用柯西不等式推导点到直线的距离公式

点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )及直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0 (Ａ2 +Ｂ2 ≠ 0 ) .设点Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )是直线ｌ上任意一点 ,则Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ =0 . ①｜ＰＰ1 ｜=(ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2 .②点Ｐ ,Ｐ1 两点间的距离｜ＰＰ1 ｜的最小值 ,就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :Ａ2 +Ｂ2 · (ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2≥｜Ａ(ｘ0 -ｘ1 ) +Ｂ(ｙ0 -ｙ1 ) ｜=｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ- (Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ) ｜ ,由①、②得 :Ａ2 +Ｂ2 ·｜ＰＰ1 ｜≥｜…     

二次曲线定比分点弦的存在定理

文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 +2Ｄｘ+2Ｅｙ+Ｆ ,　φ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 ,ｆ1 (ｘ,ｙ)=Ａｘ+Ｂｙ +Ｄ ,　ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ｂｘ+Ｃｙ +Ｅ ,Ｉ2 =Ａ　ＢＢ　Ｃ ,Ｉ3=Ａ　Ｂ　ＤＢ　Ｃ　ＥＤ　Ｅ　Ｆ.定理　过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线交二次曲线Ｆ(ｘ ,ｙ) =0于Ｐ1 、Ｐ2 两点 ,点Ｐ分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ ,则Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )满足　Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｉ2 Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) -…     

错在哪里

学生王灵在做高考仿真模拟训练题时 ,遇到这样一道题 .题目　如图 1 ,已知双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2=1 (ｂ >ａ >0 )的实轴两端点为Ａ ,Ｂ ,若双曲线Ｃ在第一象限图象上存在一点Ｑ (ｘ ,ｙ) ( ｙ≥ｘ) ,使∠ＡＱＢ =6 0° ,求双曲线Ｃ的离心率ｅ的取值范围 .通过分析 ,他给出如下解法 .图 1　题目用图解　由题意知Ａ( -ａ ,0 ) ,Ｂ(ａ ,0 ) .∴ｋＡＱ=ｙｘ +ａ,　ｋＢＱ=ｙｘ -ａ.　ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｋＢＱ-ｋＡＱ1 +ｋＢＱ·ｋＡＱ.又ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｔａｎ6 0°=3,∴ 3=ｙｘ -ａ- ｙｘ +ａ1 + ｙｘ -ａ· ｙｘ +ａ,化简得 3=2ａｙｘ2 + …     

关于圆锥曲线弦中点问题的解法再探

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一 .本刊文 [1]、文 [2 ]与文 [3 ] ,探讨了解此类问题的代点相减法、点参数法 ,本文用圆锥曲线弦的中点与斜率的关系给出一类统一解法 ,归结为定理 ,利用本文提供的定理来求解此类问题 ,能化难为易 ,化繁为简 .设圆锥曲线Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ +Ｆ=0的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,其斜率存在 ,设为ｋ ,且ｋ ≠ 0 .其中Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )、Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则有Ａｘ21 +Ｃｙ21 +Ｄｘ1 +Ｅｙ1 +Ｆ =0 ,Ａｘ22 +Ｃｙ22 +Ｄｘ2 +Ｅｙ2 +Ｆ =0 ,两式相减并同除以 (ｘ1 -ｘ2 ) ,考虑到ｘ1 +ｘ2 =2ｘ0 ,ｙ1 +ｙ2 =2 ｙ0 ,得　　Ａｘ0 +Ｃｋｙ0 +Ｄ2 +Ｅｋ2 =0 .仿此可得 :定理 1　椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ &;gt;0 ,ｂ&;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,其斜率ｋ存在且不为零 ,则　　 ｙｘ &;#183;ｋ =-ｂ2ａ2 .定理 2　双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1(ａ&;gt;0 ,ｂ &;gt;0 )的弦Ｐ1 Ｐ2 的中点为Ｐ(ｘ...     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

标准椭圆与双曲线的“点曲式”方程及其应用

文 [1]给出了中心在原点 ,焦点在坐标轴上 ,且经过两点Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) (其中有 |ｘ1|≠|ｘ2 |,|ｙ1|≠ |ｙ2 |)的椭圆或双曲线的两点式方程 :ｙ2 - ｙ21ｙ22 - ｙ21=ｘ2 -ｘ21ｘ22 -ｘ21.受它的启发 ,我们研究是否像直线方程有点斜式一样曲线方程也有“点斜式” ?回答是肯定的 .我们知道椭圆的离心率确定了椭圆的形状 .双曲线的离心率确定了双曲线开口的开阔程度 .因而 ,椭圆或双曲线的“斜率”会与ｅ有关 ,为此我们定义椭圆或双曲线的“斜率”为曲率 .用ｋ表示 .　　定理 1　中心在原点 ,焦点在ｘ轴上的椭圆或双曲线上有两点…     

例谈复数在解析几何中的应用

1　圆锥曲线的旋转例 1　将椭圆 ｘ22 5 + ｙ29=1绕其左焦点按逆时针方向旋转 90°后得曲线Ｃ ,求曲线Ｃ的方程 .解　设Ｐ(ｘ1,ｙ1)为椭圆 ｘ22 5 + ｙ29=1上任意一点 ,旋转后所对应的点为Ｑ(ｘ ,ｙ) ,因椭圆左焦点为(- 4,0 ) ,则 (ｘ + ｙｉ) + 4=[(ｘ1+ ｙ1ｉ) + 4]ｉ,∴ ｘ1=ｙ - 4,ｙ1=ｘ + 4.∴ (ｙ - 4) 22 5 + (ｘ + 4) 29=1即为曲线Ｃ的方程 .图 1　例 2图例 2　正方形ＡＢＣＤ的一条边ＡＢ在直线 ｙ =ｘ+ 4上 ,Ｃ ,Ｄ在抛物线ｙ2 =ｘ上 ,求正方形的边长 .解　将抛物线及直线绕原点逆时针旋转 4 5° ,得抛物线方程 (ｙ -ｘ) 2 =2 (…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

蝴蝶定理的一个推广

定理 设ＡＢ是Ｏ中任意一弦厂为ＡＢ上一点,过 Ｃ作两弦 ＭＮ、ＫＬ,连结 ＫＮ、ＭＬ,分别交 ＡＢ于 Ｐ、Ｑ,则 证明 如图 １,由相交弦定理,得ＮＰ·ＰＫ＝ＡＰ·ＰＢ＝（ｋａ－ｘ）（ｘ＋ａ）．由正弦定理,可得由上两式,得经整理,得 所以ｘ＋ｙ＝０（舍去）,或 （ｋ、１）ｘｙ＋ｋａ（ｙ－ ｘ）＝０, 解得 即 得 当Ｃ为ＡＢ的中点时,ＡＣ＝ＢＣ,此时ＰＣ＝ＱＣ,该定理即为著名的“蝴蝶定理”．蝴蝶定理的一个推广@蒋祝权$江苏省涟水县徐集中学!223400     

半椭圆上椭圆周角两边所在直线斜率之积为定值——与半圆上圆周角类比探讨

众所周知 ,半圆上的圆周角是直角 ,角两边所在直线斜率ｋ1 ,ｋ2 若存在 ,则ｋ1 ｋ2 =- 1 .圆的这一本质属性的揭示使解决圆的有关问题有了可遵循的规律 ,带来许多方便 .我们自然会猜想二次曲线 (如椭圆 )也能有类似的性质 .1　从与半圆上圆周角类比说起1 1　设Ｐ(ｘ ,ｙ)为圆ｘ2 ｙ2 =ａ2 上任意一点 ,且不在Ｐ1 (ａ ,0 ) ,ｐ2 (-ａ ,0 )处 .ｋｐｐ1 =ｋ1 ,ｋｐｐ2 =ｋ2 则有 :ｋ1 ·ｋ2 =ｙｘ -ａ ·ｙｘ ａ =ｙ2ｘ2 -ａ2 =ａ2 -ｘ2ｘ2 -ａ2 =- 1 .反之 ,满足ｋ1 ·ｋ2=- 1的动点Ｐ(ｘ ,ｙ)的轨迹方程为 :ｙｘ -ａ· ｙｘ ａ =- 1　　 …     

圆锥曲线动弦的一个性质

定理 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上一定点 ,ＰＡ ,ＰＢ为抛物线的任意两条弦 ,α1,α2 ,分别是ＰＡ ,ＰＢ的倾斜角 ,则(ⅰ )当ｔａｎα1·ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点 ;(ⅱ )当ｔａｎα1+ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 ;(ⅲ )当α1+α2 =定值θ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 .证明　设ＰＡ方程为ｘ=ｍ1ｙ+ｎ1,则ｎ1=ｘ0 -ｍ1ｙ0 ,将ＰＡ方程代入ｙ2 =2ｐｘ得ｙ2 -2ｐｍ1ｙ-2ｐｎ1=0设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ1=2ｐｍ21-2ｍ1ｙ0 +ｘ0ｙ1=2ｐｍ1-ｙ0 　　　　　①同理　　设ＰＢ方程为…     

关于抛物线的一个命题的再推广

文 [2 ]推广了文 [1]的命题 ,本文进一步推广文[2 ]的命题 .定理 1　常态二次曲线Φ :Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0上有一定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和异于点Ｐ的两动点Ｑ ,Ｒ ,则ｋＰＱ·ｋＰＲ=λ(≠ ＡＣ)为定值的充要条件是动直线ＱＲ恒过定点Ｍ (ｘ0 Φ1λＣ -Ａ,ｙ0- Φ2λＣ -Ａ) ;ｋＰＱ·ｋＰＲ =λ =ＡＣ 的充要条件是ｋＱＲ =- λΦ2Φ1(其中Φ1=2Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｄ ,Φ2 =Ｂｘ0 2Ｃｙ0 Ｅ) .证　作平移 :ｘ′ =ｘ -ｘ0 ,ｙ′ =ｙ - ｙ0 ,代入Φ(ｘ ,ｙ) =0得Ａｘ′2 Ｂｘ′ｙ′ Ｃｙ′2 Φ1ｘ′ Φ2 ｙ′ =0 (1)设Ｑ…     

新教材中一道练习题的变式与引申

高二数学新教材Ｐ96 ,第 4题如下 :△ＡＢＣ的两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (- 6 ,0 ) ,(6 ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- 49,求顶点Ｃ的轨迹方程 .解　依曲线方程的建立过程 ,设顶点Ｃ(ｘ ,ｙ) ,则ｋＣＡ·ｋＣＢ=- 49,即ｙｘ + 6 · ｙｘ - 6 =- 49.整理得 :ｘ236 + ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 1　若边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积改为 49,则得Ｃ点的轨迹方程为ｘ236 - ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 2　若两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (ａ ,0 ) ,(-ａ ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- ｂ2ａ2 (ａ >ｂ) .解法同理可得 :ｙ…     

面积法解题举隅

对于一些涉及三角形的解析几何题 ,灵活地引用三角形面积公式 ,可以优化解题过程 ,请看下面的例图 1子 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,Ｓ△ＡＢＣ=8,试求ＢＣ边的中点Ｍ的轨迹方程 .解　以Ａ为原点 ,直线ＡＣ为ｘ轴 ,建立如图 1所示的直角坐标系 ,设Ｍ (ｘ,ｙ)(ｘ>0 ,ｙ >0 ) ,则　ＡＣ =2 (ｘ - 33ｙ) ,　ＡＢ =2·2 33ｙ ,∵　Ｓ△ＡＢＣ=12 ·ＡＣ·ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＣ =8,∴　 12 ·2 (ｘ - 33ｙ)·2·2 33ｙ·ｓｉｎ6 0°=8.故点Ｍ的轨迹方程是ｘｙ - 33ｙ2 =4　 (ｘ≥4 42 73,轨迹是双曲线在第一象限内的一支 ) .图 2例 2　如…     

求圆锥曲线离心率“四法”

离心率是圆锥曲线的一个重要的参数 ,下面例析几种常用求法 .一·估算法即利用圆锥曲线的离心率的范围来解题 ,有时可用椭圆的离心率ｅ∈ ( 0 ,1 ) ,双曲线的离心率ｅ>1 ,抛物线的离心率ｅ =1来解决 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )设θ∈0 ,π4,则二次曲线ｘ2 ｃｏｔθ -ｙ2 ｔａｎθ =1的离心率的取值范围为 (　　 ) .(Ａ) 0 ,12 　　　 (Ｂ) 12 ,22(Ｃ) 22 ,2 (Ｄ) ( 2 ,+∞ )解　由θ∈ 0 ,π4,故有ｃｏｔθ >0 ,ｔａｎθ >0 ,因此所给的二次曲线是双曲线 .由双曲线的离心率ｅ>1知 ,排除 (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) ,而选 (Ｄ) .二·公式法已知圆…     

由一道错题想到的

湖北省教研室编写的高中平面解析几何《课外作业》(2 0 0 0年 7月第 3版 )上有这样一道题 :“设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 2ｘ2 + 3ｙ2 =6的两个焦点 ,Ｐ是椭圆上一点 ,若∠Ｆ1ＰＦ2 =90°,则△Ｆ1ＰＦ2 的面积是.(给出的答案是 2 )图 1　题目图解法 1　由椭圆第一定义结合勾股定理易整体 ,求得 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 | =4 ,由直角三角形面积公式得此三角形面积等于2 .解法 2　由方程知Ｆ1(- 1,0 ) ,Ｆ2 (1,0 ) .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,∵∠Ｆ1ＰＦ2 =90° ,∴直线ＰＦ1和ＰＦ2 的斜率ｋ1,ｋ2 均存在 ,且ｋ1=ｙ0ｘ0 + 1,ｋ2 =ｙ0ｘ0 - 1.依题意 :ｙ0ｘ0 + 1· ｙ…     

全国各地市1998年高考模拟试题汇编

八、解析几何（二）１．若ｋ为小于零的常数,则方程ｘ２ｋ＋ｙ２１－ｋ＝１的曲线是（）（Ａ）焦点在ｙ轴上的椭圆．（Ｂ）焦点在ｙ轴上的双曲线．（Ｃ）焦点在ｘ轴上的椭圆．（Ｄ）焦点在ｘ轴上的双曲线．２．双曲线ｘ２－ｙ２＝１的离心率ｅ等于（）（Ａ）３．（Ｂ）２...     

一个换算关系的完善

本刊文 [1 ]给出了如下一个不完善的“定理” :设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记作ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ =ｋ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )(1 +ｋ2 ) -ｅ2 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ-2ｅｐ-1 .现用此“定理”解下面一例 .求过双曲线ｘ2 -ｙ23 =1的焦点且斜率为 35的直线被此双曲线截得的长度 (文 [1 ]例 3改编 ) .解　因为ａ=1 ,ｂ =3 ,ｃ=2 ,故ｅ =2 ,ｅｐ=ｂ2ａ =3 ,ｋ =35 .由文 [1 ]“定理”得ｄ=2 ·3 (1 +35 )(1 +35 ) -2 2 =-4.线段ＡＢ的长度…     

初三代数第二学期期中自测题

Ａ组一、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果ａ ,ｂ,ｃ为任意实数 ,那么下列函数中 ,是二次函数的是 (　 ) .Ａ .ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃＢ .ｙ=(ａ+ 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＣ .ｙ =(ａ2 + 1 )ｘ2 +ｂｘ +ｃＤ .以上都是2 .如果反比例函数 ｙ =ｋｘ 的图象经过点 ( - 2 ,-1 ) ,那么ｋ的值为 (　 ) .Ａ .12 　　Ｂ . - 12 　　Ｃ .2　　Ｄ . - 23 .下列抛物线中 ,不与ｘ轴相交的是 (　 ) .Ａ .ｙ=2ｘ2 +ｘ - 1　　　　Ｂ .ｙ =2ｘ2 -ｘ - 1Ｃ .ｙ =- 2ｘ2 -ｘ + 1Ｄ .ｙ =- 2ｘ2 +ｘ - 14 .抛物线 ｙ=2 (ｘ - 1 ) (ｘ + 3 )的对称轴是 (　 ) .Ａ .…