三棱锥的外接球半径的计算方法

<正>纵观近几年全国卷和其他各省市高考卷,对于简单多面体外接球的考查几乎成了高考必考题之一,其中又以对三棱锥的外接球的考查居多.学生在平时学习中,对三棱锥的外接球相关问题的求解普遍感觉困难,主要是因为不善于抓住几何体的结构特征,不能正确寻找球心和半径,下面主要介绍求三种常见类型的三棱锥的外接球半径的计算方法.     

多面体外接球半径求解策略

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用,现就通过例题来探讨这类问题的求解策略．     

几何体与球的接切问题

<正>一、几何体的外接球问题1.与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心(体对角线的中点)与外接球心重合,求出体对角线长,进一步求出外接球半径.在长方体ABCDA1B1C1D1中,棱AB,AD,AA1的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为().因D_1B=(a²+b2+b²+c2+c²)2)¹/2,故外接球半径R=((a1/2,故外接球半径R=((a²+b2+b²+c2+c²)2)¹/2)/2.     

空间几何体外接球问题探究

<正>球是特殊的空间几何体,具有与对称有关的多方面的性质,由于多面体外接球具有唯一性,因此以空间几何体外接球为载体的几何问题成为高考试题的热点和难点.解决外接球半径问题的关键是球心的位置,而确定球心位置依据是球心的两个特征:一是球心到球面各点的距离都等于半径,二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.本文从以下几个方面探究空间几何体外接球半径问题.     

例谈棱柱与棱锥外接球球心的确定

球是高中数学中的重要内容之一,在历年高考题中,有关简单空间几何体的外接球问题屡见不鲜.解决这类问题的关键是球心的确定,此时应紧抓一个关键点:球心到各顶点距离都相等,下面仅就棱柱与棱锥的外接球问题浅谈如何确定简单空间几何体外接球的球心.     

求多面体外接球半径的一个统一公式

<正>求多面体外接球半径是高考的常考知识点,常见的方法有三种:一是根据多面体的特征,将多面体进行补形,补成长方体或正方体,正方体或长方体的对角线即为多面体外接球的直径;二是找出多面体外接球的球心,再构造含有球半径的三角形,转化为解三角形问题;三是建立适当的空间直角坐标系,设出球心的坐标,通过球心到各顶点的距离相等列出方程组,从而求出球心的坐标,进而求出外接球的半径.下面根据第二种解法推导出一个统一的求多面体外接球的公式.     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.1等腰四面体的外接球三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体.设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=24a2 b2 c2.特别地,当a=b=c时,棱长为a的正四面体的外接球半径为R=46a.例1(2003年…     

探究正四面体的中心

一正四面体的棱长为a,它的内切球和外接球体积各为多少？问题是数学的灵魂,解决这个问题的关键是找到正四面体的中心所在．只要找到中心,就容易求内切球和外接球的半径,进而求出体积．下面探究四面体的中心位置．     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道，每个四面体都有外接球，球心就是各条棱的中垂面的交点，这个点到各个顶点的距离都相等．给出一个四面体求它的外接球半径，是一类常见的问题。下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法．     

确定球心、球半径的通法

<正>近几年,有关三棱锥的外接球问题是各级考试中的高频考点.此类问题也是学生的学习立体几何的难点之一.它要求学生具有良好的空间想象能力,外接球的球心在哪儿?半径是多少?是解决此类问题的关键.对于特殊的三棱锥通过补形,构造长方体、或对于正三棱锥利用其对称性知外接球球心在其高所在直线上,容易解决.那么,对一般三棱锥如何确定其外接球球心、外接球半径呢?事实上,我们可以类比圆心的确定、圆的半径的求法解决球的相关问题.     

多面体外接球半径求解策略

<正>如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的     

探寻四面体外接球球心位置

如何处理多面体的外接球的问题？关键在于确定球心,由球心的位置求出半径,从而解决其他问题．由于空间不共面的四个定点确定唯一的球面,对于任何多面体的外接球面的问题,都可以先选定四个顶点确定其外接球球心,求出半径,再解决与其他顶点相关的问题．     

四面体

四面体是最简单的多面体，它具有很多类似于三角形的性质：1．四面体都有外接球和内切球，且R≥3r，其中R为外接球半径，为内切球半径．     

祖暅原理的探索性内涵

1教材关于半球体积的求法 在使用祖暅原理推出半球的体积时，高中数学教材《立体几何》使用的方法是：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从这个圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面中心为顶点的倒立圆锥，之后把所得的几何体和底面朝下的半球放在同一个平面α上，然后证明这两个几何体合乎祖暅原理的要求，断定它们的体积相等，从而求出半球的体积。     

共球有限点集的一类几何不等式

本文建立了Ｅｎ中共球有限点集的一类几何不等式，作为其特例，可以得到ｎ维单形的外接球半径与其子单形外接球半径之间的关系．     

球内接、外切圆台的侧面积与体积最值探讨

我们知道,球内接圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最大值,而球外切圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最小值,那么,球内接、外切圆台的侧面积与体积是否存在最大或最小值呢?本文拟通过对角参数的适当选取,解决这一问题。问题1 设球的半径为R,求球内接圆台的侧面积与体积的最大值。解如图1,等腰梯形ABCD为球内接圆台的轴截面,EF过球心O且与BC垂直,设∠EOD=α,∠FOC=β,圆台的上、下底半径、高及母线长则分别为     

圆柱、正棱柱和长方体的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性,归纳如下共同性质:球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比.文[2]讨论了“多面体容球”的一个有趣共性,即球与其外切多面体的表面积之比等于体积之比.文[3]讨论了“一类旋转体容球”的一个有趣共性,即圆柱、圆锥及圆台的组合旋转体与其内切球的表面积之比等于体积之比.文[1]、文[2]及文[3]都是讨论几何体与其内切球的性质,笔者思考,若将内切球改为内切椭球,会有怎样的性质呢?本文将讨论圆柱、正棱柱及长方体容球与容椭球的关系,现叙述如…     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…     

体积比问题的类型及解法

体积问题是立体几何中的一类重要问题 ,其中求几个几何体的体积比是较常见的一类问题 ,且多以选择题、填空题设置 .通常可设法求出每一个几何体的体积 ,再求体积比 ;或借助几何体的体积关系 ,整体处理求得体积比 .对选择题、填空题型 ,也可采取特殊化 (赋予几何体相关特殊值、特殊图形、特殊位置等 )思维策略求解 .本文结合典型问题仅以解答题求解方式探究此类问题的求解方法 .1　直接法　对于某些规则几何体 ,若据题意其体积易于求得 ,则可直接求出其体积 ,再求其体积比 .例 1　 (1991年上海高考题 )一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的…     

例谈空间几何体与三视图问题的解题思想

三视图是新课程中的新增内容,这块内容已经成为实施新课标的几个省市数学高考卷客观题中的亮点,高考对空间几何体与三视图部分要求学生了解与正方体、球有关的简单组合体的结构特征,理解柱、锥、台、球的结构特征．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型．作为新课程中的新增内容几何体与三视图必将成为今后高考考查的热点,本文中笔者以高考题为据重在揭示解决此类问题的基本思想．