对“从算术到代数”(增訂本)的几点意見

“在变数变化的过程中,任意給出一个正数δ来,这变数的值从某值以后与一常数之差的絕对值永远小於δ时,此常数就叫做这变数的亟限”,由这个極限的定义,可知極限本身实是一个常数,本書說“∞代表某一量的極限”(第87頁)一話是有問題的。第95頁上有一个“代数数”的表,这里面有几处有問題: 一.“由10的乘方做分母的分数,叫做小数,这是小数的定义。由这个定义,可知小数是分数的一种,即分数是包括小数的。表中說:正数包括 1.整数;2.分数;8.小数。这是欠妥的。二.零也是有理数,而表中未列入,欠周到。三.表中把循环小数列为無理数,是不对的,我們知道,循环小数可以用分数表示,即循环小数是分数的一种,因而分数是包括循环小数的,故循环小数实是有理数,决不是無理数。四.無理数中除不尽根数外,街有超然数(如π),表中也未列入。五.虚数也分正負,我在这个表中才第一     

关於正实数的算术运算

前言:本文是在以無穷小数作为正实数的定义的基础上来建立正实数的算术运算,並給出滿足各种运算規律的証明。其目的在於使之成为中学教材有关实数方面的一些补註,为此,本文不牽涉过多的事物,譬如,度量和数直綫等等,而使之独立成篇,所以本文之邏輯叙述只在純“数”間来进行,当然,关於有理数(也即有穷小数和循环小数)方面的一些知識和运算,我們認为是知道的。我們是借助於正实数的不足近似值与过剩近似值为工具来建立正实数的算术运算的,所以首先在§1叙述出正实数以及其近似值的定义和关於它們自己或它們間一些必要性質。在§2中建立了正实数的加乘运算而在§3給出     

《广义数的K层极限与K层积分》一文的注

文献[1]存在下述问题: 1.文中375页说:“在十七、十八世纪用无穷小量的方法建立和发展微积分,取得了前所未有的实际成果。但是无穷小量究竟是什么,认识上却是模糊不清的。因此,这种方法的逻辑基础是有问题的。本文试图从发展数域引入新数(无穷小,无穷大)出发来解决这个问题(无穷小是一种数)”。实际上这个     

师生共话无理数

学生　有理数和无理数有什么区别 ?老师　主要区别有两点 :1.把有理数和无理数都写成小数形式时 ,有理数能写成有限小数或循环小数 ,比如 4 =4 .0 ;45=0 .8;110 =0 .1;13=0 .333…而无理数只能写成无限不循环小数 ,比如 2 =1.4 14 2… ,根据这一点 ,人们把无理数定义为无限不循环小数 .2 .所有的有理数都可以写成两个整数之比 ,而无理数却不能写成两个整数之比 .根据这一点 ,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子 ,把有理数改叫“比数” ,把无理数改叫“非比数” .本来嘛 ,无理数并不是不讲道理 ,只是人们最初对它太不理解罢了 .学生　无限小…     

无限小量简史

近世科技得益于微积分这门数学分支良多 .无限小量的概念是微积分学的基础 .虽然“无穷小”方法已经被古希腊和古代中国、印度和中世纪欧洲的科学家以各种不同方式顺利地用来解决几何学和自然科学中的问题 ,但是无穷小理论的基本概念的确切定义直到 1 9世纪才被提出来 .“无穷小”的思想实际上最初是在哲学范围内提出的 ,无论是在古希腊还是在中国都是如此 .哲学家对“无穷小”进行了一定的论述 ,这正是“无穷小”方法得以在古希腊和古代中国的科学发展中应用的思想基础 .在数学上无穷是一个经常出现的概念 .简单地说它是有限性概念的反义词…     

再谈“无穷多个无穷小之积”

在本刊1992年第三期作者曾发表了也谈“无穷多个无穷小之积”一文.该文通过构造的一组实例说明;无论是在x→∞ 时或是在x→x_0 时,无穷多个非0无穷小之积可能是该过程中的无穷小;也可能无穷大;也可能是以任一实数为极限的变量,还可能无极限.从而说它是不定式.     

非标准分析与微积分(连载)

本文将介绍或许是迄今为止最简单的非标准构成法——莱勃(Reeb)的方法。在用此法尽快地引进《无穷小数》后,即通过一些例子,陈述非标准微积分的一些主要结果·作者希望本文能对《高等数学》的教学工作,从感性上提供一些背景材料。与中国科技大学严镇军付教授多次讨论,使本文定稿得到许多有益的改进,对此,作者谨致谢意。“ε,一个幽灵,无穷小的幽灵,在美州大陆徘徊。”——罗宾荪(Robinson) “ω,是自然数?或者不是?这真是个问题。”——莎士比亚——莱勃(Reeb)     

一个数的整数部分的相反数

问题:若个数的整数部分是 a,小数部分是 b,那么它的相反数的整数部分和小数部分各是多少?学生往往回答为:它的相反数的整数部分是“-a”,小数部分是“-b”.错了。因为一个数的整数部分就是不超过这     

无限个无穷小量的乘积是无穷小量吗?

<正> 在高等数学“无穷小量”的教学中,讲了有限个无穷小量的乘积为无穷小量的定理。很自然会提出这样的问题:无限个无穷小量的乘积是否为无穷小量?初看起来,似乎应该是无穷小量。但是,实际上并非如此。本文谈一个对此问题的看法。     

十进小数发展簡史

十进小数的出现,是数学史上的一件大事。美国数学史家卡约利(F.Cajori)就会认为十进小数是近代数学史上关于计算基础方面的三大发明之一,他说:“近代计算的异常势力是由于三大发明:印度计数法、十进分数和对数。”因此介绍一下十进小数的发展历史是有益处的。在西洋数学史上常常把十进小数的发明归功于欧洲人,特别归功于斯古文(S.Stevin,1548-1620)等人,这是不正确的。实际上,中国、印度和中亚都在欧洲人之前使用了十进小数。我国是使用十进小数最早的国家,我们从“九章算术”的刘徽注文中找到十进小数的思想。刘徽是我国第三世纪时最杰出的数学家,他于公元263年注解“九章算术”。当时对于奇另小数的记法,主要的是(1)化成分数,(2)或用十进制的数名法。刘徽在长度的记法中采用数名:丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽,“忽”是最小数名,忽以下就没有专名,在计算中他把忽做为单位,以下那些没有专名的数就是小数。当时刘徽或者把它舍去,或者化成简单的分数,或者用十进小数表达。刘徽在“九章算术”注中有三个地方用到十进小数(以十进分数思想出现)。     

不定式定值法的几点注记

1.等价无穷小代换问题在求0/0型不定式的极限过程中,有时为了方便运算,而进行等价无穷小代换,但当0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量相加减时,应如何代换?我们分4种情况来归纳这个问题.1.0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量a_1、a_2相加,并且当lim（a_1/a_2）≠-1时,可分别用各自的等价无穷小代换,特别是相加的两项中一项比另一项高阶时,可以删去高阶项(其结果都相当于把分子(或分母)作为整体进行了等价无穷小代换).     

关于亚纯函数结合于其纪(导)数值分布的一个基本定理

<正> 我们熟知:凡有穷级亚纯函数不能以一个有穷值和无穷值作为波莱耳(Borel)例外值,而同时其纪数以一个非零有穷值作为波莱耳例外值.本文目的在于推广这一关于全平面的结果到一个无穷小的角域内.换言之,我们拟从事于函数结合于其纪数的波莱耳方向的研究.我们先建立见之于后的定理 A,它相当于伐理隆(Valiron)氏的基本定理.在证明中,所遇到的主要困难在于原始值的消去,为了克服这一困难,本文吸取了熊庆来     

我们期待学生从代数课程中学习什么

我们期待学生从代数课程中学习什么 ?学校代数课程应该包括哪些内容 ?根据尤塞斯金 (Ｕｓｉｓｋｉｎ ,1 989)的观点 ,学校代数包括四个方面 :①代数作为一般化了的算术 ;②代数作为解决某种类型问题的过程的研究 ;③代数作为数量之间的关系的研究 ;④代数作为结构的研究[1] .结合我国代数课程改革的实践 ,让我们从以下四个方面看一看代数课程的内容 .1　一般化代数不同于算术的典型区别是字母的出现 .有人说“代数就是关于ｘ的” ,或“代数 ,也许有一点玩笑的意思 ,是对字母表中第 2 4个字母的研究”[1] .用字母表示数意义是重大的 ,法国数…     

知识小品

=0 .X X X X XX P p一?(P为2、5以外的素数) 古稀由于我们的记数法是10进制的,因此,我们将讨论1。·除以p的结果,又因粤化为小数时,””’一一”’一’‘’--一’一’一”P’一---一是一个循环节为6的循环小数,那么,10。除以P的余数应该是1.记为10‘三1(二oJ夕)(1)读作“对于p,106与1同余数”,或读作“10“同余于1对模P”. 两数同余对模P,用普遍算术式可以写成=q 1 P.十丫~q:P+丫(0簇丫(P一1则有a一b=(g,一qZ)P翻译成“I这就是说,同余式,则为a一b三0(阴odP)“a与b对模P同余”与“a一b能被P 10落牛10三。(二odp)(3) 10“+202三。(胡…     

奇怪的算术《3×3=2》

3+3+3=2;6+3=2,这是笑話嗎?不,这是完全真实的一个真理。确实有这样一些算术:6+3=2;3×4=5;3÷4=6,这些奇怪的等式,是在所谓“残数算术”中出現的。应用这个算术我們能够很快地根据已知数算出过200年后或是300年前的某一天是星期几。在这个算术中的残数可以看成是一个特别的数列。在普通算术中,自然数1,2,3,……有无限多个,它們是用来数有順序的东西的。例如,数书的頁数;铁路的公里牌;紀元年次(1960,1961,……);排队的报数等等。但是要数站成一个圓圈的七个人却不是用的     

二进制数及其应用举例

1+1=10,5+6=13,9+8=11这些看起来非常奇怪的演算,是做算术游戏,还是计算者的失误?都不是,因为这里所用的数不是我们所熟悉的十进制数,而是分别采用了“逢二进一”的二进制数,“逢八进一”的八进制数,“逢十六     

126几何启蒙课

1　课题的提出T:“几何是什么 ?”,这个问题是每位同学都关心而且非常想知道的 ,也是这节课我们将以形象、通俗、简明的语言告知同学们的(开场白 ) .俗话说 :“代数代数 ,就是 (或说起源于 )用字母代替数”.那么 ,几何呢 ?也有人说 :“几何几何 ,是图形的王国”.即算术、代数是研究数 ,几何是研究形 ,所以我们说几何学是一门以图形为其研究对象的学科 .T:说起图形 ,同学们应该说并不陌生 ,大家在小学或日常生活中已碰到过许多了 (让学生参与活动 ,畅所欲言 )T:同学们说的可分为两大类 :平面图形与立体图形 ,初中数学教科书中有八章几何内…     

在一个非阿基米德域上的微积分

<正> 一、引言 在客观世界里存在着各种数量级的量:有限量、无穷小量、无穷大量.但是在传统的数学分析中出现的数,基本的仅仅是有限数(实数,复数),无穷大与无穷小是作为有限数的一种变化趋势而被刻划的.这样的数的系统的一个基本的特征,就是阿基米德公理所揭示的性质.     

“有理数无理数问题”证明方法谈

在数学上,判断和证明一个实数是否为有理数,有时是很重要的。长期来,人们对两个重要无理数“π”和“e”的研究就是突出的例子,正由于此,国内外数學竞赛的命题者不时编拟出此方面的问题。本文,试就一些典型问题谈谈此类赛题的证明方法。一、根据定义判断和证明无限不循环小数叫做无理数:有限小数或无限循环小数是有理数。有理数总可以表示成既约分数P/q的形式,而无理数则不能。这些定义是判断和证明“有理数、无理数”问题的基础。     

让我数一数

“今有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”这是我国古代算书《孙子算经》所载“物不知数”的问题,即是说:“一些物体,每三个作一组地去数,剩余2个,每五个作一组地去数还剩余3个,每七个一组地数,还剩余2个,问这