onde d'urto unidimensionali.

     

First order phase equilibrium for classical bodies

Summary In this note the Author gives a general and unified treatment of first order phase equilibria for classical bodies like those considered by Truesdell and Toupin in[3].The Author reaches a system of partial differential equations (generalized Clapeyron equations) the conditions of whose solution are shown always to be satisfied.In particular, the Author derives the equations governing the polarized phase equilibrium for a fluid.Besides the equations ruling the phase equilibrium for a two phase n-component fluid mixture are given and the equivalence with the statical Gibbs-Duhem relation is shown.

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Sommario In questa nota l'Autore presenta una trattazione generale ed unificata degli equilibri di fase del primo ordine per corpi classici come quelli definiti da Truesdell e Toupin in[3].L'Autore perviene ad un sistema di equazioni alle derivate parziali (equazioni di Clapeyron generalizzate) del quale si dimostra la integrabilità.In particolare, si deducono le equazioni che governano gli equilibri di fase polarizzati.Inoltre si ottengono le equazioni che regolano l'equilibrio di fase per una miscela fluida a n componenti; in questo caso si dimostra l'equivalenza delle equazioni con la relazione statica di Gibbs-Duhem.

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This work was supported by the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica of C.N.R.     

On periodic motions in magnetohydrodynamics

Summary A uniqueness theorem and an existence theorem for motions asymptotically stable in the mean and periodically depending on time, are demonstrated in magnetohydrodynamics, on the hypothesis that a motion sufficiently regular and asymptotically stable in the mean exists. In particular, similar theorems for steady motions are deduced. The procedure used is also a simple method for constructing periodic and steady motions.

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Sommario Si dimostra un teorema di unicità ed un teorema di esistenza per i moti magnetoidrodinamici periodicî nel tempo ed asintoticamente stabili in media, subordinatamente all'ipotesi che esista un moto asintoticamente stabile in media sufficientemente regolare, e si deducono, in particolare, analoghi teoremi per i moti stazionari. Il procedimento adoperato costituisce anche un semplice metodo per la effettiva costruzione dei moti periodici e dei moti stazionari.

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This work was done in the sphere of activity of the C.N.R. groups for mathematical research and, in Italian, has already been presented for publication in Rend. Acc. Sc. Fis. Mat., Napoli.     

On flow and stability of a Newtonian fluid past a rotating plane

An exact solution is given for the steady flow of a Newtonian fluid occupying the halfspace past the plane z=0 uniformly rotating about a fixed normal axis (Oz). This solution is obtained in a velocity field of the form considered by Berker [2] and can be deduced as a limiting case, as h+, of the solution to the problem relative to the strip 0zh imposing at z=h either the adherence boundary conditions or the free surface conditions. Furthermore, the stability of this flow, subject to periodic disturbances of finite amplitude, is studied using the energy method and the result is compared with those corresponding to stability of flows in the strip 0zh.

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Sommario In questa nota si mostra che-oltre alla calssica soluzione di von Karman [1] — esiste, per opportuni valori del gradiente di pressione all'infinito, una soluzione esatta per il moto stazionario di un fluido Newtoniano posto nel semispazio limitato dal piano z=0 uniformemente rotante attorno ad un asse ad esso perpendicolare (Oz). Tale soluzione, ottenuta sulla scia del lavoro di Berker [2], si può dedurre anche come limite, per h+, della soluzione del problema relativo alla striscia 0zh quando sul piano z=h si assegnano o le condizioni di aderenza o le condizioni di frontiera libera. Si studia poi la stabilità di tale moto rispetto a perturbazioni spazialmente periodiche di ampiezza finita col metodo dell'energia e si confronta il risultato ottenuto con quelli relativi alla stabilità dei moti nella striscia 0zh.

     

Discrete velocity models with small data

Summary It is shown that all discrete velocity models conserving mass, momentum and energy and without self-interactions have global, uniformly bounded solutions for small enough initial data with compact support. This is interesting because of a recent example with small data inL ¹ L whose solution is not bounded, and shows the unboundedness is due to mass being fed in from infinity.

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Sommario Si dimostra che tutti i modelli con velocità discretizzate che conservano la massa, la quantità di moto e l'energia e senza autointerazioni hanno soluzioni globali, uniformemente limitate per dati iniziali a supporto compatto e abbastanza piccoli. Questo è interessante a causa di un esempio recente con dati piccoli inL ¹ L la cui soluzione non è limitata e mostra che l'illimitatezza è dovuta ad un flusso di massa dall'infinito.

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Research supported by the Natural Science and Engineering Research Council Canada under Grant No. A8560.     

On three dimensional transient wave motions on a running stream

Summary This paper considers the three-dimensional transient wave motions in a fluid produced by a moving oscillatory disturbance of frequency acting on the free surface of the fluid. The problem is treated as an initial value problem and is solved by the joint Laplace-Fourier transform method combined with the asymptotic treatment for the double Fourier inversion integrals. The explicit representation of the steady state as well as the transient solution of the problem is presented. It is shown that the ultimate steady is set up in the limit. A brief discussion on the principal behaviour of the wave motions is made.

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Sommario Si considerano i moti ondosi transitori tridimensionali prodotti in un fluido da una eccitazione oscillatoria, in movimento, di frequenza che agisce sulla superficie libera. Il problema è trattato come problema di valori iniziali e viene risolto con il metodo della trasformata congiunta di Laplace-Fourier combinata con il trattamento asintotico per gli integrali doppi di inversione di Fourier. Si espone la rappresentazione in forma esplicita della soluzione di regime e di quella transitoria. Si dimostra che la condizione finale di regime viene stabilita nel passaggio al limite. Si esegue una breve discussione del principale comportamento del moto ondoso.

     

A note on the transformation from companion to jordan canonical form for multivariable systems

Summary An algorithm for the transformation of generalized Companion forms for multivariable linear systems to Jordan form is considered.The procedure is based on a preliminary transformation to the corresponding maximum length chains canonical form (MLCGCF) and on knowledge of the eigenvalues and their multiplicity.

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Sommario Viene presentato un algoritmo per la trasformazione della matrice dinamica di sistemi lineari a più variabili di ingresso-uscita da forma companion generalizzata in forma di Jordan.Il procedimento è basato su una trasformazione preliminare in forma canonica a catene di massima lunghezza (MLCGCF) e sulla conoscenza degli autovalori e della loro multeplicità.

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This work was supported by CNR (Italian Council of Researches).     

Second order gravitational field theories with hilbert gauge

Summary We consider, in the field-theoretical approach, a class of gravitational theories deducible by a variational principle in the unrenormalized pseudo-Euclidean space-time. At first order in the coupling constant f we require the theories to coincide with the Einstein one. Moreover we assume the Hilbert gauge which assure the exclusion of the vector component of the gravitational potential . To get the higher order consistency we substitute the most general energy-momentum tensor for the particle tensorT ^(p) in the field equations. Requiring the latter to be deducible by a variational principle varying the potentials , we get a Lagrangian which, varying the particle coordinates, gives the equations of motion. So we get a class of theories depending on 5 arbitrary parameters. To have observable quantities we have to renormalize. So we realize that, to satisfy the equivalence principle, we have to put one of the arbitrary parameters equal to zero. With this choice the class of theories coincides at second order with general relativity.

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Sommario Si vuole ottenere una classe di teorie gravitazionali deducibili da un principio variazionale, nell'ambito della teoria dei campi e nello spazio-tempo pseudoeuclideo non-rinormalizzato. Si richiede che tali teorie coincidano, al primo ordine nella costante di accoppiamento f, con la teoria di Einstein. Si assume inoltre la gauge di Hilbert al fine di escludere la presenza della componente vettoriale del potenziale . Per ottenere la consistenza al secondo ordine delle equazioni di campo, si sostituisce, in queste ultime, al tensore della particellaT ^(p) il più generale tensore energia-quantità-di-moto . Imponendo alle equazioni di campo di essere deducibili mediante un principio variazionale ove si varino i potenziali , si ottiene una lagrangiana che, ove si varino le coordinate della particella di prova, dà le equazioni di moto. In tal modo si ottiene una classe di teorie dipendenti da 5 parametri arbitrari. Per un confronto con i dati sperimentali è necessario rinormalizzare, onde esprimere quantità osservabili. Si dimostra così che per soddisfare il principio di equivalenza al secondo ordine è necessario porre uno dei 5 parametri uguale a zero e che, con tale scelta, l'intera classe di teorie coincide, al secondo ordine, con la relatività generale.

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Research sponsored by the CNR, Gruppi di ricerca Matematica     

The Kepler problem spinor regularization and quantization on the manifolds S2

Summary In a previous research we have shown that the KS-transformation, developed by Kustaanheimo and Stiefel for the regularization of the Kepler problem, may be interpreted as the correspondence which associates to each null 4-vector of the space of Minkowski a one-index spinor, defined up to a phase factor, and we have obtained a new form of the KS-transformation. In the present research we show that this formulation allows a straight derivation of the Hopf fibering of the sphere S³ (characterized by unit spinors) having the base space given by the section (sphere S²) of the light cone, and we show that the KS-transformation allows the quantization of the symplectic manifold S² in the sense of Souriau. The sphere S³ turns out to be a contact quantized manifold. The bilinear relation characteristic of the KS-theory and the column vectors of the KS-matrix are intimately related to the contact structure.

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Sommario In un precedente lavoro si è mostrato che la trasformazione KS, introdotta da Kustaanheimo e Stiefel per regolarizzare il problema di Keplero, è riconducibile alla ben nota corrispondenza fra vettori del cono isotropo dello spazio di Minkowski e spinori semplici, definiti a meno della fase, e si è pervenuti ad una nuova formulazione della KS. Nel presente lavoro si mostra come da tale formulazione scaturisca in modo naturale la fibrazione di Hopf della sfera S³ (caratterizzata dagli spinori unitari) avente quale base una sezione (sfera S²) del cono isotropo e si mette in luce come la trasformazione KS consenta di effettuare la quantizzazione della varietà simplettica S² nel senso di Souriau e di ottenere la sfera S³ quale varietà quantica di contatto. La relazione bilineare caratteristica della teoria KS ed i vettori colonna della matrice KS risultano intimamente legati alla struttura di contatto.

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Presented at the VI Congresso Nazionale dell'Associazione Italiana di Meccanica Teorica ed Applicata (AIMETA), Genova, October 1982. Work performed under the auspices of G.N.F.M. of the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

Columnar vortices in isotropic turbulence

The structure of the intense vorticity regions is studied in numerically simulated homogeneous, isotropic, equilibrium turbulent flow fields at four different Reynolds numbers, in the rangeRe =35–170, and is found to be organized in coherent, cylindrical or ribbon-like, vortices (worms). At the Reynolds numbers studied, they are responsible for much of the extreme intermittent tails observed in the statistics of the velocity gradients, but their importance seems to decrease at higherRe . Their radii scale with the Kolmogorov microscale and their lengths with the integral scale of the flow, while their circulation increases monotonically withRe . An explanation is offered for this latter scaling, based in the assumed presence of axial inertial waves along their cores, excited by a random background strain of the order of the root mean square vorticity. This explanation is consistent with the presence of comparable amounts of stretching and compression along the vortex cores.

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Sommario La struttura di regioni ad intensa vorticità in campi di flusso turbolento omogenei, isotropi ed in equilibrio, simulati numericamente, viene studiata per quattro differenti numeri di Reynolds nell'intervalloRe =35÷170, e si trova che tali regioni si organizzano in vortici coerenti, cilindrici o a forma di nastro (vermi). Con rifermento ai numeri di Reynolds studiati, si vede che tali vortici sono responsabili per gran parte delle code estreme ed intermittenti, osservate nelle statistiche dei gradienti di velocità, ma la loro importanza sembra decrescere a più altiRe . I loro raggi scalano con la microscala di Kolmogorov e le loro lunghezze con la scala integrale del flusso, mentre la loro circolazione cresce monotonicamente conRe . Per quest'ultimo riscalamento viene offerta una spiegazione basata sull'assunzione della presenza di onde inerziali assiali lungo i loro nuclei, eccitate da una deformazione di fondo casuale dell'ordine della radice quadrata della velocità media. Questa spiegazione è consistente con la presenza di incrementi paragonabili di allungamenti e compressioni lungo i nuclei dei vortici.

     

On elastic-plastic structures with associated stress-strain relations allowing for work softening

Summary For the elementary (finite or infinitesimal) constituents of the structure are assumed generalized stress-strain relations which satisfy the condition of normality but which may exhibit work-softening, concavity of yield surfaces, variation of elastic coefficients with stress and/or plastic strain.The usual phenomena of geometric instability are excluded. Sufficient conditions are formulated for overall stability in spite of the presence of unstable elements, and for uniqueness of the incremental boundary-values problem. Conditions are discussed with a view to applications and expressed in terms of positive definiteness of appropriate quadratic forms.Finally, yield surfaces and flow laws for the structure are examined, and among other things their necessary association is shown.

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Sommario Per i costituenti elementari (finiti o infinitesimi) della struttura si assumono legami incrementali tra sforzi e deformazioni generalizzati che soddisfano alla condizione di normalità ma che per il resto sono generici, cioè tali da presentare eventualmente incrudimento negativo, concavità del campo elastico, variazione dei coefficienti elastici con gli sforzi e/o con le deformazioni plastiche.Esclusi per il sistema i fenomeni usuali di instabilità geometrica si formulano condizioni sufficienti per la stabilità del complesso nonostante la presenza di parti a funzionamento instabile, e per l'unicità del problema incrementale al contorno. Le condizioni sono discusse in vista delle applicazioni ed espresse in termini di definizione positiva di forme quadratiche opportune.Si esaminano infine le superfici di snervamento e le leggi di scorrimento per l'intera struttura e, tra l'altro, se ne dimostra la necessaria associazione.

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First published in Italian in Rendiconti dell'Istituto Lombardo Classe Scienze e Lettere, A 100, 1966.The present investigation has been promoted and financed by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.) at the Istituto di Scienza delle Costruzioni of the Facoltà di Architettura, Politecnico of Milano. Part of it was carried out at Brown University (Providence R. I. - U.S.A.). The author acknowledges with tanks the NATO Fellowship assigned by the C.N.R. in 1964, the encouragement and kind hospitality he received from Professor D.C. Drucker, and the interesting discussions he had with Professor Drucker and Dr. A. C. Palmer.     

On the evolutions of the discontinuities of orders ⩾ m in solutions for quasi-linear systems of PDEs of order m,or for the linearizations of these systems

Summary One considers a system L[u]=0 of PDEs, quasi-linear (according to [1]) and of order m, which possesses a bicharacteristic line , as it happens in the hyperbolic case. For v=0, , –m (>0) let u(^v) be a discontinuity wave of order m+v that solves the system above and whose discontinuity hypersurface includes . The corresponding transport equations along are considered. Furthermore some interesting cases are pointed out, in which these equations turn out to be mutually equivalent in a suitable sense. Some theorems are stated to compare the transport equations for the discontinuities of the above kinds, that are connected with the systems d^hL[u]/dt^h=0 (h=0, , –m) and/or the linearization of the system L[u]=0 around any regular solution of it.

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Sommario Si considera un sistema L[u]=0 di equazioni alle derivate parziali, quasi lineare (secondo [1]) e di ordine m, il quale sia dotato di qualche bicaratteristica , come accade nel caso iperbolico. Per v=0, , –m(>0) sia u(^v) un'onda di discontinuità di ordine m+v risolvente il detto sistema e avente ipersuperficie di discontinuità contenente Si considerano le relative equazioni di trasporto lungo e si determinano casi interessanti in cui queste equazioni sono mutuamente equivalenti in senso opportuno. Si stabiliscono teoremi di confronto per il trasporto delle discontinuità del tipo suddetto, relative ai sistemi d^hL[u]/dt^h=0 (h=0, , –m) e/o alla linearizazione del sistema L[u]=0 attorno a qualche sua soluzione regolare.

     

Kelvin states in an inhomogeneous elastic space

Summary An explicit solution to Kelvin's problem in linear elastostatics is given when the indefinite elastic medium in isotropie, but not homogeneous. As a constitutive law, it is assumed that the tangent modulus is a constant, while varies with the distance from the origin according to an exponential law.

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Sommario Viene data una soluzione formale del problema di Kelvin in elastostatica quando il mezzo elastico indefinito è isotropo, ma non omogeneo. Come legge costitutiva, si assume costante il modulo tangenziale , mentre varia con la dlstanza dall'origine secondo una legge esponenziale.

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On leave at Istituto di Scienza delle Costruzioni. Pisa (Italy).     

Die eingespannte Halbplatte mit verformbarem Randstück und sprunghaft veränderlichen Randlasten

Übersicht Der Verformungszustand isotroper Halbplatten mit sprunghaft veränderlichen Randbedingungen kann durch zwei stückweise analytische Funktionen (z) und (z) beschrieben werden. Setzt man geeignete Funktionenkombinationen aus (z) und (z), also Funktionen, welche die Randbedingungen beschreiben, über Randteilbereiche analytisch fort, so gelingt es, lineare Kopplungsprobleme (Hilbertprobleme) der genannten Lösungsfunktionen zu definieren. Die Lösungen dieser Kopplungsprobleme zeigen, daß im Bereich von Randpunkten mit sprunghaft veränderlichen Randbedingungen Querkraft und Momentensingularitäten auftreten, die sogar oszillierenden Charakter haben können.

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Summary The displacement of isotropic half-plates with mixed boundary conditions can be described by two sectionally holomorphic functions (z) and (z). Continuing analytically suitable combinations of the functions (z) and (z), defined by the boundary conditions, linear Hubert problems for the solution functions can be obtained. The solutions of these problems show, that in points of abrupt changes of the boundary conditions singularities in torques and in shear forces may arise, which might even have oscillating character.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Universität München angenommenen Habilitationsschrift. Referent: Prof. Dr.-Ing. G. Knittel, Korreferent: Wiss. Rat Dr.-Ing. H. Grundmann.     

On a singular integral equation in the theory of radiative transfer

Summary A singular integral equation arising in the theory of radiative transfer with polynomial scattering indicatrices is studied in this paper. In the case of a semi-infinite atmosphere, brightness coefficients and auxiliary functions satisfy this equation when the free term is suitably specified. The general solution of the singular equation is given a closed form in terms of its moments _n and of the fundamental solution of a homogeneous Hilbert problem. The _n's (n 1) are seen to satisfy a set of linear equations, and ₀ turns out to be simply related to the subsequent _n's.

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Sommario In questo articolo viene studiata un'equazione integrale singolare che si presenta nella teoria del trasporto radiativo con indicatrici di scattering polinomiali. I coefficienti di riflessione e trasmissione e le funzioni ausiliarie di un'atmosfera semiinfinita soddisfano questa equazione, con opportune determinazioni del termine noto. La soluzione generale dell'equazione viene espressa in forma chiusa mediante i suoi momenti _n e mediante la soluzione fondamentale di un problema omogeneo di Hilbert. Le _n (n 1) soddisfano a loro volta un sistema di equazioni lineari, e ₀ risulta legato alle successive _n da una semplice relazione.

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This work was done under the auspices of the CNR Research Groups.     

Wave propagation and instabilities in a rotating anisotropic plasma

Summary The effects of a uniform rotation on the propagation of small perturbations through an anisotropic collisionless plasma are investigated. These effects are present in various ways on the well-known hose, mirror and gravitational instabilities. In Part I we consider plane perturbations, in Part II cylindrical. Some remarks about stability and hydromagnetic waves in an anisotropic collisionless plasma are given in Appendix.

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Sommario Si esaminano gli effetti di una rotazione uniforme sulla propagazione di piccole perturbazioni in un plasma anisotropo privo di urti. Tali effetti si manifestano in vario modo sui noti fenomeni di instabilità hose, mirror e magnetogravitazionale del tipo di Jeans. Nella prima parte si considerano perturbazioni piane, nella seconda di tipo cilindrico. Alcune considerazioni sulla stabilità e sulle onde idromagnetiche in un plasma anisotropo privo di urti sono svolte in Appendice.

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This work was carried out while the author was a member of the Gruppo di Ricerca no. 44 per la Matematica del CNR, 1967–68.     

The irrotational waves and the convergence of Levi-Civita's series

Summary The paper shows that the existence of irrotational surface waves established by an investigation of Levi-Civita may be extended till the breaking, but that it is valid when is 0,84 p 1 (and when p₁=np with n whole number). No solution is known till to day when is p<0,84 (and when is 1,00<p₁<<1,68).

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Sommario La nota estende la dimostrazione dell'esistenza di onde superficiali irrotazionali, data dal Levi Civita per una ampiezza finita ma sufficientemente piccola dimostrando l'esistenza di queste onde fino al frangimento. Tanto questa dimostrazione che quella originaria di Levi Civita sono valide finchè sia 0,84 p 1 (e quando sia p₁=np con n intero). Nessuna soluzione è nota fino ad oggi quando sia p<0,84 (e quando sia 1 p₁ 1,68).

     

Dynamic shakedown by modal analysis

Summary Dynamic shakedown of discrete elastic-perfectly plastic structures under a specified load history is studied using the dynamic characteristics of the structure provided by modal analysis. Several statical and kinematical theorems are presented, including lower and upper bound theorems for the minimum adaptation time of the structure. In the formulation of the kinematical theorems a crucial role is played by the appropriate definition of admissible plastic strain cycle.

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Sommario Si studia il problema dell'adattamento dinamico (shakedown) di una struttura discreta elasto-perfetta-mente plastica e soggetta ad una storia di carichi prestabilita, facendo uso a tale scopo delle caratteristiche dinamiche della struttura fornite dalla analisi modale. Vengono presentati svariati teoremi, sia di tipo statico che cinematico, tra cui taluni teoremi di delimitazione superiore ed inferiore del tempo minimo di adattamento. Nella formulazione dei teoremi cinematici ha un ruolo cruciale la corretta definizione di ciclo deformativo ammissibile.

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This paper is part of a research project sponsored by the National (Italian) Research Council, C.N.R., Group of Structural Engineering, and by the National Department of Education (M.P.I.).     

Scattering of implusive sound waves by a rigid cylinder

Summary Analytic time solutions for the scattering of impulsive waves (the time-space Green function) by a rigid circular cylinder in an annular domain are obtained through a finite integral transform of the spatial variable. By a similar generalized procedure the scattering of impulsive waves by a rigid cylinder in an infinite medium is described in order to obtain the Green function of the reduced wave equation in terms of a series of propagation modes.

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Sommario In questo articolo si presentano alcuni metodi di soluzione analitica di problemi di diffrazione di onde impulsive in un dominio anulare. Le soluzioni sono ottenute con l'impiego di una trasformata integrale finita della variabile spaziale. Attraverso un procedimento analogo generalizzato viene descritta la diffrazione di onde impulsive causate da un cilindro circolare rigido in un mezzo infinito.

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This work was supported by C.N.R., Committee for Mathematical Sciences.