也谈二元二次非齐次多项式的因式分解

数学通报一九八一年第五期“关于多项式的因式分解问题”一文中的Ⅱ二元二次非齐次多项式的因式分解((P_(12)),这节中有如下定理: 定理:多项式Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解成两个一次因式的条件是:     

“十字相乘法分解因式”解析

<正>同学们都知道,x~2+(p+q)x+pq型的二次三项式是分解因式中的常见题型,那么此类多项式该如何分解呢?观察(x+p)(x+q)=x~2+(p+q)x+pq,可知x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).这就是说,对于二次三项式x~2+ax+b,如果常数项b可以分解为p、q的积,并且有p+q=a,那么x~2+ax+b=(x+p)(x+q).这就是分解因式的十字相乘法.下面举例具体说明怎样进行分解因式.     

多元二次多项式可分解的判别法

众所周知 ,多项式的因式分解是数学研究的重要内容之一 ,到目前我们还没有一般的方法把一个多项式分解成不可约因式的积 .本文利用二次型的理论给出了多元二次多项式是否可以分解成两个一次因式的积的判别法 ,并且对于可分解的二次多项式给出了分解的方法 ,彻底解决了二次多项式分解的理论问题 .定义　设　 f( x1 ,x2 ,… ,xn)= a1 1 x21 2 a1 2 x1 x2 … 2 a1 nx1 xn 2 a1 ,n 1 x1 a2 2 x22 … 2 a2 nx2 xn 2 a2 ,n 1 x2 … annx2n 2 an,n 1 xn an 1 ,n 1 ( 1)为一个实二次多项式 ,令A=a1 1 a1 2 … a1 n a1 ,n 1 a2 1 a2 2…     

张量分析和多项式优化的若干进展

张量分析 (也称多重数值线性代数) 主要包括张量分解和张量特征值的理论和算法,多项式优化主要包括目标和约束均为多项式的一类优化问题的理论和算法. 主要介绍这两个研究领域中若干新的研究结果. 对张量分析部分,主要介绍非负张量H-特征值谱半径的一些性质及求解方法,还介绍非负张量最大 (小) Z-特征值的优化表示及其解法;对多项式优化部分,主要介绍带单位球约束或离散二分单位取值、目标函数为齐次多项式的优化问题及其推广形式的多项式优化问题和半定松弛解法. 最后对所介绍领域的发展趋势做了预测和展望.     

解一阶线性常微分方程的积分因子法

一阶线性常微分方程 dy/dx P(x)y=Q(x)当已知函数Q(x)0时,称为非齐次方程,而当Q(x)0时,称为齐次方程。这种方程,通常可用多种方法求解,如Lagrange常数变易法,积分因子法,积分变换法,或者幂级数解法等。由于后面两种方法所用工具比较高深,在教学中一般安排较晚,本文暂不讨论。一般在微积分或微分方程教程中所采用的,多是常数变易法。为了说明问题,我们先简单介绍一下这个解法。     

谈赋值法解题

所谓赋值,就是给命题中某些字母(或量)赋上一定的数值,然后化为“数字”问题考虑。这样做,常可以简化某些证明过程,收到以简驭繁、化难为易的效果。一、给字母赋值分解因式大家熟知的多项式的因式分解,是一种带有较强技巧性的数学问题,特别是对于一些次数较高或元数较多的多项式因式分解,解法更显得困难。下面介绍     

一元三次式的又一种分解法─—拆中间项分组分解法

一元三次式的又一种分解法─—拆中间项分组分解法桂林市松坡中学罗万焜我们知道，一个可分解的一元三次多项式总可以表示为如下形式：将上式右端展开，得这样只要把三次多项式的中间项─—二次项和一次项同时拆成两项，使之成为具备分组分解条件的两个多项式，就可以达到...     

求一类非齐次微分方程特解的待定算子法

给出了求一类非齐次微分方程L(D)y=f(x)特解的待定微分算子解法.即通过求与方程相关的待定微分算子R(D),从而得出非齐次微分方程的特解y=R(D)f(x).     

一元四次整系数多项式的因式分解法

仅对一元四次整系数多项式在实数域内分解问题进行了研究,根据分解后其系数应为二次代数整数的特点,以及导出的二次方程判别式的完全平方性质,得出了一元四次整系数多项式在实数域内能分解成两个二次因式乘积的条件及方法,从而解决了一元四次整系数多项式在实数域内的因式分解问题.     

谈谈双二次多项式的因式分解

形如 f(z)=x~4+px~2+q 的多项式称为双二次多项式。我们知道,在复数域上 f(x)总可按固定的方法分解为四个一次因式之积,此不赘述。本文打算分别谈谈 f(x)在实数和有理数域上的因式分解问题。在实数域上,当 p~2-4q≥0时,我们可以用     

十字相乘法的一种灵活应用

我们在分解因式时,对一些特殊的三次四项式往往用拆平方项分组分解的方法进行。但竟究如何拆?学生难以掌握,在教学实践中我发现,应用十字相乘法可以帮助我们较迅速地完成拆项这一步骤。设三次四项式x~3+Bx~2+Cx+D,把它写成x~3+b_1x~2+b_2x~2+Cx+D,前两项结合成一组,后三项是一个二次三项式,以一次项系数C和常数项D为标准,用十字相乘的方法,确定b_2;b_2确定了,b_1也就同时确定了,这样问题就解决了。(b_2的值可能有多个,但要保证将原式中的Bx~2拆成b_10x~2与b_2x~2的和再分组分解后,每组中还要有公因式(x+b_1)。按这个原则,V_2的值还是易容确定的。)下面通过具体例子来进一步说明。例一:将x~3+8x~2+17x+10分解因式。     

分组分解法的基本思路

人教版初中《代数》第二册第八章介绍了因式分解的提取公因式法,运用公式法,分组分解法以及ｘ2+(ｐ+ｑ)ｘ+ｐｑ型式子的因式分解,其中的分组分解法是这几种方法中的重点和难点.本文介绍分组分解因式的几种基本思路,以帮助读者学好这部分的内容.一.直接分组1.按公因式分组例1　分解因式:ｘ2-ｘｙ+ｘｚ-ｙｚ.(2001年河北省中考试题)分析:多项式中第1,2项有公因式ｘ,第3,4项有公因式ｚ,可把它们各分为一组.解:原式=(ｘ2-ｘｙ)+(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ)+ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ-ｙ)(ｘ+ｚ).2.按公式分组例2　分解因式:ｘ2-ｙ2+ｙ-14.(2000年北京市大兴县中…     

高阶常系数非齐次线性微分方程的逆特征算子分解法

提出一种求任意高阶常系数非齐次线性微分方程通解的逆特征算子分解新方法.其基本思想是:将逆特征算子按有理真分式的因式分解定理分解为一次因式逆算子的形式,使问题转化为求多个一阶常系数非齐次线性微分方程的通解.得到了二阶与三阶及两种特殊情况下更高阶常系数非齐次线性微分方程通解的一般公式.之后,通过实例验证了方法的可行性和有效性.     

用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解

一、引子线性非齐次方程的通解等于相应的齐次方程的通解加上自身的一个特解。对于二阶常系数非齐次线性方程y″+py′+qy =f ( x) ( 1 )因其相应的齐次方程 y″+py′+qy=0的通解已解决 ,这样方程 ( 1 )的特解的求得 ,就成为 ( 1 )通解求得的关键。针对 ( 1 )中 f( x)是某些特殊类型的函数 ,特别是 p( x) ,p( x) eλx,[p1( x) cosωx+p2 ( x) sinωx]eλx,(其中 p( x) ,p1( x)和 p2 ( x)为多项式 )时 ,一般教科书均按待定系数法来求得 ( 1 )的特解。当然 ,待定系数法有其方程式化的特点 ,但计算量太大。本文用升阶法来求常系数非齐次线性方程…     

整系数多项式在整数环上不可约性的进一步探讨

本文首先给出了整系数多项式有二次整系数多项式因式的一个必要条件，进而通过对整系数多项式ｆ（ｘ）＝ＡｎＸ２十αｎ－１Ｘｎ－１＋…＋αｏ中ｘｎ－２的系数αｎ－２的讨论，得到一类整系数多项式在整数环上是否可约的一个判别法。     

屈服条件由应力张量的二次齐次函数与一次齐次函数之和来表达的极限分析定理

本文建立了由应力张量σ_ij的二次齐次函数与一次齐次函数的和来表达其屈服条件的刚理想塑性体的极限分析变分原理,它可用于岩土力学的极限分析问题,并把屈服条件为应力张量σ_ij 的二次齐次函数或一次齐次函数来表达的情况作为其特例.     

关于二次三項式的因式分解

分解二次三項式的因式,一般說有四种方法:公式法、配方法、分組分解法和余式定理法。但对分組分解法作进一步研究又可得出观察法。用观察法分解某些(尤其是整系数的)二次三項式的因式时,有快而准的特点,因此在实际計算中我們經常用到它。但要采用观察法,必須在“B~2-4AC是某数的平方时,整系数二次式Ax~2+Bx+C一定是两整系数一次式之积。”这一命題正确的条件下方可。否則(有时可能出現分数),問題将变得复杂多了,不易“观察”。当然就談不上快而准了。所以,有証明这一命題正确的必要,本文的目的正是这样。引理Ⅰ.两奇数的平方差,必是8的倍数;奇数与偶数的平方差,必是奇数。     

“十字相乘法”该删吗？

新修订的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》[1 ]在“因式分解”一章中删除了“十字相乘法” .笔者从初中数学教学实践出发 ,认为删除“十字相乘法”实为不妥 .十字相乘法宜保留在“课程标准”中 .1　就“十字相乘法”在初中数学知识体系中的地位和作用而言 ,“十字相乘法”具有重要的意义1 1　完全平方式、平方差多项式的因式分解事实上即是十字相乘法的特例 .如ｘ2 - 6ｘ 9=(ｘ- 3) (ｘ - 3) =(ｘ- 3) 2 ,其十字表为 (表 1 ) ;ｘ2 -4=(ｘ 2 ) (ｘ- 2 )其十字表为 (表 2 ) .因而十字相乘法深化了完全平方式、平方差多项式的分…     

用矩阵分解多项式的一次整因式

对一个较高次整系数多项式可以用综合除法分解出一次整因式。但是,一方面有理根的综合除法计算复杂,另一方面由于有时需要试验的因子很多,而对每个因子要做一次相应的综合除法,这给试验增加了一些麻烦。本文用矩阵分解多项式的因式,特剐方便的是联合使用列表法分解出一次整因式,这样既可以大大减少计算上的麻烦,同时也达到试验一次整因式的目的。     

误差方差的非齐次估计的可容许的充要条件

研究误差方差的非齐次二次估计的可容许性．在平方损失下,给出了一个非齐次二次估计在非齐次二次估计类中是误差方差的容许估计的充要条件．