三角形中的一个不等式

定理①:设△ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为S,面积为△.     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

两个优美的几何恒等式

1预备知识 引理1△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则sinA sinB sinC=S/Rr。     

关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

与垂足三角形内切圆有关的几个等式

文[1]给出如下结论, 定理 设△ABC边长为α,b,C,外接圆半径为R,垂足△DEF内切圆的半径为r则有,r=a2 b2 c2-8R2/4R     

正弦定理与余弦定理

设△ABC的三个角为A，B，C，它们对应的边分别为α，b，c，△ABC的外接圆半径为R，S△ABC=S，则：     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

对“三角形内切圆半径最大值”的再思考

题目：在Rt△ABC中，斜边AB=1，内切圆的半径为r，则r的最大值为——．     

《数学通报》数学问题2603的探究

<正>1引言《数学通报》2021年第5期数学问题2603为:设△ABC的三边长为a,b,c,对应的旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径和面积分别为r_a,r_b,r_c,R,r,Δ,则(1/r_a+1/r_b)²+(1/r_b+1/r_c)²+(1/r_c+1/r_a)²≥8/3Rr^[1].(1)本文给出(1)式的一个隔离,同时得到(1)式的一个加强和一个逆向不等式.     

欧拉不等式一个三角形式的类比北大核心

1引言设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有著名的欧拉不等式R≥2r,文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式:定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径,则有(∑表示循环和)     

数学问题

2005年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)1531设I是AABC的内心，R，R1，R2，R3，分别是AABC、△IBC、△ICA、△IAB的外接圆半径．求证：AABC为正三角形的充要条件是R1 R2 R3=3R     

关于三基本量的一个不等式及其应用

设Ｒ、ｒ与ｓ是△ＡＢＣ的三基本量（外接圆半径、内切圆半径与半周长）,则有［１］、［２］ｓ４－２ｓ２（２Ｒ２＋１０Ｒｒ－ｒ２）＋ｒ（４Ｒ＋ｒ）３≤０（１）（当且仅当△ＡＢＣ为等腰三角形时取等号）．（１）称为三角形基本不等式．本文中,我们将应用它导出关于Ｒ、ｒ与ｓ的一个含双参数（λ,ｔ）的不等式．适当选择参数λ、ｔ的值,便可得到包括Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式、Ｏ．Ｋｏｏｉ不等式等著名不等式在内的一大批有用的不等式．定理　对△ＡＢＣ中的三基本量Ｒ、ｒ、ｓ及任意实数λ、ｔ,都有　－（ｔ－１）２Ｒ３＋２［ｔ…     

切点三角形的一个新不等式链

三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形称为切点三角形.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R、r和s,ΔDEF外接     

无符号拉普拉斯谱半径的新上界

如果一个图存在定向满足其最大出度△~＋不超过最大度△的一半,则通过估计图的半边路径（semi-edge walk）的个数,得到了该图的无符号拉普拉斯谱半径的一个新上界.进而根据D.Goncalves对平面图边分解的结果,得到了平面图无符号拉普拉斯谱半径的一个新上界.     

解斜三角形

1）正弦定理α/sinB=b/sinB=c/sinC=2R，其中R为△ABC的外接圆半径，它有几个变式：     

数学问题解答

2008年7月号问题解答(解答由问题提供人给出) 1741设△ABC的内切圆切三边BC、CA、AB于D、E、F,求证(1)AD、BE、CF三线共点; (2)(S_(△DEF))/(S_(△ABC))=r/(2R)(r、R分别为△ABC的内切圆、外接圆半径). (江苏省新海高级中学孙四周222006)     

曲面上图的拉普拉斯谱半径

本文研究了图嵌入到给定紧致曲面上的拉普拉斯谱半径,确定了将顶点数为n、最大度为△的图分别嵌入到亏格为g的定向曲面和亏格为h的不可定向曲面上的新上界.     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

由tanA/2=r/p-a导出的三角恒等式

1．引理 记△ABC的三边分别为a，b，C，其内切圆、外接圆半径分别为r，R，p=1/2（a＋b＋c），则tanA/2=r/p-a，tanB/2=r/p-b，tanC/2=r/p-c.     

和垂足三角形有关的几个不等式

本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径,内切圆半径,旁切圆半径的相关几个不等式．