浅谈黄金椭圆及黄金双曲线的性质

在初中我们称√5-1/2≈0．168为黄金分点，在解析几何中我们把离心率为√5-1/2的椭圆叫做黄金椭圆．同样我们也将离心率为√5＋1/2的双曲线称为黄金双曲线．黄金椭圆和双曲线的性质很多，本文先谈谈黄金椭圆的性质再类比黄金双曲线的性质，     

“黄金椭圆”与“黄金双曲线”微探

椭圆的离心率e∈（0,1）,当e=0＋√5-1/2=√5-1/2时的椭圆称为黄金椭圆,文[1]中叙述了几个优美的性质,由于双曲线的离心率e∈（1,＋∞）,     

“亚黄金双曲线”的若干性质

1引言文中给出了亚黄金双曲线的定义和6个性质,见本文性质1到性质6.文[2]给出了黄金双曲线的18个性质.笔者在教学之余通过探究,通过类比和联想,又得出了亚黄金双曲线的7个性质.为了以下性质探究的方便,在不影响亚黄金双曲线性质的条件下,做两点假设:第一,以双曲线的中心为原点,两焦点所在直线为x轴建立直角坐标系;第     

关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质

平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的：椭圆的焦距与长轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做椭圆的离心率．双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用ｅ表示,按抛...     

双曲线渐近线的一组有趣结论

本文介绍双曲线渐近线的几个有趣结论与应用,供同学们学习参考．不妨设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）,e是双曲线的离心率.     

关于双曲线的一个有趣结论

笔者研读文[1]后深受启发，对双曲线的性质也进行了研究，发现了一个有趣的结论，同时也得到了离心率为2的双曲线的一条独特性质，现将结果共享如下．     

一道双曲线错题引发的思考

在教学过程中发现了一道双曲线错题,分析验证题目出现错误的原因,在此过程中发现了一个有趣的结论,该结论可简化一些特定题目的求解运算.     

椭圆与双曲线的点离式方程及其应用

熟知,对于中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆或双曲线,当给定两个独立条件后,便可确定标准方程．因此,椭圆或双曲线的标准方程可由其离心率以及其上的一点确定．笔者对这一方程进行了研究,发现其形式十分优美,并且用其处理有关涉及到椭圆或双曲线的弦的问题时,显得很方便和简捷,     

有趣的“黄金双曲线”

众所周知，著名的“黄金分割法”揭示了一种最优美的线段比例关系，一般地，我们称√5-1/2(或√5 1/2)为“黄金分割比”，简称“黄金比”，在这里，我们约定离心率为√5-1/2的椭圆叫做“黄金椭圆”，离心率为√5 1/2的双曲线为“黄金双曲线”，黄金圆维曲线有许多有趣的性质，本文仅对黄金双曲线作些初步探索。     

基于双曲线渐近线的试题研究

双曲线的渐近线与离心率是双曲线的两个重要几何性质.高考中,常见一类既涉及双曲线渐近线又涉及离心率的试题,此类试题的求解往往需要关注双曲线的倾斜角、斜率,并结合双曲线的对称性,从中得到系数a,b,c的关系,由此可解得双曲线的离心率e.     

共焦点椭圆、双曲线的两个性质及应用

在求解一道共焦点的椭圆和双曲线的题目时,从离心率的视角展开了探究,发现了两个性质,并举例说明其应用.     

关于“黄金椭圆”性质的注记

文[1]中研究了一类离心率为√5-1/2的椭圆，将其称为“黄金椭圆”，并给出黄金椭圆的三个有趣性质．笔者经过研究后发现，黄金椭圆还具有如下的性质．     

离心率为2的双曲线的性质

1．问题的提出 在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷，其中解答题17题是这样的：如图（图略），设A（-2，0），B（2，0），直线l：X=1，点C在直线l上，动点P在直线BC上，且满足→AP·→AC=0．     

黄金双曲线的若干性质

开展黄金椭圆有关问题的研究,的确开扩了我们的视野,如文［１］．但若仅限于黄金椭圆,未免过于狭窄．其实,我们完全有理由定义黄金双曲线,而且通过类比联想,也可以发现黄金双曲线的若干性质．下面我们给出黄金双曲线的定义以及它的一些性质,至于证明,在建立坐标系...     

黄金双曲线的若干性质

文[1]给出了黄金椭圆的定义和性质.阅后很受启发,类似地,本文给出黄金双曲线的定义及性质.定义若双曲线x2a2-by22=1的离心率为黄金比的倒数(记w=52-1,e=ac=1w=5 2 1),则称双曲线为黄金双曲线.性质1黄金双曲线都具有方程x2-wy2=a2的形式.性质2在黄金双曲线中,任一焦点F和它距离较远的实轴的端点A以及虚轴的任一端点B所成的角∠FBA=90°.性质3在黄金双曲线中,虚轴是实轴和焦距的等比中项.性质4黄金双曲线的虚端点圆面积(就是以双曲线的中心为圆心,过虚轴端点的圆的面积,下类同)是实端点圆面积和焦点圆面积的等比中项.以上性质的证明比较容…     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

如何求双曲线的离心率

由于新课标降低了对双曲线的要求,双曲线中基本知识必然成为高考考查的热点,考查中常常涉及到双曲线基本量(a、b、c、e)之间的关系以及双曲线的渐近线,特别是双曲线的离心率,求双曲线离心率涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强,方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,能够体现双曲线解题的技巧与方法.下面通过具体例子分类解析如何求解双曲线的离心率.     

椭圆与双曲线焦点的完美统一

在椭圆双曲线中通常会遇到这样一类题目：求与某椭圆（或双曲线）同焦点且过某一点的椭圆（或双曲线）的标准方程．常规方法通常要求出焦点,根据焦点位置设出所求圆锥曲线方程的类型,然后联立方程组求解．本文介绍一个有关椭圆与双曲线焦点的结论,使椭圆与双曲线的统一更加完美．     

圆锥曲线的一个重要性质及应用

众所周知,圆锥曲线的离心率ｅ是用来刻画圆锥曲线形状的一个重要特征量,不同的圆锥曲线有着不同的离心率;椭圆型圆锥曲线　０＜ｅ＜１抛物线型圆锥曲线　ｅ＝１双曲线型圆锥曲线　ｅ＞１笔者通过研究发现,圆锥曲线还存在着一个与离心率ｅ相类似的重要性质;为了叙述方便,首先给出一个定义;定义１：过圆锥曲线内接三角形的三个顶点的三条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的切线三角形;定理：圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比记为△,则（Ⅰ）椭圆型圆锥曲线　０＜△＜２（Ⅱ）抛物线型圆锥曲线　△＝２（Ⅲ）双曲线…