文科数学中运用导数解决含参函数问题的策略

函数与导数是高中数学的核心内容．以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,考查的基本点主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围．解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过不断地转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．解决的主要途径是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参函数的最值讨论．     

例谈分类讨论的回避和简化策略

1 分离参数 回避讨论 在含参数的不等式或方程中,若能通过适当的变形,使不等式或方程的一边只含有参数的解析式,另一边是无参数的主变元函数,从而分离参数,接下来就转化为求函数的值域等问题,可以回避讨论.     

用分离参数法解不等式恒成立

<正>不等式恒成立求参问题是历年高考的热点内容,时常以解答题压轴的形式出现.处理此类问题一般有两种策略:一、直接构造函数,对参数进行分类讨论并借助导数研究函数最值来求解参数范围;二、通过等价变形将参数与变量分离,构造具体函数来研究最值最终求出参数范围.由于分离参数法能避开参数繁琐的讨论,因此它备受同学们欢迎.本文结合几道高考题谈谈用分离参数法求解不等式恒成立问题的处理技巧.     

最大值、最小值在求参数取值范围中的应用

求参数的取值范围,一般要解以参数为元的不等式。从题目中已知的等量关系出发得到以参数为元的不等式,是解决这类问题的关键。本文介绍求参数的取值范围的一种较方便的方法,这种方法的基本思路是,引入主变量的函数(或含参数的函数),利用该函数在给定区间上的最值(或含参数的最值)把问题转化为关于最值的不等式。     

“任意”与“存在”问题的多种解法

含参不等式恒成立、存在性问题历来是高考考查的热点、难点,它们之间既有联系,又有区别,还可以相互转化．对这类问题该怎样求解呢？这类问题往往涉及数形结合、分类讨论等数学思想,主要采用分离参数法（参数能够分离）、函数最值法等方法．     

从一道高考题谈含参数不等式解题策略

含参数不等式恒成立问题和存在性问题是近几年高考的一个热门题型,它以“参数处理”为主要特征,以导数为工具,往往与函数的单调性、极值、最值等有关,在解决这类问题的过程中涉及了“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”“分类讨论”等数学思想.含参数不等式求参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求恒成立问题或存在性问题中的参数范围.解决这类问题,主要是运用等价转化思想,把复杂的,不熟悉不规范的问题转化熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.下面就一道含参数不等式恒成立问题来谈谈如何对它进行横向拓展、纵向引申,达到优化认知结构、掌握思想方法、培养思维能力的目的.     

不等式的解法和证明

不等式是数学竞赛的重要内容,主要涉及到解不等式、证明不等式和求最值等方面． 不等式的性质是解不等式的基础,解不等式的一般思路是利用不等式的同解原理把原不等式等价转化为相对简单的一元一次、一元二次不等式（组）,再来求解．在求解的过程中还经常用到数形结合、分类讨论、等价变形、化归转化等数学思想．     

巧用等价转化解含参数的恒成立不等式问题

求解合参数的恒成立不等式问题是近几年来各类考试的热点题，这类问题由于既有参数又有变量，学生往往感到很棘手，常因解法不当花费过多时间或半途而废．如何处理好这类问题呢？等价转化是解决问题、减少运算量的重要途径，即运用等价转化思想将其转化为大家熟悉的函数问题，运用函数的性质求解．1转化为一农函数问题、经过恰当的变形，将其转化为一次函数，运用一次函数的性质求解．一次函数人X）一kx十b（kwt0）有下面性质：‘（1）人x）＞0在b，n」上恒成立ed人m）＞O且人n）＞0；（2）若k＞0，N4人x）＞0在【m，n」上恒成立ed八m）＞…     

函数背景下双变量问题的解决策略

函数与不等式、导数知识的综合交汇,一直是高考重点考查的内容．笔者在本届高三备考中发现,近几年高考压轴题和各地模拟题中频频出现在函数背景下处理含两个变量的等式与不等式问题．这类问题由于变量多,导致学生们拿到试题后无从下手,笔者在教学中发现如果以函数思想为引领,把双变量问题转化为一元函数,再以导数为工具就能有效地加以解决．下面就此类问题的处理技巧加以归纳总结,以期抛砖引玉．     

证明不等式的一种方法——设参求最值法

证明不等式的一种方法———设参求最值法刘宝文（江苏邳州运河师范学校２２１３００）在教学中笔者发现，有些不等式（甚至是较难的）证明题，可通过增设参数，再使用二元均值不等式，将问题转化为求一个关于参数的较简单的函数式的最值问题．此法思路自然，操作简单，易...     

不等式情境，函数性视角——一道不等式存在性问题的探究

<正>含参不等式的存在性问题是高考数学试卷中比较常见的一类综合应用问题,经常交汇融合函数与不等式的相关知识,场景变化多端,形式创新多变,是知识综合与创新应用的一个重要载体.此类问题经常借助含参不等式的合理恒等变形与等价转化,综合利用不等式的基本性质转化为函数问题,从函数的视角来分析,借助函数的基本性质、图象等来处理与应用,实现问题的巧妙解决.     

例说参变分离法

<正>在高中数学中,经常出现含有参数的某些函数、方程、不等式,并要求确定参数的取值范围,此时常常会用到参变分离法.所谓参变分离,是指在等式或不等式中含有两个字母,一个视为变量,另一个视为参数,可以利用等价变形,使得参数与变量分离于等式或不等式的两端,从而转化为主元函数值域的求解.下面以南京市2016-2017学年度第一学     

箱式约束变分不等式的一类新光滑gap函数

针对箱式约束变分不等式问题,利用一类积分型全局最优性条件,提出了一个新光滑gap函数．该光滑gap函数形式简单且具有较好的性质．利用该gap函数,箱式约束变分不等式可转化为等价光滑优化问题进行求解．进一步地,讨论了可保证等价光滑优化问题的任意聚点为箱式约束变分不等式问题解的条件．以一个简单的摩擦接触问题为例阐释了该方法的应用．最后,利用标准的变分不等式考题验证了方法的有效性．     

连续放缩两次探求多元函数最值

<正>求多元函数最值问题,内涵丰富,方法灵活多变,技巧性强,难度大,解法没有规律性,且有些此类问题按常规方法求解更有难度.若利用题设条件、不等式性质、基本不等式及柯西不等式等连续放缩两次,将多元变量转化为少元变量或单元变量,并兼顾等号成立的条件来解答,可使思维简约,过程简捷.下面举例说明,旨在抛砖引玉.1.由题设条件和均值不等式连续放缩两次由题目直接或间接给出的条件和均值不等式连续放缩两次,将多元变量最值问题转化为一     

高考专题复习系列讲座（4）——不等式

1．考点透视 不等式是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，也是高考的考查重点，不仅考查有关不等式的基本知识、技能和方法，而且注重考查逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力．近几年的高考中，单独考查不等式的试题越来越少，不等式与其他知识的综合交汇题成为热点．从内容上看，选择题和填空题主要考查实数大小的比较、不等式的基本性质、不等式的解法、重要不等式的应用、求含参变量问题中参数的取值范围、求函数的最值等；解答题主要是不等式与函数、数列、三角、向量、解析几何、概率等知识的综合题，考查解不等式、证明不等式的基本方法，讨论含参数的方程与不等式，研究数列的性质或者解决实际应用问题．     

一种解决不等式约束优化问题的光滑牛顿法

本通过引入松弛变量和Fischer函数把带有不等式约束优化问题的K-T条件转化为一个等价的非线性系统，并引入一参数μ，从而提出了一种新的光滑牛顿法。在适当的条件下，证明了算法的全局收敛性，并提供了数值结果。     

分离系数法巧解恒成立问题

<正>对于含有参数a的不等式f(x)≤0(包括不等式f(x)≥0)恒成立或方程f(x)=0恒有实根问题,若对参数或变量进行讨论,再结合函数的图像求解一般都较难或繁,而通过分离系数巧用"求函数最值"的方法便可以简解此类问题,由于在转化与化归时常需分离出系数a,不妨称之为"分离系数法".     

分离参数不成功问题的解法

<正>引言含参方程、含参不等式问题中,常用到分离参数的方法,将问题转换成已知函数的图像或最值问题,但是我们常会碰到直接分离参数不成功的情况,例如需要讨论或是分离后函数较复杂的情况,对于大部分同学来说不能分离也就意味着此题解不出来了.不分离参数难道问题真的就解不出来了吗?我们已经研究过含参数函数的最值问题,含参数函数的单调性等问题,为什么不能将问题转换成含参     

一道期末试题的背景揭示与破解研究

以拉格朗日乘数法为背景命制的二元最值问题历来是高考和竞赛考查的热点问题.试题一般是函数、方程与不等式知识的综合应用,难度较大.消参减元转化是解决这类问题的基本原则,初等解法可从方程有解,函数最值(三角代换或导数),不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式),几何直观等途径寻找解题突破口,解法灵动多变,妙趣横生.     

例谈不等式恒成立问题

<正>我们知道,不等式恒成立的证明可以转化成对函数最值问题的研究,进而可以借助导数工具研究函数最值.而利用不等式的性质,可以对不等式进行等价转化,这就会使研究的函数模型发生变化.同时,我们可以从函数角度认识不等式,两个等价的不等式因为形式的不同,所对应的函数图象的关系也会有不同.今天我们通过一道题来体会此类问题解决的策略和值得关注的地方.