Vibrations of asymmetric rotors supported by asymmetric bearings

Summary In this paper the vibrations of an asymmetric flexible rotor supported by asymmetric bearings is theoretically analyzed by using Galerkin's method and the perturbation method, and numerically calculated. The effects of the asymmetries of the rotor and the bearings and the changes of the main instability regions and the ultraharmonic resonance due to the external and internal dampings are investigated. The experimental tests are performed on a smaller laboratory model in order to verify the validity of the theoretical results.The following results are obtained; the instability regions divide into two ones by the lack of the symmetries in the rotor and the bearings. The ultraharmonic resonances appear at fractional values of the main critical speed. The character of the internal damping is changed by the magnitude of the asymmetries of the rotor and the bearings.

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Übersicht Es werden die Schwingungen eines unsymmetrischen Rotors in unsymmetrischen Lagern analysiert. Dabei wird sowohl das Galerkin-Verfahren als auch eine Störungs-Methode angewendet. Untersucht werden die durch die Unsymmetrien von Rotor und Lagerung entstehenden Effekte sowie die durch äußere und innere Dämpfung entstehenden Änderungen der wichtigsten Instabilitätsbereiche und der ultraharmonischen Resonanzen. Zur Stützung der theoretischen Ergebnisse wurden Versuche an einem Laboratoriumsmodell durchgeführt.Die wichtigsten Ergebnisse sind folgende: Die Instabilitätsbereiche werden durch die Unsymmetrie von Rotor und Lagerung aufgespalten; ultraharmonische Resonanzen treten bei gebroochenen Werten der Hauptkritischen auf; der Charakter der inneren Dämpfung wird durch die Größe der Unsymmetrien von Rotor und Lagerung verändert.

     

Vibration of asymmetric rotor supported by oil film bearings

Summary This paper deals with the stability problems of an asymmetric flexible rotor supported by asymmetric bearings, in which the bearing is modified to the stiffness and damping forces with coupling terms in order to represent the oil film bearing character. First the equation of motion is derived, then it is analyzed by translating the coordinate system to a new orthogonal one by using complex eigenvalues. Then the stability and unbalance response is analyzed by using an asymptotic method.

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Schwingungen eines unsymmetrischen Rotors mit anisotroper Lagerung

Übersicht Diese Arbeit behandelt die Stabilität eines unsymmetrischen, elastischen Rotors in anisotrop elastischer Lagerung. Die Öl-Film-Charakteristik wird durch Koppelterme in Feder- und Dämpfungskräften abgebildet. Nach der Herleitung der Bewegungsgleichung wird durch Verwendung von komplexen Eigenwerten auf ein neues orthogonales Koordinatensystem transformiert. Die Stabilität und die Unwuchtantwort werden mit einer asymptotischen Methode analysiert.

     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

Kombinationsresonanz und Instabilitätsbereiche zweiter Art bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer Dämpfung

Übersicht Bei parametererregten Schwingungen mit nichtlinearer (kubischer) Dämpfung wird der Resonanzfall untersucht, in dem die Erregerfrequenz gleich der Summe zweier Eigenfrequenzen der ungedämpften freien Schwingungen ist. Dazu wird die erste Näherung der asymptotischen Methode nach Bogoljubow und Mitropolski benützt. Bei der Stabilitätsuntersuchung der trivialen Lösung ergibt sich ein kritischer Fall, in dem das Stabilitätsverhalten mittels eines von Salvadori angegebenen Verfahrens nach der zweiten Methode von Ljapunow untersucht wird. Es zeigt sich dabei im besonderen, daß die nichtlineare Dämpfung eine Erweiterung der Instabilitätsbereiche zur Folge hat, ähnlich der, die im Falle linearer Dämpfung eintritt, wie Schmidt und Weidenhammer nachgewiesen haben.

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Summary In this paper, parametrically excited vibrations with nonlinear (cubic) damping are examined for that case of resonance in which the exciting frequency is equal to the sum of two of the natural frequencies of free undamped vibration. Here, the first approximation according to the asymptotic method of Bogoliubov and Mitropolski is used. The stability investigation indicates a critical case, which is solved by Liapunov's second method by use of a procedure given by Salvadori. It is particularly shown that nonlinear damping causes widening of the instability regions similar to that shown by Schmidt and Weidenhammer for the case of linear damping.

     

On self-excited whirl of rotors

Summary The paper presents a study of the non-synchronous, self-excited whirl of continuous rotors caused by internal damping forces and by hydrodynamic bearing-film forces. Taking into account gyroscopic effects, the effect of shear on bending, and external damping, the equations of motion are derived by the variational principle. By means of two mode expansions simple expressions are obtained for the limit of stability and the corresponding whirling frequency that are valid for small values of the velocity dependent forces.Numerical methods are used to obtain better approximations to the limits of stability and the whirling frequencies. The results show that for large values of internal and external damping forces and gyroscopic moments, the widely used two-mode approximation may be greatly in error. It is found that if the limit of stability is raised by adding external damping to the rotor system, then even a small amount of internal damping may considerably reduce the limit of stability. In accordance with experimental work done by other authors, it is found that for certain damping conditions a second stability region exists.

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Übersicht Der Artikel enthält eine Untersuchung von nicht synchronen selbsterregten Kreiselbewegungen eines kontinuierlichen Rotors, die durch innere Dämpfungskräfte und hydrodynamische Schmierfilmkräfte verursacht werden. Unter Berücksichtigung des Kreiseleffektes, des Einflusses der Schubspannung auf die Biegung und der äußeren Dämpfung werden die Bewegungsgleichungen nach dem Variationsprinzip abgeleitet. Mit Hilfe einer Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen erhält man einfache Ausdrücke für die Stabilitätsgrenze und für die entsprechende Kreiselfrequenz, die für kleine Werte der von der Geschwindigkeit abhängigen Kräfte gelten.Um bessere Näherungen für die Stabilitätsgrenzen und die Kreiselfrequenzen zu erhalten, werden numerische Methoden angewandt. Die Ergebnisse zeigen, daß die oft benutzte Annäherung mit zwei Koordinatenfunktionen für große Werte der inneren und äußeren Dämpfung sowie bei Gegenwart von Kreiselmomenten zu großen Fehlern führen kann. Es wird gezeigt, daß schon ein kleiner Beitrag an innerer Dämpfung die Stabilitätsgrenze merkbar reduzieren kann, wenn man die Stabilitätsgrenze durch Hinzufügung äußerer Dämpfung zum Rotorsystem hinauszuschieben sucht. In Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen anderer Autoren wird gezeigt, daß ein zweiter Stabilitätsbereich für gewisse Dämpfungsbedingungen existiert.

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The author wish to thank Professor Frithiof I. Niordson, lic. techn. Pauli Pedersen and lic. techn. Viggo Tvergaard for their stimulating criticism of this work.     

Allgemeine lineare Theorie für Rotorsysteme ohne oder mit kleinen Unsymmetrien

Übersicht Für eine große Klasse von Rotorsystemen wird das dynamische Verhalten aufgrund einer allgemeinen linearen Theorie untersucht. Für Rotorsysteme mit symmetrischen Bauelementen wird das Eigenverhalten in Abhängigkeit der Rotordrehzahl entsprechend den Nutations-, Präzessions- und Pendelbewegungen diskutiert. Der Einfluß von äußerer und innerer Dämpfung auf das Stabilitätsverhalten wird abgeschätzt. Die erzwungenen Schwingungen infolge statischer oder dynamischer Unwuchten werden berechnet. Für Rotorsysteme mit kleinen Unsymmetrien in den Trägheitsmomenten, den Dämpfungen, den Lager- und Wellensteifigkeiten werden die kritischen Drehzahlen mit Hilfe der Theorie der Parameter- und Kombinationsresonanzen bei periodischen Systemen bestimmt. Insgesamt wird durch die vorgenommene allgemeine systemtheoretische Untersuchung das dynamische Verhalten von Rotorsystemen unabhängig vom speziellen Anwendungsfall abgeschätzt.

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Summary For the lateral vibrations of a large class of rotor-bearing-systems a general theory based on a linear approach is developed. The behaviour of the natural modes of a system with symmetric elements is discussed in terms of forward and backward precession depending on the rotor speed. The influence of external and internal damping is investigated. The steady-state response due to static and dynamic rotor unbalances is dealt with. In the case of rotor systems with asymmetric elements the technique of parameter and combination resonances of periodic systems is applied to characterize unstable behaviour at some critical speeds. Altogether, the general linear approach allows to discuss the dynamic behaviour of rotor-bearing-systems in a very general manner independently of a special type of rotor system.

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Prof. Dr. F. Weidenhammer zum 60. Geburtstag gewidmet     

Ein Mehrschrittverfahren für einen Torsionsschwingungsdämpfer mit nichtlinearer viskoelastischer Flüssigkeit

Übersicht Die nichtlineare viskoelastische Dämpferflüssigkeit wird unter Verwendung eines faktorisierten Einfachintegral-modells beschrieben. Die Bewegungsgleichung führt zusammen mit dem Stoffgesetz auf eine gewöhnliche Integrodifferentialgleichung mit Anfangsbedingungen, die numerisch mit einem Mehrschrittverfahren gelöst wird. Die numerischen Ergebnisse zeigen den Einfluß der Amplitude und der Frequenz einer anregenden Schwingung auf das Dämpfungsverhalten. Die erreichbaren optimalen Dämpfungen weichen dabei erheblich von den Dämpfungen ab, die man für ein hypothetisches inelastisches Fluid mit denselben viskosen Eigenschaften berechnet.

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A multistep method for a torsional damper with non-linear viscoelastic fluid

Summary We use a factorized single integral model to describe the non-linear viscoelastic liquid. The equation of motion together with the constitutive equation results in an ordinary integro-differential equation under initial conditions. For the numerical treatment we use a multistep method. The numerical results show the damping under the influence of various applied amplitudes and frequencies. The calculations also indicate that the optimal damping is drastically different to the damping of a hypothetical inelastic fluid with the same viscous properties.

     

Dynamic analysis of a multi-mass discrete-continuous layered system

Summary In the paper a one-dimensional discrete-continuous multi-mass layered system subject to an axial indirect kinematic excitation using the wave method is considered. Damping is taken into account by means of equivalent external and internal damping. The numerical analysis for specific cases of the discussed system mainly focusses on the determination of resonant displacements for the first and second frequency of free vibration in selected cross-sections of the system in dependence on the relative location of layers with various mechanical properties.

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Dynamische analyse eines geschichteten Körpers aus einzelmassen und massebehafteten Kontinua

Übersieht In diesem Beitrag wird ein eindimensionales Vielschichten-System aus Einzelmassen und massebehafteten Kontinua unter axialer, indirekter kinematischer Erregung mit der Wellengleichungsmethode untersucht. Dämpfung wird durch äquivalente äußere und innere Dämpfung berücksichtigt. Die numerische Behandlung spezieller Systeme konzentriert sieh auf die Bestimmung der Verschiebungen in ausgesuchten Querschnitten bei Resonanz mit der ersten und zweiten Eigenfrequenz, und zwar in Abhängigkeit von der relativen Anordnung von Schichten mit verschiedenen Materialeigenschaften.

     

Über die dynamische Stabilität des Hubschraubers mit angelenkten Flügeln

Zusammenfassung Für den Hubschrauber mit angelenkten Flügeln wird die dynamische Stabilität bei kleinen Störbewegungen aus der Fluglage des Schwebens am Ort untersucht. Bei einem solchen Hubschrauber ist Stabilität praktisch kaum erreichbar, doch lassen sich Maßnahmen angeben, durch welche die Schwingungszeit der selbsterregten Schwingungen des Flugzeuges verlängert und ihre Anfachung verringert wird, so daß dann annähernd Indifferenz vorliegt. Im Gegensatz zu Schrauben mit starr an die Rotorwelle angeschlossenen Flügeln addieren sich die Wirkungen der Kreiselkräfte zweier Schrauben auch bei Gegenläufigkeit der Schrauben und erzeugen bei Drehbewegungen des Flugzeuges eine lineare Dämpfung, die ausschlaggebend für die Stabilitäts- und Steuereigenschaften des Hubschraubers ist. Daß auch bei fehlender Stabilität eine gesteuerte Stabilisierung eines Hubschraubers mit angelenkten Blättern möglich ist, zeigen die erfolgreichen Flüge verschiedener Hubschrauber, vor allem die bekannten Flüge des Fockeschen Hubschraubermusters FW 61.Die vorstehende Arbeit ist eine Mitteilung der Anton Flettner G. m. b. H. Flugzeugbau in Berlin-Johannisthal.     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.

     

Application of wave method in investigations of single gear transmission

Summary Dynamic investigations for the discrete-continuous model of a single gear transmission are performed using the wave solution of the equations of motion. Transient as well as steady states are considered. Damping is taken into account by means of an equivalent external damping of the viscous type and an equivalent damping of the Voigt type. Angular displacements in arbitrary shaft cross-sections and dynamic reactions on teeth of the gear transmission in resonance conditions are determined. Results for the wave method and the multibody system approach are compared in the case of amplitude-frequency curves.

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Anwendung der Wellengleichungen bei Untersuchungen einstufiger Getriebe

Übersicht Mit Hilfe der Wellengleichungen werden dynamische Untersuchungen für das Modell eines einstufigen Getriebes aus Starrkörpern und verformbaren, kontinuierlichen Teilen durchgeführt. Sowohl Übergangs- als auch stationäre Zustände werden betrachtet. Dämpfung wird mit Hilfe einer äquivalenten äußeren viskosen Dämpfung und einer äquivalenten Dämpfung vom Voigt-Typ berücksichtigt. Bestimmt werden die Winkeländerungen in beliebigen Wellenquerschnitten und die dynamischen Reaktionen der Getriebezähne unter Resonanzbedingungen. Die Ergebnisse dieser Methode werden anhand der Amplituden-Frequenz-Kurven mit denen nach der Mehrkörper-Dynamik verglichen.

     

Non-linear dynamic stability of a simple floating bridge model

Summary This paper deals with a simple fluid-structure interaction problem of floating bridges under step loading with main emphasis on the non-linear dynamic stability of the structure itself after been simulated by a simple discrete mechanical model. The analysis concerns systems which under the same loading applied statically experience a limit point instability. On the basis of a theoretical discussion of the non-linear response of a single degree-of-freedom model simple conditions for an unbounded motion associated with dynamic buckling have been properly established.According to these conditions one can determine the exact dynamic buckling load without solving the strongly non-linear differential equation of motion. Such a load corresponds to that equilibrium point of the unstable (static) post-buckling path for which the total potential energy of the model becomes zero, while at the same time its second variation is negative definite. This load is also a lower bound in case that damping is included in the analysis. The foregoing conditions of static evaluation of the dynamic buckling load do not hold, in general, for limit point systems of two degres of freedom.The above theoretical predictions have been confirmed by means of numerical integration of the correspending non-linear equation of motion.

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Nichtlineare dynamische Stabilität eines einfachen Pontonbrückenmodells

Übersicht In dem Beitrag wird am Beispiel einer zweigliedrigen Pontonbrücke das Problem der nichtlinearen dynamischen Stabilität bei sprungförmiger Längsbelastung behandelt. Die Wechselwirkung Struktur—Fluid wird dabei durch eine linearisierte Rückstellkraft und eine Ersatzmasse des Fluids modelliert. Die Analysis betrifft Systeme, welche unter gleicher statischer Belastung eine Grenzwertinstabilität erfahren. Auf der Grundlage der nichtlinearen Antwort eines Modells mit einem Freiheitsgrad werden einfache Bedingungen für die unbeschränkte Bewegung verbunden mit dynamischem Knicken angegeben.Mit diesen Bedingungen kann die genaue dynamische Knicklast gefunden werden, ohne daß man die stark nichtlineare Bewegungsgleichung zu lösen hat. Diese Knicklast entspricht dem Gleichgewichtspunkt für den instabilen (statischen) Nachknickpfad, für den die potentielle Energie des Systems verschwindet, während zugleich ihre zweite Variation negativ definit ist. Diese Last ist ebenfalls eine untere Schranke für den Fall des Systems mit Dämpfung. Diese statische Ermittlung der dynamischen Knicklast kann i. allg. nicht auf ein System von zwei Freiheitsgraden übertragen werden.Die analytischen Ergebnisse wurden durch numerische Integration der zugehörigen nichtlinearen Bewegungsgleichung bestätigt.

     

Kreiselverhalten eines elastisch gelagerten Rotors

Übersicht Schnelle'Rotoren besitzen eine große technische Bedeutung. Ihr Bewegungsverhalten wird durch die Kreiselkräfte und die Elastizität und Dämpfung der Lagerung beeinflußt. Ausgehend von den Bewegungs-gleichungen wird das Eigenverhalten und das Störverhalten eines Rotors untersucht. Das Durchfahren der kritischen Drehzahlen ergibt instationäre Bewegungen, während axiale Erregerkräfte auf parametererregte Schwingungen führen. Die optimalen Parameter eines Rotors werden bestimmt. Experimentelle Untersuchungen bestätigen die Gültigkeit der theoretischen Ergebnisse.

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Summary High-speed rotors are of increasing technical interest. Their motion is influenced by gyroscopic forces and by the elasticity and damping of their suspension. Starting with the equations of motion the rotor's natural behaviour and disturbance behaviour is investigated. Running through the critical speeds instationary motions appear. Axial forces are leading to parametric excited vibrations. Optimal parameters of a rotor are determined. Experiments verify the validity of the theoretical results.

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Die Arbeit entstand als Gemeinschaftsarbeit am Institut B für Mechanik der TU München. Die Hauptbearbeiter der einzelnen Teilaufgaben sind in Fußnoten genannt. Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft gefördert.     

Die Wirkung äu\erer und innerer Dämpfung auf die Stabilität des Prandtlschen Kragträgers unter mitgehender Momentenbelastung

übersicht über das Prinzip von Hamilton wird das nichtlineare Randwertproblem eines kippenden Kragträgers hergeleitet, der durch ein mitgehendes, zeitunabhängiges Endmoment belastet wird. Die Stabilität des sich einstellenden Gleichgewichtszustandes wird untersucht. Der Einflu\ sowohl äu\erer als auch innerer Dämpfung auf die kritische Last wird eingehend diskutiert.

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Effects of external and internal damping on the stability of Prandtl's cantilever subjected to a follower bending moment

Summary Using Hamilton's principle the non-linear boundary value problem for lateral buckling of a cantilever beam subjected to a follower time-independent bending moment is derived. The stability of the resulting state of equilibrium is studied. The influence of external and internal damping on the critical load is discussed in detail.

     

Dynamic equations of spin spacecraft partially containing fluid in the presence of thrust

Summary The dynamic behavior of a spin-stabilized spacecraft containing fluid under the action of thrust is investigated in the present paper. Using Pfeiffer's method, the dynamic equations are given in form of closed ordinary differential equations. The stability of free oscillation of fluid which is composed of sloshing and vortex flow is studied. An exponential instability is detected in the present simulation and both the stable and unstable regions are plotted in a parameter plane. Since the free oscillation is neutrally stable in Liapunov's sense, the appearance of the fictitious instability is discussed.

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Dynamische Gleichungen eines drall-stabilisierten Raumfahrzeuges mit einem teilweise flüssigkeitsgefüllten Tank unter Schubeinwirkung

Übersicht In dem vorliegenden Beitrag wird das dynamische Verhalten eines drall-stabilisierten Raumfahrzeuges mit einem flüssigkeitsgefüllten Tank unter der Einwirkung eines Schubes untersucht. Mit Hilfe der Pfeiffer'schen Methode erhält man einen Satz von geschlossenen, gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zudem wird die Stabilität der freien Schwingung des Fluids, dessen Bewegung sich aus Slosh und Wirbelströmung zusammensetzt, betrachtet. In der vorliegenden Simulation entdeckt man eine exponentielle Instabilität und sowohl die Bereiche stabiler wie instabiler Schwingung werden in der Parameterebene gekennzeichnet. Da die freie Schwingung nach Liapunov von neutraler Stabilität ist, wird das Auftreten der fiktiven Instabilität diskutiert.

     

Über den Einfluß nichtlinearer Verformungen im Grundzustand auf statische und kinetische Stabilitätsfälle der Stabtheorie

Übersicht Für einige statische und kinetische Stabilitätsfälle des geraden Stabes werden die kritischen Lasten unter Berücksichtigung der genauen, nichtlinearen Verformungen des Grundzustandes ermittelt. Bei den kinetischen Stabilitätsfällen wird zusätzlich die äußere Dämpfung beachtet.

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About the influence of non-linear deformations of the fundamental state on static and kinetic stability in the theory of rods

Summary For some conditions of static and kinetic stability of the straight rod the critical loads are determined with special regard to the exact, non-linear deformations of the fundamental state. In case of kinetic stability the external damping is additionally taken into account.

     

On the parametric stability of a Timoshenko beam subjected to a periodic axial load

Summary The dynamic buckling of a hinged bar under harmonic axial load is studied using Timoshenko's beam theory and considering the effects of longitudinal vibrations. Several new types of parametric resonances were found. The influences of the more accurate Timoshenko beam theory on the instability regions found with the Bernoulli-Euler theory is also discussed.

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Übersicht Die dynamische Stabilität eines gelenkig gelagerten Balkens mit harmonischer Axiallast wird mit Hilfe der Timoshenkoschen Balkentheorie und unter Berücksichtigung der Längsschwingungen untersucht. Verschiedene neue Arten von parametrischen Instabilitäten konnten gefunden werden. Der Einfluß der genaueren Timoshenkoschen Balkentheorie auf die sich aus der Bernoulli-Eulerschen Theorie ergebenden Instabilitätsbereiche wird diskutiert.

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Visiting Professors at COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brazil.     

Metastability and chaoslike phenomena in nonlinear dynamic buckling of a simple two-mass system under step load

Summary The nonlinear dynamic buckling based on the global response of a nonlinear autonomous dissipative or non-dissipative system with two degrees of freedom is studied in detail. Attention is focused on the unstable branch of the complementary path whose significant role on the mechanism of dynamic buckling is revealed for the first time in the literature. Theoretical results associated with distinct properties of the Jacobian matrix, verified and supplemented numerically, brought into light various new phenomena for certain values of the control parameter such as dynamic buckling of statically stable systems, metastability phenomena for loads much higher than the dynamic buckling loads, and sensitivity to initial conditions and to damping.

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Metastabilität und chaosähnliche Phänomene des nichtlinearen dynamischen Knickens eines einfachen Zwei-Masse-Systems unter Treppenlast

Übersicht Anhand der globalen Antwort eines autonomen, dissipativen oder nicht-dissipativen Systems mit zwei Freiheitsgraden auf eine stufenförmige Last werden detaillierte Studien zum nichtlinearen dynamischen Knicken angestellt. Die Betrachtung richtet sich besonders auf den instabilen Zweig des komplementären Lastpfades, dessen Bedeutung für das dynamische Knicken hier zum ersten Mal aufgezeigt wird. Die theoretischen und numerischen Ergebnisse, die mit bestimmten Eigenschaften der Jacobi-Matrix verknüpft sind, enthüllen für bestimmte Werte des Kontrollparameters verschiedene neue Phänomene wie das dynamische Knicken von statisch stabilen Systemen, Metastabilität für Lasten weit über der dynamischen Knicklast und Empfindlichkeit auf Anfangsbedingungen und Dämpfung.

     

Die Stabilität oszillierend rotierender Wellen bei innerer und äußerer Dämpfung

Übersicht Es werden oszillierende, also mit periodischer Winkelgeschwindigkeit rotierende Wellen betrachtet und die Differentialgleichungen für die freien Biegeschwingungen einer solchen einfach besetzten Welle bei Vorhandensein äußerer und innerer Dämpfung unter vereinfachenden Annahmen aufgestellt. Aus den charakteristischen Exponenten dieser zwei Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten erhält man die Stabilitätsbediugung in allgemeiner Form.

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Summary A shaft oscillating with a periodically changing angular velocity is considered. The differential equations for the free bending vibrations of such a massless, flexible shaft carrying a single disc are established for the case of simultaneous exterior and structural damping. From the characteristic exponents of these two differential equations with periodic coefficients one obtains the stability condition in a general form.

     

Matrix analysis of non-proportionally damped dynamical systems employing the A-P algorithm

Summary The A-P algorithm was originally formulated for the eigenreduction of real symmetric matrices but has been extended in recent years to handle normalizable real and complex matrices. Considerable experience with the method for the determination of normal modes of free vibration and buckling modes in complex structures has indicated it to be an efficient computer method, especially in conjunction with the matrix structural methods developed by Argyris [1, 2, 3]. Recent research involving vibration problems having non-proportional damping indicates that the method is equally valuable in this area. The extension of this problem to include aerodynamic damping and stiffness is discussed with reference to a dynamic stability analysis based on the free-free antisymmetric modes of a whole aircraft.

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Übersicht Der A-P Algorithmus wurde ursprünglich zur Eigenreduktion reellsymmetrischer Matrizen aufgestellt; er wurde jedoch in den letzten Jahren auf normalisierbare reelle und komplexe Matrizen erweitert. Beträchtliche Erfahrungen mit der Methode bei der Bestimmung der Eigenschwingungsformen und der Knickformen komplizierter Tragwerke haben gezeigt, daß sie ein wirksames Hilfsmittel für Computerrechnungen ist. insbesondere in Verbindung mit der von Argyris entwickelten Matrizenmethode [1, 2, 3]. Neuere Forschungen über Schwingungsprobleme mit nicht-proportionaler Dämpfung bestätigen, daß die Methode auch auf diesem Gebiet sehr wertvoll ist. Es wird hier die Erweiterung dieses Problems behandelt, um aerodynamische Dämpfungs- und Steifigkeitskräfte zu berücksichtigen, wobei auf die Untersuchung der dynamischen Stabilität eines gesamten Flugzeuges mittels der antisymmetrischen Frei-Frei-Schwingungsformen Bezug genommen wird.

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Communication of the Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, Universität Stuttgart (Director Professor Dr. J. H. Argyris). This report is based on the author's dissertation to the Fakultät für Maschinenwesen, T.H. Stuttgart.