罗巴切夫斯基幾何学的一种实現法——龐卡勒方法

今年是幾何學中的革命者,俄羅斯的偉大學者羅巴切夫斯墓逝世一百周年紀念,對於這樣一位劃時代的偉大學者的哲學思想、科學創造以及其深遠的後果都需要專著來加以詳細的介紹,我在此只想接觸到一個很狹的問題,即羅巴切夫斯基幾何學的實現法的問題。在實現法的方面,大學以上的讀者可以從微分幾何中的負定曲率曲面上的幾何去得到實現,也可以由射影幾何的方法在一圓內得到實現,為了中學水平的讀者的需要,我也曾在“幾何學通論”中作了粗略的介紹,現在不準備去重提,本文將介紹由法國數學家龎卡勒提出的一種實現法。什麼是實現問題呢?原來,歐幾裏得幾何學在兩千多年中曾被看作是唯一的幾何學,也就是被認為是反映客觀世界中的形的唯一的方法,這種幾何學有一系列的公理,由這系列的公理經過純邏輯的推演可以得出各種定理,這系列的公理所推演出的結果是不互相矛盾的,這一系列的公理是否足夠推演出我們一般書中的那些結果呢?從邏輯上看它們最初是不完全     

改進幾何作業批改方法的體驗——批改作業和課外輔導相結合

在中學裏,批改數學練習本,一般的說,目前還是一個存在的問題,特別是批改幾何練習本困難最多,問題最大,因此許多老師大多採取“全面檢閱,輪改抽查,重點批改,加强總結”等辦法,最近數學通報上又介紹了一種批改紙片上的習題的辦法(1955年2月號),這些方法,雖然都有着一定的優點,能節省老師們一定的時間和精力,使他們能更好地進行備課和學習,以及進修等工作,但根據目前學生的知識質量,學生的學習態度舆學習方法的情况來說,特別是對初中的學生青少年們來說,這些批改方法的實際效果和作用究竟有多大,還有值得研究的地方,我認為這些方法(包括全批全改在內)都有下列幾個共同的缺點: 1.不管全批全改也好,重點批改也好,輪改抽查也好,當練習本發給同學後,他們是否認     

空間幾何作圖的基礎

在平面幾何中,所有幾何作圖皆是實際的,也就是說,它們可以利用適當的工具,在平展的圖上得以實現,並且,這些工具本身包含了所對應的幾何圖形:直線(直尺)、圓(圓規)、垂直直線(帶直角的尺)等等作圖的可能性。利用適當工具的幾何作圖可能性的理論基礎,在各種情况下,是被關係於幾何圖形作圖的可作元素類的定義系統所规定。這樣,如果考慮到作為作圖工具的圓規和直尺,那么,這些作圖的形式被下述之定義系統所實观。如下元素是可作的:一 1)在作圖題中的所有已知元素;以及對於平面上的任意點(這些點對於作圖是必要的輔助元素)。 2)直線,如果它是由兩個可作點所確定的。 3)圓,如果它是由可作的半徑和中心所確定的。 4)兩個可作直線的交點。 (定義系統是引自(?)契特維茹痕((?))教授的論文《在中學立體幾何學中,幾     

極限與複數的教學總結

現用高中代數教科書是與教學大綱(草案)最不一致的一科,為提高教學質量而完成數學教師的任務,對教材的處理,是特別需要認真鑽研的,從上學年起我們互助組明確了這個問題,使我們對教材的掌握上,感到有些收穫,茲就代數課中的兩個進行教學比較困難的單元來談一談: 1、極限高二代數中的極限概念、是數學的基本概念之一,應用它來叙述關於循環小數,無限遞降等比數列,幾何課中圓周長和圓面積,以及圓柱、圓錐与球的表面積和體積等問題,在中學數學課中它是完全必要的一部份,但極限這一單元,在     

我對於代數學教程中關於近似计算法的一點意見

最近教師們在使用中等技術學校代數學教程時,發現下面幾個問題: (1) 在第二章“近似算法”中,存疑數字的定義不够確印嚴密; (2) 準確有效數字和存疑數字的兩個定義不相啣接; (3) 在第四章開平方的近似算法中違反前面自己所立的法則(乘法); (4) 還違反了自己所立的四捨五入法 這樣就使教師們和同學們發生疑難,為了更好的學習蘇聯,讓我把該書的主要精神指出,並對錯誤部分提出一些補充和修正意見;還希望大家提供意見,來解决在使用教材中所發生的疑難問題。 (一) 該書關於“近似算法”的主要精神,在結合四捨五入法提出準確有效數字的定義 (1) 該書首先介紹數的四捨五入法(§19)這是最好的近似數的記法,測量值的記法是和四捨五入法一致的,也以誤差不超過最精細單位的     

對代數學教程中近似算法的一點意見

作者在本文中举出(?)著,赵根榕、張理京译代數學教程第二章“近似算法”及第四章“幂舆根”中所存在的一些問题並提出了修改的意見,我們在这里特別指出作者在本文中所提出的準確有效數字的定義的修改意見与原書有着原则上的分歧,原書的定義是按四舍五入法的標准来确定一个近似数的有效數字的,四捨五入法是最好的近似数的記法,在中等技術學校里把計算和测量的结果按四捨五入法记錄下來這個規則介紹給學生對於养成學生的优良習慣來說是十分必要的。结合四捨五入法的規則來下準確有效數字的定義是有根据的。作者認為在實践中近似数可以採用四捨五入的記法,但在理論上準確有效数字不能以四捨五入的記法作為判斷的準繩,所以作者另下定義,這是和原書精神不一致的。 關於有效數字的定義,有規定以不超過近似数的最末位上半个單位為標準的(例如(?)的书),亦有規定以不超過最末一位上一个單位為標準的,也有兩種都採用的(例如(?)的近似计算法,但該書特别指出按四捨五入法記成的近似數,它的有效數字的定義是以下超過最末位上的半個單位為標準的)。闵乃大先生在近似數誤差分析(數學通報1954年10,11,12月號)一文則把符合第一種定義的数字稱為準確有效數字而把符合第二種定義的數字稱為可靠數字以示區別。究竟应該把那一種有效数字的定義介紹給中等技術學校的學生或者把兩種都介紹給學生的問题,我們希望有關讀者能展開討論,好有所决定。     

我如何講解初中平面幾何的軌跡問题

一般而言,初中平面幾何中軌跡部分的教學,大家都感到比較困難,學生也以為比較難以理解舆接受。許多同志在這方面已經介紹過很多的寶貴的經驗。現在,我把我在教學中關於軌跡問題的一些體會談談,是否正確,希望大家来討論。我從下列各方面來研究這個問題: (一) 為什麽對軌跡的教學會感到困難? 我想有這樣幾個原因:第一、是舊教學思想的影響。因為舊教學本質上就是唯心的、脫離實際的、生硬的、教條式的,當教師教軌跡時,開始就搬上一大套生硬的名詞及定義,而且還强調軌     

關閉撓曲線的全曲率

<正> §1.引言.大家知道,微分幾何學所討論的一般是關於圖形的局部性質.但是這些局部性質與圖形的整個性質間常存在有某些關係.討論圖形的整個性質的微分幾何學叫做整體性的.關於整體性微分幾何學有這樣的一個著名定理:設一關閉撓曲線C     

在立体幾何第一章教學中理論与實際相聯系的一些經驗

本文不準備論述“理論舆實際相聯系”這一原則在教學中的意義,因爲這已爲每個教師所公認的真理,本文亦非專事教學方法的介紹,它所追求的目的,僅在於介紹作者在教學實踐當中,曾經作到,而且主觀認為行之有效的一些具體材料,作為講述該章教材之同志們的參考,我將依着教材順序,以單元爲段落,分別介紹如下: 第一單元平面位置的確定。本單元由第二節至第四節之目的,在於使學生明確平面的概念及其基本性質,由此得出確定     

對許編“軌跡”一書的商榷

初等平面幾何的軌跡,在中學教學裹,一向被看成比較困難的部分,幾何課本對這一部分不可能講得很詳細,課外又沒有一本良好的參考书。最近開明書店出版了一本“軌跡”,是許莼舫先生根據多年教學經驗寫成的,不但替學生解决一部分困難,同時對教師也可能有一些幫助。     

在算術教學中怎樣培養學生們的注意力

在教學中,常常聽到教師們說:“學生不注意聽講”,“記憶力不强”,等等。然而教學中,教師是起主導作用的。既然這樣,問題的解决就不能不依靠教師的努力了。在凱洛夫所著教育學中,談到教學過程的概念時,有這樣一段話:“在掌握知識、技能、熟練技巧的過程中,是有意識地、有計劃地要使學生底認識力和才能,即他們的注意力、觀察力、記憶力、想像力和思考力能得到發展”(54頁),這裏明確的告訴我們,教師在使學生們掌握新的知識、技能、熟練技巧的同時,就要有意識的、有計劃的、使學生     

对於初二平面幾何全等三角形教學上的一些意見

全等三角形一章是學習平面幾何的基礎,學生在這階段學習的好壞,影響到以後的幾何學習,所以這一章在整個幾何學習中佔有相當重要的地位。因此,在這一章教學中,如何貫徹教學大綱的精神,充分發揮教材內在的思想性,從而教好學生,是一個很重要的問題。個人對這個問题正在進行學習,所以今天談不到向大家作報告,僅把個人初步學習的點滴認識,向同志們談談如有錯誤或不妥的地方,還請大家多多批評。 關於這個問題,我想分以下六部分來談: (I)本單元教學的目的首先,我們看看學生在學習本單元以前已具有那些幾何知識,然後結合本單元教材的中心內容,來考慮本單元教學目的,學生在學習本單元以前已具有的幾何知識,我個人分析起來有下面幾點:(1)概念方面,通過了線段與角的相等與不等的學習。懂得運用移形公理和重合法,懂得線段和角的四則運算及直線公理,以及其他有關角的一些概念等;(2)作圖方面,已能熟練地運用工具(直尺、三角尺、圓規、量角器等)書出直線、線段、角、角的平分線(用量角器)、垂線、圓     

指數函數的教学

中學数學教學大綱指定教師用36節課来講“指數函數舆對數”這項教材。據我們看來,其中應該用6-8節課研究指数函數。本來無可置疑地必須將函數的清晰概念講給學生,必須教會他們研究簡單函數(確定定義域,單調區間等)。繪製圖象,以及,反之,由圖象來判斷函數的性質(“看”圖象)等等。鑒於學生通曉函數依從關係的觀念和獲得研究函數的某些技能十分重要,數學教師應該在這方面利用教學大綱提供給他的所有可能。研究指數函數,就會講到下列幾點: 1.論證冪的許多純算術性質,並且立刻用圖象說明這些性質。這種論證可以使學生理解證明代數定理的可能和必要。(對於學生和教師忽略代數理論的問題,已經不只一次地在“数學教學”雜誌上談過了)。此外應該注意,我們在這裏需要複習算術裏關於談論真假分數的那一部分;特別是,真分數乘某数則使之變小等等。 2.在作指數函数的圖象時,學生再一次遇見曲線向直線逐漸逼近的情形(第一次是在Ⅷ     

在中等學校內序列及其極限的概念

1 在中等學校九年級內集合和序列的概念 1.衆所周知,在現代的數學內,集合概念有何等重大的意義,在中學初等數學的各部門內也經常地遇到這一概念,但是通常並不這樣來叫它而已,有些教師甚至極力避免使用術語“集合”,而在實際例題上闡明集合概念的意義,並在以後舆數學的其他基本概念以同等的權利來利用它。 據我們看來,這種情形之所以產生有兩個主要的原因: 1)在中學数學教學大綱和教科書裏沒有用到術語“集合”。 2)在中等學校內引入這一概念的教學法還未擬定。可由五年級開始,給學生舉集合的各種不同的實際例題,不要害怕術語“集合”這兩個字。集合的概念應該建立在八年級內詳細地被研究     

軌跡教法的經驗

圖形的運動變化,軌跡方法的應用,新教材是非常重視的。因為幾何教學的任務之一,就是對空間觀念的培養和發展學生空間的想像力,而“軌跡”就能幫助解决很多的問題,過去同學學習“軌跡”时,由於教師教法生硬、先講定義,以致同學感到“軌跡”太抽象,不易理解,因此我認為講解這一節時必须很好地體會教材,熟習教材,學習蘇聯先進教學方法,運用直觀教具并多舉同學日常生活所熟習的事例來講解。     

關於初中代數第一章(Ⅰ)的教學問題

(一)教學目的 這一部分的主要教學目的是使學生瞭解使用文字的便利,其次則應使學生熟練地掌握計算的程序,從而能够熟練地求出代數式的值。 學生在算術中對於文字符號的使用,雖已具有一定的某礎,但尚未臻十分熟練,而且使用文字符號究竟有什麼好處亦未透澈理解。因為使用文字來代替一般的數以研究數舆敷間的普遍關係乃是代數學的主要精神,所以在這一單元中,便應在講課時把這一點說得非常突出。在計算程序方面,關於加減乘除學生雖已熟悉,但再加入乘方的運算,其運算程序為何,對於學生還是一個新的東西,因而在講課中應該特別注意。 關於代數教學的整個的教學目的,已具見教學大綱代數部分的說明中,教師首先必須明確,但關於這點僅能在學習過程中逐步使學生明確,在教代數的開始,教師似可不必講給畢生。     

談談關於平面幾何中的“一定值”問题

平面幾何中有關“一定值”的問題,是同學感到困難的。初三、高一同學每遇到關於“一定值”的問題,班上只有極個別同學能獨立解出來,他們不知按題意分析,“一定值”是什麼,因此,摸不到問題的具體終結,無從下手解題,凡是碰到“一定值”一類的問題,總是老師講,學生聽,學生不能獨立發展這個知識,時間花了許多,費了許多力,結果不討好;我認為這原因主要在講解問題時,關於“一定值”意義,分析不夠,指示不夠,因而學生對“一定值”問題,感到摸不到頭腦。新編初中幾何93頁第13題:“等腰三角形底邊上的一點到兩腰距離之和是一定長(等於腰上的高),”書上在括弧內具體指出了問題的要求,但講解這問題時,若單純的按“等於腰上的高”囫圇吞棗的證下去,而對“一定長”為什麼是指“等於腰上的高”,不加以詳細分析、那便是為解題而解題,不能完成教學這個問題的主要目的,教學這個問題的主要目的,是為解關於“一     

我在批改數學作業中是怎樣摸索的

我批改數學作業曾走了不少彎路:開始是全收全改,結果整天爬在作業堆子裏,影響了備課舆學習,直接降低了教學質量,而作業也只能一般化的檢查,不能及時完全檢查出演算中細小的錯誤,使學生不能發覺自己的毛病,以錯為對,造成錯誤概念,同時批改的亦很草率,字跡不清,影響學生不認真地對待作業、降低了作業質量。 發掘這些缺點後,又改為全收抽改,這樣,雖減少了一些負担,還能督促學生及時完成作業,但照顧不全面,批改效率未能提高,不批改的作業也繳上來,發下去,增添了不必要的麻煩,遂又採用了輪流批改法,最初每天用點名册或用紙條寫出學生名字,在班上公佈,這樣,天天寫名字,唸名册,學生自習也得耽誤幾分鐘,而且往往     

幾何學

幾何學是數學科學的一部門,在這門科學中所研究的是物體的空間關係和形狀,以及現實的其他關係和形狀,這種關係和形狀就其結構而論是跟空間的關係和形狀相類似的。“幾何學”一詞在希臘文中按照字面是量地的意思,這名詞的來源可以從下面的話得到說明,這話相傳出於古希臘學者羅得島的歐德謨(公元前四世紀):“幾何學由埃及人開創,乃在土地的測量中發生,這種測量對於他們是必要的,因為尼羅河的泛濫經常把邊界冲掉。跟其他科學一樣,這門科學也從人類的需要發生,這是不足為怪的,任何生長起來的知識從不完善的狀態變為完善。它起源於感官的知覺,漸漸變為我     

希爾伯脫的“幾何學基礎”及其在問題的歷史發展中的地位

當我們研究幾何學的時候,最初如在中等學校所講授的一樣,在我們的認識中發生了獨創的思維世界,它很奇異地是現實的而同時又是幻想的。事實上,我們對直線、平面、幾何的體(例如,球)等等,給它們配上完全確定的性質來進行討論。但是,在什麼地方和在怎樣意義下,存在這樣方式的東西,使它們成為我們研究的對象呢?倒不是我們都知道,儘管我們來磨譬如說一塊金屬板的表面,由於在器具上和在動作本身上的不可避免的誤差,我們决不可能把它磨成“理想的平面”的形狀。不僅如此,非但不能達到理想地平的形狀,而且根據物質的原子構造,甚至要無限接近它都是不可能的,實際上,當我們要擴大所要求的精確度的時候,那末金屬板是在各別的原子上配列起來的,於是一般地談論它的表面,是沒有意義的。