解方程(2+(2+(2+X)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2所想到的

探求方程(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2殊解法时,联想到方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与力程x=(a±x)~(1/2)是否等价的问题。如果结论成立,则x=1/2((4a+1)~(1/2))±1)就是方程 (a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x的根,这样不仅可使这种形式的方程有了较为简捷的求解公式,而且也为形如(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=b的方程提供了一种极为简便的解法。事实上,若a>0,x>0,则     

倍边公式的簡化形式

学生在求边数倍增的圓內接正多边形的边长时,宁可采取別的方法,却很少运用現成的倍边公式。高中平面几何課本中关于圓的內接正多边形的倍边公式是这样給出的: a_(2n)=(2R~2-R(4R~2-a_n~2)~(1/2))~(1/2) (1)如果将(1)式根据代数上所讲的公式(a-b~(1/2))~(1/2)== ((a (a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)-((a (a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)进行变换,可变成a_(2n)=R((1 ((a_n)/2R))~(1/2)-(1-((a_n)/2R))~(1/2)) (2) (2)式和(1)式比較起来,不但形式簡单,便于記忆;而且由于(2)式比(1)式少了一层开方运算,也容     

算術運算定律在恒等式變形中的應用

高年级学生在代数变形中所犯的错误,有许多情形都是说明学生对于算术运算定律的忽视. 例如下列约分:(2a~2b+4c)/2=a~2b+4c;(a(a~2+b~2+b)~(1/2))/a=(a~2+b~2)~(1/2)+b等等     

函数域的双重根式扩域及素除子的密度

设K/F_q是整体函数域,l是与q互素的素数,ξ_1是K的固定代数闭包中的本原l次单位根.对于a,b∈K~*-(K~*)~l,本文主要讨论了根式扩域K(a~(1/2))与K(a~(1/l),(b~(1/l))的性质,利用Kummer理论给出了K(a~(1/l))/K与K(a~(1/l),b~(1/l))/K不是几何扩张的充要条件.当a,b是l-无关时,对于K的素除子P及对应的离散赋值环θ_P,利用这两类扩张的性质,通过分析a,b生成循环群(θ_P/P)~*的充要条件,本文明确给出了满足使得a,b生成循环群(θ_P/P)~*的全体素除子集合M_(a,b)的Dirichlet密度公式.     

方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a±x)~(1/2)=x等价吗?

《中学数学》1984年第三期刊登了题为“解方程、(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2所想到的”*一文,介绍了方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与方程x=(x±a)~(1/2)等价性的证明及其应用。读完此文后,颇受启发,但笔者总认为有点不同的看法,下面提出与同志们讨论,并兼与该文作者商榷。作者在“探求方程(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2的特殊解法时,联想到方程     

从X~(1/2)±y~(1/2)不叫共轭根式谈起

在一次听课中,听到一位初二代数老师在讲解根式除法运算时,提到x~(1/2)+y~(1/2)和x~(1/2)-y~(1/2)是一对共扼根式的说法。当时感到此说法似有不妥,因为x~(1/2)±y~(1/2)本来就不应叫做根式,而应叫做无理式。后来又偶尔从一本《中学数学复习资料》(江苏人民出版社,1979年5月版)中,看到对“根式”有这样一个定义:“根式(无理式)含有开方运算的代数式叫做根式。”以上这两个例子有个相同的观点,即“根式”和“无理式”是同一概念。既如此,那么它们的外延应该完全重合。事实并     

方程asinx+bcosx+c=0有解的条件及其应用

高级中学课本《代数》上册(必修)第236页中指出:形如asinx+bcosx=c的三角方程。可先在方程两边都除以(a~2+b~2)~(1/2),然后令cosθ=a/[(a~2+b~2)~(1/2)],sinθ=     

《“1984”趣题》的习题解答

1 证明∵(1·2·3…1984)~(1/1984)<1/1984 sum from k=1 to 1984 k=1/1984·(1984(1+1984))/2=1985/2, 上式两边1984次方,得 1984!<1985~(1984)·2~(-1984) 2 解∵ 1985能被5整除。又 1984~(1984)=(1985-1)~(1984)=1985~(1984)-C_(1984)~1·1985~(1983)+C_(1984)~2·1985~(198)~2+…-C_(1984)~(1983)·1985+1 ∴ 1984~(1984)除以5所得的余数是1。 3 证明由题设,得 l~2=a~2+b~2+c~2 且l>a l>b,l>c。∴l~(1984)=l~2、l~(1982)=(a~2+b~2+c~2)l~(1982)=a~2l~(1982)+b~2·l~(1982)+c~(2·1982)≥a~2·a~(1982)+b~2b~(1982)+c~2·c~(1982)=a~(1984)+b~(1984)+c~(1984) 4.证(k≥1)     

(((i~2+b~3)/2))～(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)～(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一种几何证法

我们知道,((a~2+b~2)/2)~(1/2)、(a+b)/2、(ab)~(1/2)、2/(1/a+1/b)(a>0、b>0)分别为a、b的平方平均数、算术平均数,几何平均数、调和平均数。不等式(a~2+b~2/2)~(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)为平均不等式最简单的情形,这里给出它的一种几何证法。因为a、b是给定的,以a+b为直径作圆如右图,BD=a、DC=b,过D作AD垂直于BC交圆于A,连OA、OB、AC,则OA=OB=OC=BC/2。而且有 1°.四个三角形ABC、ABD、AOD、ADC都是直角三角形,     

符号α～(1/n)究竟表示什么?

在中学数学教学中,对于新概念的介紹和新符号的使用,必須揭露其特点、肯定其意义。并且有时随着有关知識的扩充和发展,前面已經明确了的概念和符号,也应得到相应的扩充和发展。但在現用的高中代数課本中,符号a~(1/n)究竟表示什么?并沒有得到彻底的解决。这在讲过复数三角函数式开方的教师,大概都有同感。下面就来談談我們的意見。代数課本里在引入实数之前,介紹了方根以及方根的記号。关于方根的記法,課本里§7是这么写着:“a的n次方根,用符号a~(1/n)来表示,”下面接着就解释:“因为正数的偶次方根必須是两个相反的数,所以我們还規定,在a是正数,n是偶数的时候,符号a~(1/n)只表示两个方根里的汇的一个,而負的一个用符号—a~(1/n)表示”,也就是說,当a>0,n是偶数的时候,符号a~(1/n)表示的是算术根。在課本§15又写着:“式子a~(1/n)叫做根式,这里在n是奇数的时候,a可以是任何实数;在n是偶数的时候,a可以是任何正实数或者零”。这里只限定在实数范围之內,符号a~(1/n)的意义是肯定的,也就是說:     

关于asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(a+φ)中确定φ的简便方法

《中学数学》一九八四年第二期王存仁同志的“关于asina+bcosa=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+)中的确定”一文,谈了对新编高中数学教材第一册关于asina+bcosa=(a~2+b~2)~(1/2)sin(a+)中的确定的新结论的理解,并举实例进行说明,无疑是正确的,这个问题是在三角恒等变形中,学生应该很好掌握的一项基本技能,应加以重视。但学生在学习过程中,对辅助角的确定往往出错。本人在教学中,对辅助角的确定采用数形合一的方法,利用直角三角形去确定,颇受学生欢迎,方法是:     

证三角条件等式的一个技巧

证明三角条件等式有许多方法和技巧。下面举的例题一般书刊都是用“万能代换法”给出证明的。本文试图利用高中《代数》第一册课本中的公式asina bccsa=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ),     

高中代数的一个命题的推广及其应用

高中代数第二册112页第2题为; 设a≠b,比较代数式(a~4+b~4)·(a~2+b~2)与(a~2+b~2)~2的大小。运用比较法,作差,很容易得出结论:(a~4+b~4)·(a~2+b~2)>(a~2+b~2)~2,若将此不等式条件限制为a、b∈R~+,则又可得不等式:(a~4+b~4)/(a~2+b~2)>(a~2+b~2)/(a~2+b~2),由这个整齐、和谐的不等式,     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的辨析

(a~(1/2))2与(a~2)~(1/2)在二次根式中扮演着十分重要的角色,由于这两个二次根式的外表较相似,有些同学在运算中往往对它们产生了混淆,发生这样或那样的错误．下面谈谈这两个概念的区别与联系．     

注意椭圆参数方程{x=acosθ y=bsinθ}中参数θ的意义

题目 A、B为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)上的两点,O为中心,OA⊥OB;求1/OA+1/OB的南的最大值和最小值。错解化椭圆的普通方程为参数方程x=acosθ y=bsinθ (θ为参数) 设A、B两点的坐标分别(acosθ_1,bs nθ_1),(cosθ_2,bsinθ_2)。由OA⊥OB得θ_2+θ_1±π/2,则B点坐标为(±asinθ_1,bcosθ_1)。可证 1/(OA)~2+1/(OB)~2=(a~2+b~2)/a~2b~2。则有 (1/OA)+(1/OP)~2=(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(OA·OB) =(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(a~2b~2+(a~2-b~2)/2))~2sn~2θ_1     

三角函数在代数解题中的应用

有些代数问题,如用纯代数方法求解往往比较困难,但通过适当的换元,变成三角问题求解,不但可以简化书写过程,而且能使数量系明朗化,从而化难为易,找到解决问题的途经。代数问题进行三角代换,关键在于熟悉三角函数的性质和一些重要大系式。下面归类举例说明: 一形如x~2+y~2=1,x+y=1(x,y为正数),可设x=sina,y=cosa 或者x=sin~2a,y=cos~2a。例1 已知a~2+b~2=1,c~2+d~2=1,求证|2abd+(a~2-b~3)c|≤1 证明:因为 a~2+b~2=1,c~2+a~2=1,故可设=sina,则b=±cosa,又令C=sinβ,则d=±cosβ而有 |2abd+(a~2-b~2)c|=|2sina(±cosa)(±cosB)     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

关于图形面积性质的运用

图形面积的性质,具有丰富的内容。适当地运用图形面积的性质,来讨论中学数学中的某些问题,是提高教学质量的有效手段之一。 一 图形面积直观性的运用 图形面积具有鲜明的直观性,若能恰当地用来解释数学中的抽象公式慨念等,那将是非常有效的。 例如,在乘法公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2。     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

(a~2)~(1/2)与(a~(1/2))~2一样吗

二次根式(a~2)~(1|2)和((a~2)~(1|2))有什么区别吗?主要表现在下面三个方面: 1．读法不同．(a~2)~(1|2)读作根号a的平方,而((a~2)~(1|2)) 读作括号根号a括号的平方． 2．表示的意义不同．(a~2)~(1|2)是求a~2。的算术平方根． ((a~2)~(1|2))求的是a的算术平方根的平方．一个表示求一