分析结论 巧妙证明

题设n∈N且n≥3。试证明 2~(n(n+1))/2>(n+1)! 该不等式如果采用数学归纳法证明,其过程较繁杂,若仔细分析所证结论,不等式左边的指数中底数为2,联想到二项式定理推得的组合公式2~n=C_n~0+C_n~1+…+C_n~n>C_n~0+C_n~1=1+n。即2~n>n+1(n∈N 且n>1),就可使问题迎刃而解。     

有关组合问题的几个公式

我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1 C_n~2 C_n~3 … C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1) 1 证明:C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n-(C_n~1 C_n~2 C_3~n … C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n 1=(n-2)2~(n-1) 1     

二项式的一个新展开式

大家知道,二项式(1+x)~n可以按x的非负整数次幂展开,即有 (1+x)~n=C_n~0+C_n~1x+C_n~2x~+…+C_n~nx~n其系数可以排成一个数字三角,它被称为杨辉三角。我们若将二项式(1+x)~n按1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2),…,x(x-1)(x-2)…(x-n+1)展开,有 (1+x)~0=1 (1+x)~1=1+x (1+x)~2=1+3x+x(x-1) (1+x)~3=1+7x+6x(x-1)+x(x-1)(x-2) ………………一般地 (1+x)~n=H_n~0+H_n~1x+H_n~2x(x-1)+…+H_n~nx(x-1)(x-2)…(x-n+1) (1) 显然,展开式的系数是唯一存在的。可以将系数排成如下数表: 和杨辉三角一样,数表1也有很多有趣的性质和广泛的用途。 (一) 性质性质1 通项公式     

与二项式系数有关问题的解题策略

<正>二项式定理是每年高考的必考内容,笔者研究了近几年有关二项式定理的高考试题.发现二项展开式系数问题占到了一定的比例,下面就二项展开式系数问题常见的题型及其解题方法归类如下.1.通项公式法求展开式的特定项(常数项、中间项、有理项、最大项等)及这些特定项的系数问题.是近年来各省市高考中二项式内容的热门题型,难     

二项式定理及二项式系数的性质

二项式定理及二项式系数的性质湖南省浏阳市第九中学谢世裕［基本概念］１·二项式定理是在学生熟悉乘法公式和组合数性质的基础上提出的重要定理．这个公式即为二项式定理，右边的多项式叫做（ａ十ｂ）ｎ的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数．２．（ａ＋ｂ）ｎ的二项...     

关于“二项式定理”的教学探讨

二项式定理是继排列组合之后的代数中最后一个教学内容,尽管它的教学时数不多,但对呼应前后知识,发展学生的综合能力都有不可忽视的地位。一、二项式定理的教学建议二项式定理是探究(a b)~n(n∈N)的展开式中各项的系数、指数、项数规律的一个重要定理。教学的基本要求是:1°。熟练地掌握二项式的n次方的展开;2°。能正确地分析条件,利用通项公式求适合条件的某特定项;3°。掌握二项展开式系数的性质,为此教学步骤大致可分如下三个层次: 1 首先引导学生观察熟悉的(a b)~2、(a b)~3、…的展开式,设法从特殊状态来归纳、猜想一般性结论,并引入杨辉三角形,在此基础上再用数学归纳法证明二项式定理。 2 探讨、归纳(a b)~n展开式的规律。(1)     

关于二项式定理方面的一个问题

求形如(ax+by)~n(其中n自然数,a、b是正数)展开式中系数最大的项的问题,许多同学常常会根据二项展开式的性质2,不加思考地脱口说出:当n是偶数时,展开式的中间一项的系数最大;当n是奇数时,中间两项系数相同并     

二项式展开式迭加的应用

将二项式(a b)~n和(a-b)~n展开后“迭加”,可得 (a b)~n (a-b)~n =2(C_n~0a~n C_n~2a~(n-2)b~2 C_n~4a~(n-4)b~4 …)此式有以下特点: 1 右边字母b的指数为偶数; 2 n为偶数时,右边a、b的指数都是偶数:     

二项式定理试题的几种常见题型

二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数、各项中的指数等方面的联系,二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一,考查题型主要是选择题和填空题,多为容易题.本文以高考题为例,对其进行分类与解析,简述如下: 一、求展开式的某一项的系数 1.(α b)n(n∈N)型 例1 在(3-x)7的展开式中,x5的系数是_(用数字作答).(1994全国高考题) 解由通项公式得     

排列、组合和概率排列、组合和概率

1　本单元重、难点分析本单元重点知识有排列与组合、二项式系数、等可能性事件、互斥事件、对立事件与相互独立事件等概念 ;排列数与组合数公式 ,二项式定理及其通项公式 ,各类事件的概率计算公式 ;组合数的性质及二项式系数的性质等 .求解排列组合问题的重要方法有分类求和、逆向思考、先选后排、特元优先、捆绑法、插空法、枚举法及二项展开式中的赋值法等 .本单元难点是关于排列、组合与概率的应用问题、二项式定理的应用、含排列数或组合数的证明或求解等 .学好本单元知识 ,对解决一些实际问题的计算以及对进一步学习概率与统计等内容…     

数学竞赛中的二项式问题

可能是考虑到教学进度的原因 ,在国内的中学生数学竞赛中 ,与二项式有关的试题比较少 ,但也时有出现 .还有些竞赛题虽不明显属于二项式的范围 ,但运用二项式定理可以巧妙地加以解决 .对于二项式定理 ,应熟练掌握以下三个方面的内容 :1) (a +b) n(n∈N )的展开式的通项公式为Tr+ 1 =Crnan-rbr.2 ) (a +b) n=∑nr =0Crnan -rbr 的逆向应用 .3)二项式系数的两个性质 .构造二项式解题 ,是对二项式定理高层次的应用 ,关键在于发现所给问题与二项式的联系 ,常用于组合数求和、不等式证明、数的整除性、判断数的特征等 .例 1　已知 ( 3 x + 2x) n…     

二项式系数的若干性质

本文准备从三个不同的方面,推证出二项展开式系数的若干性质. (一) 在统编教材中讲述了二项式公式(a+b)~(?),并且有选择地令a、b的值代入公式,得到关于二项展开式系数的一系列性质.例如证明,c_n~0+c_n~2+…     

复数在二项式定理中的妙用

<正>赋值法是二项式定理中的一种重要解题方法,教材通过将(a+b)n中的a,b赋值为±1,得到奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和的重要结论.而复数,作为实数系的扩充,若像实数一样参与二项式的运算会产生怎样的效果?本文以一道联赛题的证明为例,展现复数在赋值法中的神奇作用,希望给同学们以启发.     

组合数列求和的一个方法

组合数列求和方法多样,独特灵活,不少文献均有介绍。这里笔者介绍一个易于为中学生所接受的初等方法,旨在启思创新,提高灵活运用数学知识解题的能力。§1 一个例子求C_2~2+C_3~2+C_4~2+…+C_n~2的值。思路分析:C_2~2是表示(1+x)~2展开式中x~2项的系数;C_3~2是表示(1+x)~3展开式中x~2项的系数;…;C_n~2是表示(1+z)~n展开式中x~2项的     

使用二项式定理的两点注意

二项式定理(a b)~n=C_N~0a~n C_n~1a~(n-1) b … C_n~nb~n有着广泛的应用,但使用它应注意两点: 1.n∈N时公式才成立,才有通项。 2.若公式变形为,则此式成立的条件是n∈N且n≥r-1。解题时若不注意以上两点而盲目使用二项式定理,就会发生错误。     

组合总数公式的证法与意义

统编高中《数学》第三册P.152利用二项式定理证明了组合总数公式 C_n~0+C_n~1+C_n~2+…+C_n~n=2~n,(*)这是一个应用广泛的式子.为了帮助学生更好地理解和掌握它,教学时,我们另给出了一种新证     

二项式系数和Gauss系数

二项式系数和Ｇａｕｓｓ系数万哲先（中国科学院）二项式系数和Ｇａｕｓｓ系数在数学中有广泛的应用．本文先介绍二项式系数和它的性质，然后用类比的万法讨论了Ｇａｕｓｓ系数和它的性质．第一章二项式系数１．１二项式系数的定义和它的组合意义定义１．１设。和ｎ都是非...     

盘点二项式定理的应用

<正>二项式定理有关知识是高考必考内容之一,本文就这部分的典型考题进行分析,希望对同学们的学习有所帮助.一、求二项式展开式中特定项及相关量在二项展开式中,有时存在一些特殊的项(如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等),这些特殊项的求解,主要是利用二项展开式的通项公     

一道习题的多种证法

在高中课本中有这样一道习题:证明:C_n~1+2C_n~2+3C_n~3…+nC_u~n=n·2~(n-1)。本文给出它的七种不同的证明方法,这些证法从不同的侧面代表了数列求和的一般途径,对同学们或许有所启发。     

“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计及课堂实录——人教A版数学选修2-3第1章第3节第2课时

1教材背景分析1.1教材的地位和作用《杨辉三角与二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容.教科书将二项式系数性质的讨论与杨辉三角结合起来,是因为杨辉三角蕴含了丰富的内容,由它可以直观看出二项式系数的