一类复合二次根式的三种化简方法

<正>形如(a■b^(1/2))(1/2))^(1/2)的根式叫做复合二次根式.复合二次根式的化简问题是各类竞赛中的热点和难点问题,本文结合竞赛题介绍一类复合二次根式化简的三种常用方法,供同学们参考.例(2009年北京市中学生数学竞赛     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

<正>学习二次根式时,经常要遇到与二次根式有关的两个重要式子:(a^(1/2))(1/2))²与(a2与(a²)2)^(1/2).这两个式子在形式上很相近,既有不同点又有相同点,因此一不小心就很容易把它们混淆了.一、不同点1.运算顺序不同(a(1/2).这两个式子在形式上很相近,既有不同点又有相同点,因此一不小心就很容易把它们混淆了.一、不同点1.运算顺序不同(a^(1/2))(1/2))²是对实数a先开方再平方,表示a的算术平方根的平方;(a2是对实数a先开方再平方,表示a的算术平方根的平方;(a²)2)^(1/2)是对实数a先平方再开方,表示a的平方的算术平方根.     

运用因式分解化简二次根式

<正>二次根式的计算是初中数学的重点和难点.下面浅谈因式分解在二次根式计算中的应用.一、巧用提取公因式例1计算(2^(1/2)+3(1/2)+3^(1/2)+5(1/2)+5^(1/2))((12)(1/2))((12)^(1/2)+(18)(1/2)+(18)^(1/2)-(30)(1/2)-(30)^(1/2)).分析本题既可以循规蹈矩的按照多项式的乘法法则计算,也可以观察后式,提取公因式6(1/2)).分析本题既可以循规蹈矩的按照多项式的乘法法则计算,也可以观察后式,提取公因式6^(1/2),进而与前式构成平方差公式再计算.     

配方法解含a,a~(1/2)的问题

<正>配方法是一种重要的数学方法,过去都是对整式配方,本文举两个对a·a^(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)^(1/2)-4(b-2)(1/2)-4(b-2)^(1/2)=3(c-3)(1/2)=3(c-3)^(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)^(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)^(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)^(1/2)+9)=0,     

一道根式题的解后三思

<正>一、一道根式题的解后三思本刊2017年5月下第32页例题2是一道根式证明题,朱月祥老师用换元法给出巧解,现抄录于下:已知n是非零整数,求证:3(2-5^(1/2))(1/2))^(1/2)+3(2+5(1/2)+3(2+5^(1/2))(1/2))^(1/2)/n是有理数.     

二次根式中的“姐妹花”

在二次根式的化简与求值中,(x^1/2+y^1/2)与(x^1/2-y^1/2)互为有理化因式,它们的乘积为x-y,在计算中像姐妹一样经常在一起,相互联系,使要解决的问题变得较为简单,可以称为"姐妹花".在解决问题的过程中,如果能灵活地应用这个关系,可使我们的学习变得更有趣,更为直观.     

实数p~(1/2)+(p+k)~(1/2)是无理数的证明

<正>定理若p为半偶数,k为奇数,则槡p^(1/2)+(p+k)(1/2)+(p+k)^(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4^(1/2)(4+5)(1/2)(4+5)^(1/2)不是无理数,原因为4不是半偶数.下面证明定理.     

相似三角形及其应用(中)

<正>例9(1988全国初中数学联赛第二试试题三)如图13,△PQR和△P′Q′R′是两个全等的等边三角形.六边形ABCDEF的边长分别记为:AB=a_1,BC=b_1;CD=a_2,DE=b_2;EF=a_3,FA=b_3.求证:a_1²+a_22+a_2²+a_32+a_3²=b_12=b_1²+b_22+b_2²+b_32+b_3².证明由等边三角形每个内角都为60°及对顶角相等,我们不难发现:△PAB∽△Q′CB∽△QCD∽△R′ED∽△REF∽△P′AF.     

根式(A±(B~(1/2)))~(1/n)的化简

本文给出根式■与■及其和、差■与■的化简方法,揭示出化简这类根式与解n次方程的内在联系。设,则u_u~(?)+v~n=2A,uv=(A~2-B)~(1/n)。根据对称式的基本性质(见文[1]),对称式u~n+v~n可用基本对称式(u+v)和(uv)的一个n次多项式表示,即     

关于Pell方程组x2-(m2-1)y2=z2-(n2-1)y2=1

设m,n,L为正整数,本文证明了:如果mε,ε∈(0,1),且m>(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε)),或j>10.25×10¹²log⁴(2(L+1)(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε))),Pell方程组x²-(m2-1)y²=z²-(n²-1)y²=1的正整数解满足1≤k≤δL²,这里δ∈[1/2(123787LL(1/2))⁽1/(ε-1)),1],以及■且j=k=1或k+2≤j<1/3(5-2ε)k,2|(j+k),k>3/(1-ε),并改进了文[Proc.Amer.Math.Soc.,2015,143(11):4685-4693]的结果.     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

对一道中考试题的思考

<正>试题(2015年四川·内江卷)(1)填空:(a+b)(a-b)=_;(a-b)(a²+ab+b2+ab+b²)=_;(a-b)(a2)=_;(a-b)(a³+a3+a²b+ab2b+ab²+b2+b³)=_;(2)猜想:(a-b)(a3)=_;(2)猜想:(a-b)(a^(n-1)+a(n-1)+a^(n-2)b+ab(n-2)b+ab^(n-2)+b(n-2)+b^(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2⁹-29-2⁸+28+2⁷-…+27-…+2³-23-2²+2.原解答略.本文给出如下几点思考.一、设想——多思追问如果去掉试题所提供的由特殊到一般的     

例说配方法的应用

配方法是数学中最常用的解题思想方法之一,其应用极为广泛,以下从几个方面举例介绍配方法在解初中数学竞赛题中的一些应用,供读者学习参考.一、应用于二次根式的化简例1(2011年全国初中数学联赛江西省初赛题)化简     

求解自然数列方幂和的两种方法

<正>高中教材中对于数列和公式1²+22+2²+…+n2+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6及12=(n(n+1)(2n+1))/6及1³+23+2³+…+n3+…+n³=[(n(n+1))/2]2的推导过程只字未提,只是要求学生能用数学归纳法证明上述公式成立,大部分学生会问及此公式的推导方法.下面总结两种学生能接受的求较低次数自然数列方幂和的方法.1.裂项法求自然数列方幂和裂项法是中学数列求和中的一类重要方     

一道竞赛题的多种解法

<正>试题(2017年"大梦杯"福建省初中数学竞赛)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为线段BC的中点,E在线段AB上,CE与AD交于点F.若AE=EF,且AC=7,FC=3,则cos∠ACB的值为().(A)3/7(B)(2(10)^(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)^(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)²-(AB)2-(AB)²)2)^(1/2)/AC.因为AC=7,所以只需求BC或AB的长即可确定cos∠ACB的值.本题的难点是根据已知条件"D为线段BC的中点,AE=EF"寻找AB与FC之间的数量关系,即根据FC的长求出AB的长.     

一道年份竞赛题的证明思路与方法

<正>例(2018年四川省初中数学竞赛题)试证2018²+20182+2018²×20192×2019²+20192+2019²是一个完全平方数.思路1直接转化,即将20182是一个完全平方数.思路1直接转化,即将2018²+20182+2018²×20192×2019²+20192+2019²转化为M2转化为M²的形式.证明20182的形式.证明2018²+20182+2018²×20192×2019²+20192+2019²=20182=2018²+20182+2018²×(2018+1)2+20192×(2018+1)2+2019²=20182=2018²+20182+2018²×(20182×(2018²+2×2018+1)+20192+2×2018+1)+2019²=20182=2018²+(20182+(2018²)2+20182)2+2018² (2×2018+1)+20192 (2×2018+1)+2019²     

巧用向量数量积

<正>熟知,a·b≤|a||b|,当且仅当向量a与b方向相同时等号成立.利用这一性质,可以轻松解决一类变化多样的问题.例1设x、y∈R⁺,且x+y=1,求证:(x+1)+,且x+y=1,求证:(x+1)^(1/2)+(y+2)(1/2)+(y+2)^(1/2)≤2(2)(1/2)≤2(2)^(1/2)解解法一(不等式法):     

平方差公式巧用举例

<正>平方差公式是初中代数的重要公式,应用十分广泛,关于它的基本应用已有论述,这里不再重复,本文专门介绍它的巧用,现举例说明.例1乘积(1-1/2²)(1-1/32)(1-1/3²)…(1/120142)(1-1/20152)的值等于.分析若直接运算很繁,如果用乘法公式,则十分简单.     

关于二次根式的化简

二次根式的化简是二次根式运算的基础 ,是本章教材的中心内容 .由于题型变化较多 ,化简中所涉及的知识面广 ,方法灵活多样 ,因此它又是本章学习的难点 .在学习过程中 ,善于积累和总结二次根式化简的方法显然十分必要 .下面归纳列举一些二次根式化简的方法和技巧供读者参考 .一、利用乘法公式与整式和分式的化简类似 ,二次根式的化简中如果注意观察题型 ,巧用乘法公式 ,可以使问题得以简化 .例 1　化简下列各式 :( 1) ｘ -ｙｘ +ｙ;( 2 ) ( 2 - 3+ 5) ( 2 + 3- 5) ;　 ( 3) 134 + 36 + 39.解 :( 1)原式 =(ｘ) 2 - (ｙ) 2ｘ + ｙ=(ｘ + ｙ) (…     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.