圈的多重联图的邻点可区别E-全染色的一些结果

记χ_(at)~e(C_n_i)为n_i阶的圈C_n_i的邻点可区别E-全色数.若n_i≡0(mod 2)(i=1,2,3…,t),则χ_(at)~e(C_n_1+C_n_2+…+C_n_t)=2t;若n_i≡0(mod 2)(i=1,2,3…,r,l相似文献   

问题征解

一、本期问题征解 1.解方程 2(3χ-1)(4χ-1)(6χ+1)(12χ+1)=3 2.已知不等式aχ~2+bχ+C>0的解为a<χ<β(其中a<0,β>0),求不等式Cχ~2-bχ+a<0的解 3.锐角△ABC中,AB=3,BC=4,AC的长也是整数,求证:∠B=∠C或者∠A=∠B 江苏泰州中学薜大庆提供 4.若记实数χ的整数部分(即不超过χ的最大整数)为〔χ〕 1~0.试证〔χ〕+〔χ+(1/n)〕+〔χ+(2/n)〕+…+〔χ+((n-1)/n)〕=〔nχ〕,式中χ为正实数,n为任何自然数;     

再析一道以二进制为背景的高考题

题 (2011年湖南卷理16)对于n∈N+,将n表示为n=a0×2k+a1 ×2k-1 +a2 ×2k-2+…+ak-1 ×21 +ak×20,当i=0时,ai=1,当1≤i≤n时,ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数.(例如:1=1 ×20,4=1 ×22+0×21 +0×20,故I(1)=0,I(4)=2),则(1)I(12)=____;(2)127∑n=12I(n)=____.     

奇完全数的两个猜想

运用初等方法讨论有关奇完全数的两个猜想.证明了:(i)如果n=p~αq_1~(2β_1)q_2~(2β_2)…q_s~(2β_s)是奇完全数,其中P,q_1,q_2,…,q_s是不同的奇素数,α,β_1,β_2,…,β_s是正整数,p≡α≡1(mood4),而且q_i≡-1(mod m)(i=1,2,…,s),m是大于2的正整数,则.1/2σ(p~α)必为合数;(ii)如果n=a~2~x+b~2~x,其中a,b,x是适合ab,gcd(a,6)=1,2|ab的正整数,则当x≥log_2log_2log_2 a时,n不是奇完全数.     

利用余数定理证一类整除性问题

关于整除性问题的证明,中等数学习题中屡有所见,在学过数学归纳法后尤多,亦有应用因式分解法证明的。目前重点高中代数第一册已讲过余数定理和因式定理,但此处未曾见到,似觉不够。这里就利用余数定理证一类整除性问题试举几例,供同志们参考。例1,求证4~(2n+1)+3~(n+2)能被13整除(高中数学第三册P。158复习题)。证∵4~(2n+1)+3~(n+2)=4·16～n+9·3~n,故不妨设f(χ)=4·χ~n+9·3~n,则问题化为求证f(16)能被13整除,∵13=16-3,f(χ)除以χ-3的余数为f(3)=4·3~n+9·3~n=13·3~n于是f(χ)=(χ-3)g(χ)+f(3)=(χ-3)g(χ)+13·3”,将χ=16代入得f(16)=13·g(16)=13·g(16)+13·3~n,故f(16)能被13整除,即13|4~(2n+1)+3~(n+2)。上述证明,显然较之数学归纳法要简明得     

关于Diophantine方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

设m是正偶数.证明了(A)若b是奇素数,且a=m|m~6-21m~4+35m~2-7|,b=|7m~6-35m~4+21m~2-1|,c=m~2+1,则Diophantine方程G:a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,7);(B)若m2863,且a=m|m~8-36m~6+126m~4-84m~2+9|,b=|9m~8-84m~6+126m~4-36m~2+1|,c=m~2+1,则Diophantine方程G仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,9);(C)若a,b,c适合a=m|∑_(i=0)~((r-1)/2)(-1)~i(_(2i)~r)m~(r-2i-1)|,b=|∑_(i=0)~((r-1)/2)(-1)~i(_(2i+1)~r)m~(r-2i-1)|,c=m~2+1,r≡1(mod4),2|x,2|y,且b为奇素数或m145r(log r),则方程G仅有解(x,y,z)=(2,2,r).     

On the diophantine equation x 2 − Dy 2 = n

We propose a method to determine the solvability of the diophantine equation x2-Dy2=n for the following two cases:(1) D = pq,where p,q ≡ 1 mod 4 are distinct primes with(q/p)=1 and(p/q)4(q/p)4=-1.(2) D=2p1p2 ··· pm,where pi ≡ 1 mod 8,1≤i≤m are distinct primes and D=r2+s2 with r,s ≡±3 mod 8.     

一类指数函数的高阶导数

在微积分学中,指数函数f(x)=e~(-x)~(-2)(x≠0)是一个非常简单而十分重要的初等偶函数,尤其是在函数的幂级数展开中,需要研究这个指数函数的有限形式的高阶导数及其性质.本文对此问题进行了研究,并得到如下结果:设f(x)=e~(-x)~(-2)(x≠0)的n阶导数为f_n(x)=fn(x)e~(-x)~(-2),则f_n(x)=sum from i=1 to n(-1)~(n+i)C_i(n)x~(-n-2i),其中C_1(n)=(n+1)!,C_i(n)=2sum from j=i to n(n+2i-1)!/(j+2i-1)!C_(i-1)(j-1),(1i≤n).     

例析曲线过定点问题

曲线(包括函数的图象)过定点问题是研究曲线性质的重要组成部分,它也是高中数学中一类重要的题型,通过对这类问题的研究,有助于加深对曲线性质的理解和应用.下面介绍一下解决这类问题的常用解题策略.1.利用a0=1(其中a>0,且a≠1)例1(2007年山东卷·文)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过点A,若点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,则1m 1n的最小值为.解析函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),∴函数f(x)=a1-x(a>0,且a≠1)的图象恒过点A(1,1).又点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,∴m n-1=0,∴m n=1.∴1m 1n=mm n mn n=2 mn nm≥2 2mn·nm=2 2=4,∴1m…     

曲线系方程及其应用

曲线系是指具有某种共同性质的曲线的集 .曲线系方程的形式通常表现为含有一个或几个独立参数的二元方程 .利用曲线系方程解题体现了参数变换的数学思想、整体处理的解题策略、以及待定系数法等重要的解题方法 .这种思想、策略、方法的三位一体 ,常能使解题的水平更高 ,思维更活 .下面介绍几种常用的曲线系方程 .1　直线系1)经过两条直线li∶Aix +Biy +Ci=0 (i=1,2 )交点的直线系方程为λ1l1+λ2 l2 =0 (λi∈R ,i=1,2 ) .2 )过定点 (x0 ,y0 )的直线系方程为λ1(x -x0 )+λ2 (y - y0 ) =0 (λi∈R ,i=1,2 ) .3)与直线Ax +By +C =0平行的…     

关于丢番图方程X~2+4Y~4=pZ~4

设p为素数,p=4A~2+1+2|A,A∈N~*.运用二次和四次丢番图方程的结果证明了方程G:X~2+4Y~4=pZ~4,gcd(X,Y,Z)=1,除开正整数解(X,Y,Z)=(1,A,1)外,当A≡1(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|p(a~2-b~2)~2-4(A(a~2-b~2)±ab)~2|,Y~2=A(a~2-b~2)~2±2ab(a~2-b~2)-4a~2b~2A,Z=a~2+b~2;当A≡3(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|4a~2b~2A-(4abA±(a~2-b~2))~2|,Y~2=4a~2b~2A±2ab(a~2-b~2)-A(a~2-b~2)~2,Z=a~2+b~2.这里a,b∈N~*并且ab,gcd(a,b)=1,2|(a+b).同时具体给出了p=5时方程G的全部正整数解.     

用■变换求解自然数方幂之和

<正> 本文采用(?)变换方法求解自然数方幂的部分和,得到了计算 S_n(m)=sum from i=1 to n i~m 的一般公式.定理1.若记 u_k=k~m,则数列{u_n}满足 m+1阶差分方程sum from k=0 to n+1(-1)~kC_(m+1)~ku_(n+m-k)=0.(1)定理2.自然数 m 次幂的部分和数列{S_n(m))满足 m+2阶差分方程sum from k=0 to m+2(-1)~kC_(m+2)~kS_(n+m+2-k)=0.(2)     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .关于x的方程 6mx2 +3nx +2 =0和 2 4mx2 +1 0nx+7=0有公共根是 12 ,则m =,n =.2 .关于x的二次三项式 (m -1 )x2 +4 (m -1 )x +2m +2是一个完全平方式 ,则m的值等于3 .若x1,x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则二次三项式ax2 +bx +c在实数范围内可分解为.4.已知方程 3x2 -4x =-1的两个根为x1,x2 ,不解方程 ,代数式 x2x21+x1x22=.5 .关于x的二次方程 (x+2 ) 2 =2 -n(n <5 )无实数根 ,则n的最大整数值是 .6.在平面直角坐标系内 ,已知点 ( 1 -2a ,a -2 )在第三象限 ,且a为整数 ,则a =.7.设P(x ,y)是平面直角坐标系中…     

一元多项式

一般地,以χ为元的一元χ次多项式可以写成 a_nχ~n+a_(n-1)χ~(n-1)+…+a_1χ+a_0这里χ是确定的自然数,a_n≠0,χ称为f(χ)的次数,记作deg(χ)。多项式f(χ)是关于χ的函数,因此从函数角度研究其性质,探讨问题是十分自然重要的。如果多项式 f(χ)=a_nχ~2+a_(n-1)χ~(2-1)+…+a_1χ+a_0 与 g(z)=b_nχ~2+b_(n-1)χ~(2-1)+…+b_1χ+b_0的同次项系数都相等,即a=b_1,b=0,1,2,…,则称多项式f(χ)与g(χ)相等。显然,多项式f(χ)与g(χ)相等的充分必要条件是:次数相同,而且同次项系数都相等。特别地,称0为零多项式,这个概念也很有用。     

关于误差方差估计渐近正态收敛速度的上,下界

考虑线性回归模型 Y_■=x_4~′β+e_■ i=1,2,…设误差序列■,i≥1满足条件:e_■ i≥1 i.i.d.,Ee_1=0,Ee_1~2=σ~2>0,∞>Var e_1~2=τ~2>0。记■_n~2=1/(n-r){sum from j=1 to n e■-sum from k=1 to r (sum from j=1 to n a_(akj)■_j)~2} δ(n)=τ~(-2)E(■_1~2-σ~2)~2I_((|■-σ~2|≥■τ)+τ~(-3)n~(1/2)|E(■_1~2-σ~2)~3I_((|■_1~2-σ~2|<(nτ)~(1/2))+τ~(-4)n~(-1)E■_1~2-σ~2)~4I_((|■-σ~2|0使得■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|≤C(δ(n)+n~(-1/2)) ■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|+n~(-1/2)≥C_1δ(n)。     

判断Birkhoff插值矩阵平衡性的一些方法

<正> Birkhoff 插值问题可以描述为:设E=(e_(ij))_(i=0,j=0)~(k+1 n)是一个0,1矩阵(或插值矩阵),其中恰有n+1个1,设x_0相似文献   

关于凸函数的Hadamard不等式的拓广(英文)

设,是区间[a,b]上连续的凸函数。我们证明了Hadamard的不等式 f(a+b/2)≤1/b-a integral from a to b (f(x)dx)≤f(a)+f(b)/2可以拓广成对[a,b]中任意n+1个点x_0,…,x_n和正数组p_0,…,p_n都成立的下列不等式 f(sum from i=0 to n (p_ix_i)/sum from i=0 to n (p_i))≤|Ω|~(-1) integral from Ω (f(x(t))dt)≤sum from i=0 to n (p_if(x_i)/sum from i=0 to n (p_i),式中Ω是一个包含于n维单位立方体的n维长方体,其重心的第i个坐标为sum from i=i to n (p_i)/sum from i=i-1 (p_i),|Ω|为Ω的体积,对Ω中的任意点t=(t_1,…,t_n) ω(t)=x_0(1-t_1)+sum from i=1 to n-1 (x_i(1-t_(i+1))) multiply from i=1 to i (t_i+x_n) multiply from i=1 to n (t_i)。不等式中两个等号分别成立的情形亦已被分离出来。 此不等式是著名的Jensen不等式的精密化。     

用立方法解三次根式方程是否会产生增根

用平方法解二次根式方程,可能会产生增根,这是大家熟知的。但用立方法解三次根式方程,是否也会产生增根?这却非尽人皆晓。考察下面的例1 解方程(2χ-1)~(1/3)+(3χ-2)~(1/3)=(5χ-3)~(1/3)。解方程两边同时立方,得(5χ-3)+3·(2χ-1)~(1/3)(3χ-2)~(1/3)((2χ-1)~(1/3)+(3χ-2)~(1/3))=5χ-3把原方程代入得 ((2χ-1)(3χ-2)(5χ-3))~(1/3)=0两边再同时立方得 (2χ-1)(3χ-2)(5χ-3)=0 ∴χ_1=(1/2),χ~2=2/3,χ_3=3/5。经检验知其皆为原方程的根。例2 解方程(χ+1)~(1/3)+(2χ+5)~(1/3)=3~(1/3)。解原方程记为(1),两边同时立方,得     

三项式xn-x-a的二次不可约因式

设n是正整数,f(x)=xn-x-a,其中a是非零整数. 证明了当n>5时,如果f(x)有首项系数为1的二次整系数不可约因式g(x),则必有n≡2(mod6),a=-1,g(x)=x2-x+1或者n=7,a=±280,g(x)=x2t(±)x+5.     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.