用 a+b/2≥a~(1/2)证明 a+b+c/3bc~(1/3)

高中代数教材在证明平均值不等式a+b/2≥ab~(1/2)和a+b+c/3≥(abc)~(1/3)时,各自采用了独立的证法。我们为强调基础知识的作用,采用二元平均不等式证明三元平均不等式的方法。设a,b,c∈R~+,求证a~3+b~3+c~3≥3abc.     

不等式1/a+1/b≥4/(a+b)的应用

由不等式a2+b2≥2ab,我们可以得到(a+b)2≥4ab.当a,b∈R+时,容易得到a+b/ab≥4a+b,即1a+1b≥4a+b.这又是一个非常有用的基本不等式,下面我们用这个不等式来处理几个问题,看看它的威力。     

从不等式√a/a+3b+√b/b+3a≥1谈数学推广

1 从一个"形式推广"的案例说起 1.1"形式推广"的案例 文[1]给出不等式: 例1 a,b∈R ,求证:     

巧用(a+b)2≥4ab证明不等式

试比较如下两个平凡不等式 :　　 a b≥ 2 ab ( 1 )　　 ( a b) 2≥ 4 ab ( 2 )将 ( 1 )式两边平方 ,即得 ( 2 )式 ;但对 ( 1 )式 ,a,b不能是负数 ,而对于 ( 2 )式 ,a,b却可以是任意实数 .可见 ( 2 )式的应用范围更为宽广 ,而且应用更加生动灵活 .本文旨在介绍 ( a b) 2≥ 4 ab在不等式证明中的种种巧用 .1　正用例 1　已知 3y =3x z,求证 :y2≥ 4 xz.证明　依 ( 2 )式 :( 3y) 2 =( 3x z) 2 ≥ 4 .3xz,故　　 y2≥ 4 xz.例 2　设 a,b,c∈ R,且 a c- 2 b≠ 0 ,求证 :　 ( c b - 2 a) 2　≥ 4 ( a c - 2 b) ( a b - 2 c) .…     

从不等式~(1/2)(a/(a 3b)) ~(1/2)(b/b 3a)≥1谈数学推广

1　从一个“形式推广”的案例说起1 .1　“形式推广”的案例文 [1 ]给出不等式 :例 1　 a,b∈ R ,求证 :　　 aa 3b bb 3a≥ 1 (1 )这个不等式简明深刻 ,其原证法的关键步骤是先证　　　　 aa 3b≥ a3 4a3 4 b3 41同理 bb 3a≥ b3 4a3 4 b3 4.相加即得所求 .文 [2 ]继续给出不等式 :例 2　 a,b>0 ,求证 :　 aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 (2 )文 [3]看到了这两个例子的共同结构 ,作出了如下的“指数推广”:例 3　 n∈ N,a,b∈ R ,则　　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 (3)正如文 [3]的编者按所指出的 ,(3)也可以看成是 (1 )的特例而并不是…     

(((i~2+b~3)/2))～(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)～(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一种几何证法

我们知道,((a~2+b~2)/2)~(1/2)、(a+b)/2、(ab)~(1/2)、2/(1/a+1/b)(a>0、b>0)分别为a、b的平方平均数、算术平均数,几何平均数、调和平均数。不等式(a~2+b~2/2)~(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)为平均不等式最简单的情形,这里给出它的一种几何证法。因为a、b是给定的,以a+b为直径作圆如右图,BD=a、DC=b,过D作AD垂直于BC交圆于A,连OA、OB、AC,则OA=OB=OC=BC/2。而且有 1°.四个三角形ABC、ABD、AOD、ADC都是直角三角形,     

基本不等式a+b≥2(ab)~(1/2)的构造性证明

构造性方法也是中学数学一种很重要的思想方法,但往往因为需要一定的创造力才能构造出恰当的符合要求的模式而使学生望而生畏.但它对于培养学生的创造力和创新能力是非常有益的.在教学过程中应有意识结合问题进行这方面的引导和训练,在提高学生的创新能力的同时也巩固了以前学过的内容.下面以基本不等式a+b     

a+b/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一个几何证明

(a+b)/2≥ab~(1/2)2/(1/a+1/b)(a>0,b>0)是平均数不等式——“算术平均最大,几何平均次之,调合平均最小”的最简单的情形。它有许多证法,在此介绍一个几何证法作圆,其圆心为A,从圆外一点O引切交OG,切点为G,OA的连线交圆于B、C两点,引GH⊥OB,垂足为H(如图) 令 OC=a,OB=b,则 OA=OC+BC/2=OC+(OB-OC)/2 =(OC+OB)/2=(A+B)/2; ∵ OG~2=OC·OB(切割线定理) ∴ OG=(OC·OB)~(1/2)=ab(1/2); 又 OG~2=OH·OA(射影定理) ∴OH=OG~2/OA=ab/((a+b)/2)=2/(1/a+1/b) 显然,在Rt△OGA中,OA>OG,即(a+b)/2>ab~(1/2);在Rt△OHG中,OG>OH,即ab~(1/2)     

公式(a+b/2)~2≤a~2+b~2/2的一个证法及其应用

公式〔蝉、“簇丝兰早兰兰(:)弓}自统编数学课 一’一’、2/一2’一’、·~?一”~,一本第三册尸66.5(3),一般是利用基本不等式a“+吞,》Za西(a、乙〔尺,当且仅当。=乙时取“=,,号)证明的。在此我们为了推广这一不等式而采用另一种证法。 证明:令f(x)=(x一a忿)+(x一的“(a拍〔R),则f(x)对任何实数x恒有厂(x)》0。故方程(x一a)“+(x一b)“二0当a沪b时只能有虚恨当‘=b时则二根相等。因而其判别式△(0. 方程的判别式 △=4(a+b)2一4 02·(aZ一卜西“)(0。即(e+舌)“(2(a:+乙“).(色华、么、21《趁土兰 2(当且仅当a=b时取“=”号)。公式(幻可以…     

a2+b2+c2≥bc+ca+ab≥4√3S的一个类似

在△ABC中,△ABC的面积为S,角A,B,C的对边分别为a,b,c,有一个很熟悉的不等式链:     

例谈应用(a+b)~2≥4ab解取值范围的问题

<正>众所周知,不等式a²+b2+b²≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)²≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)²≥4ab,     

不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)及其应用

设△ABC的三边为a、b、c,f=1/2(a b c),面积为s,外接圆、内切圆的半径分别为R、r。上述这些元素间存在着许多基本不等式,各不等式间有什么内在联系?能否用一个基本等式推导出其它不等式?这就是本文讨论的问题。一、不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)的证明及推论在△ABC中,求证tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~1/2(当且仅当A=B=C时等号成立)。证明 ∵     

关于1/a+1/b=1/c的一些数学题

型如"1/a+1/b=1/c"的证明,通常是先变形为"c/a+c/b=1".再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示c/a和c/b,然后再证这比的和为1,这是证明此类问题的基本途径.     

不等式∑(a/(b+c))~(1/2)<1+23~(1/2)/3的初等证明

文 [1 ]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了 :在△ ABC中 ,若 a,b,c为其边长 ,则有ab+ c+ bc+ a+ ca + b　　 <1 + 2 33 . ( 1 )之后 ,文 [2 ]给出了不等式 ( 1 )的一个初等“证明”,但文 [3]指出 [2 ]的证明是错误的 .本文将给出不等式 ( 1 )的一个初等证明 .引理 1　若正数 x,y满足0 相似文献   

不等式“|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”应用例析

不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|[1] ”(以下简称 [1])是高中数学的一个重要知识点 ,考试大纲说明中对此有明确要求 :会应用不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|”.事实上 ,如何有效地、灵活地应用不等式 [1]证明有关综合性代数推理题是高中数学的难点 .以下简述知识要点     

无理函数y=(√a1x+b1)+(√a2x+b2)的最值求法

无理函数y=(√a1x+b1)+(√a2x+b2)(a1,a2,b1,b2均不为0)(1)的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数(1)为单调函数,求出定义域后利用单词性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2＜0时,函数(1)最值的求解具有一定的难度.     

不等式α~2/b≥α-b/4的推广及应用

《中学生数学》2001年6月上期第26页刊文《不等式a/b≥2a-b的推广及应用》,读后受益匪浅·受此启发,笔者又发现不等式a/b≥a-b/4及其推广也有很高的应用价值,由恒不等式 ,容易推得 ,当b>0,有不等式 成立. 在不等式的两端同乘以 得     

巧用a/b~2≥2/b-1/a证明不等式

《中学生数学》2 0 0 1年 6月上期第 2 6页刊文《不等式ａ2ｂ≥ 2ａ -ｂ的推广及应用》 ,2 0 0 2年5月上期第 2 1页又刊文《不等式 ａ2ｂ≥ａ -ｂ4的推广及应用》 .受两文启发 ,笔者将给出与上述两不等式结构相似的一个不等式 ａｂ2 ≥ 2ｂ-1ａ的应用 .事实上 ,由不等式 1ｂ-1ａ2 ≥ 0推广得1ｂ2 ≥ 2ａｂ-1ａ2 ,当ａ >0时 ,有 ａｂ2 ≥ 2ｂ-1ａ　①成立 .例 1　设ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 是ｎ个互不相同的自然数 ,证明 :∑ｎｋ=1ａｋｋ2 ≥∑ｎｋ=11ｋ.(第 2 0届ＩＭＯ试题 )证明　由①式有ａｋｋ2 ≥ 2ｋ-1ａｋ,从而∑ｎｋ =1ａｋｋ2 ≥ 2∑ｎ…     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

证不等式a+b+c/3≥(abc)~(1/3)的几种方法

命题设a、b、c≥0,(a+b+c)/3≥abc~(1/3), 证明显然当a、b、c中至少有一个为零时,不等式恒成立,所以我们只就a、b、c全不为零时给出证明。方法1应用基本不等式m~2+n~2≥2mn来证明。设P>0、q>0、r>0 ∵p~2+q~2≥2pq, q~2+r~2≥2qr,r~2