一道竞赛题的推广

2010年全国高中数学联赛湖北省预赛高二年级试题第6题是：     

一道竞赛题的推广

问题(第十四届“希望杯”高一第二试)若sin3θ-cos3θ=-1,则sinθ-cosθ的值为.将该问题推广,可以得以下结论.结论1若sinnθ-cosnθ=-1,且m,n都为正奇数,则sinmθ-cosmθ=-1.证当n=1时,由条件得sinθ-cosθ=-1.平方得sinθcosθ=0.当n≥3时,若sinθcosθ≠0,则0<|sinθ|<1,0<|c     

一道竞赛题的推广

问题（第十四届“希望杯”高一第二试）若sin^3θ-COS^3θ=-1，则sinθ-cosθ的值为     

一道竞赛题的推广

20 0 1年全国高中数学联赛题 5为 :若 (1+ｘ +ｘ2 ) 10 0 0 的展开式为ａ0 +ａ1ｘ +ａ2 ｘ2 +… +ａ2 0 0 0·ｘ2 0 0 0 ,则ａ0 +ａ3+ａ6 +ａ9+… +ａ1998的值为 (　　 )(Ａ) 3333.　　　 (Ｂ) 36 6 6 .(Ｃ) 3999. (Ｄ) 32 0 0 1.该题构思巧妙 ,解法灵活 ,可谓独具匠心 .笔者经研究发现 ,此处ａ1+ａ4 +ａ7+… +ａ1999=ａ2 +ａ5+ａ8+… +ａ2 0 0 0 =3999,因此 ,此题结论可以推广 .推广 1　设 (1+ｘ +ｘ2 ) ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式中 ,指数能被 3整除的项的系数和为Ａｎ,除以 3余 1的项的系数和为Ｂｎ,除以 3余 2的项的系数和为Ｃｎ,则Ａｎ=Ｂｎ=…     

一道竞赛题的推广

题目如图1,PA,PB为⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过P的直线交⊙O于C,D两点,交弦AB于点Q,求证:PQ~2=PC·PD-QC·QD.这是2009年全国高中数学联赛陕西赛区的一道试题,联想到圆与圆锥曲线的许多结论具有相同之处,笔者试着利用几何画板进行验证,结果是在圆锥曲线中的确有     

一道竞赛题的推广

１９７８年安徽省中学生数学竞赛第二试第三题为：过三角形的重心任作一直线,把这三角形分成两部分．证明：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的１９．这是一道著名的题,也有许多精妙的证法,我们在各类竞赛教程中,不难发现其踪影．笔者在研究此题时,得到一个新的...     

一道数学竞赛题的推广

设 a1,a2 ,… ,an和 b1,b2 ,… ,bn都是非负实数 ,则　 [( a1+ b1) ( a2 + b2 )… ( an + bn) ]1n ≥　 ( a1a2 … an) 1n + ( b1b2 … bn) 1n.这是第 6 4届普特兰数学竞赛中的一道题目 .本文给出该不等式的一个推广 .推广　设 aij >0 ( i =1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,则( ∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ain) 1n ≥ ∑mi=1( ai1ai2 … ain) 1n,等号当且仅当 as1at1=as2at2=… =asnatn( s,t=1 ,2 ,… ,m;s≠ t)时成立 .证明　由平均不等式知 :1na11∑mi=1ai1+ a12∑mi=1ai2+… + a1n∑mi=1ain≥　a11a12 … a1n∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ai…     

一道组合竞赛题的推广

1978年波兰数学奥林匹克有一道组合题: 对于n元集合M的任何两个子集A和B,求得A∩B的元素个数,求证所有求得的个数之和为n*4n-1.下面给出原证明.     

一道数学竞赛题的推广

2003年北欧数学奥林匹克有一道数论题:求所有的三元整数组(x,y,z),使得x3+y3+z3-3xyz=2003. 　　由于2003是质数,我们把它推广为如下更一般的结论:……     

一道数学竞赛题的推广

<正>(2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第9题)设集合S={1,2,3,…,8},A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中的最小数,则这样的集合对(A,B)的个数是 __.可以将这个题目推广为:设集合S={1,2,3,…,n}     

一道数学竞赛题的推广

1986年全国初中数学竞赛试题第三题:“设P、 Q为线段BC上两定点,且Bp=CQ,A为BC外一动点,当点A运动到使∠BAP =∠CAQ时,△ABC是什么图形?试证明你的结论。”此题结论是当∠BAP=∠CAQ时△ABC为等腰三角形。下面我们采用辅助圆证法,并加以推广。     

一道乌克兰竞赛题的推广

陈胜利老师在中国不等式研究小组网站介绍了一道2007年乌克兰竞赛题： 设a，b，c〉0且abc≥1，求证：     

一道高中数学竞赛题的初中证法

<正>2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛第二题:在△ABC中,M、N分别为边AB、AC上的点,且满足(BM/MA)+(CN/NA)=1,证明:线段MN过△ABC的重心.分析我们知道,三角形的三条中线相交于一点,这个点称为三角形的重心.并且,重心把中线分成的两部分,从边的中点起到顶点止,两部分的比值为1/2.如图1,取BC的中点D,连结AD与MN的交点就是我们要证明的重心.只要作辅助平行线,应用平行线截线段成比例定理就能证明此题,知识和方法完全是初中课本中的内容.     

一道竞赛题的推广及应用

2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛第四大题是:设ai∈R ,i=1,2…,5.求a1a2 3a3 5a4 7a5 a2a3 3a4 5a5 7a1 … a5a1 3a2 5a3 7a4的最小值.本文笔者将给出这道试题的一个推广及应用.命题设xi>0(i=1,2,…,n),n∈N,n≥3,数列{λn}成正项等差数列,则x1λ1x2 λ2x3 … λn-1xn x2λ     

一道全国高中数学竞赛题的初中解法

<正>近日阅读探究了 2021年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题,发现填空题第5题可用初中平面几何知识和方法解答,在此与广大师生分享.1试题呈现和分析题目在△ABC 中,AB=1,AC=2,BC=120°,则△ABC的面积为______.分析 (1)参考答案中应用了正弦定理、两角和与差的三角函数、二倍角公式和三角形面积公式 S_(△ABC)=1/2AB·AC sin A,对三角知识和方法的考查比较全面深入,体现了试题的综合性.     

一道初中数学竞赛题的推广

1998年平江初中数学竞赛中有这样一道题：“48根火柴分成三堆，从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆；又从第三堆火柴中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，三堆火柴就变成一样多问原来三堆各有多少根火柴？”我们将这道问题推广为：‘有火柴若干根，分成若干堆（至少两堆），从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆火柴中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆，如此继续，直到从最后一堆中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，各…     

一道竞赛题推广的简证

题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )…     

一道2007乌克兰竞赛题的推广

文[1]在探究一道2007乌克兰竞赛题提出如下猜想:设a、b、c>0,且abc≥1,则有n3(an an-1 …a 1)(bn bn-1 … b 1)(cn cn-1 … c 1)≥(n 1)3(an-1 … a 1)(bn-1 … b 1)(cn-1 … c 1).本文将得到:定理若Πmi=1xi≥1,xi>0,3≤m,2≤n,i,m,n∈N ,则有nmΠmi=1(xin xni-1 …xi 1)≥(n 1)miΠ=m1(xin-1 …xi 1).证明考虑函数F(x)=n2 n1(1-xn 1)-(1-xn)(1 x)=nn -11(1-xn 1)-x xn(x>0),当0F(1)=0;当x>1时,(n-1)xn-1>xn-2 … x 1(共n-1项),F′(x)<0,F(x)是减函数,F(x)相似文献