初三代数第一学期期中自测题

A组题一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .一元二次方程的一般形式是 ,其中二次项为 ,一次项系数为 ,常数项为 .2 .4x2 +7=3x( 2x -1 )化为一般形式是 ,其中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .3 .方程 5x2 =0的根是 ;方程 2x2 -4=0的根是 ;方程 3 (x -1 ) 2 =9的根是 .4.方程x2 -2x -1 =0有的实数根 ;方程 4x2+4x+1 =0有的实数根 ;方程 3x2 -x +6=0有的实数根 .5 .一元二次方程x2 +3x -1 =0的两根之和为,两根之积为 ,以 5和 -3为根的一元方程是.6.方程 3x2 -3x +1 =0的根的情况是 ,方程-2x2 -x +5 0 =0的根的情况是 .7.在实数范围…     

函数的单调性在解题中的应用

函数的单调性是函数的重要性质之一 ,本文介绍它在解某些类型的数学题中的应用 .1　在方程问题中的应用例 1　 (北京市高一数学竞赛 ,1998年初赛 )试确定方程3ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 =12 0ｘ的解集 .解　记 ｆ(ｘ) =3 ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 ,　　　 ｇ(ｘ) =12 0ｘ .显然有ｘ >0 ,且有ｆ( 5 ) =ｇ( 5 ) ,即 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的一个根 .下面我们证明 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的唯一的一个根 .容易证明 ｆ(ｘ)在 ( 0 , ∞ )是增函数 ,ｇ(ｘ) 在 ( 0 , ∞ )是减函数 .若方程 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)除了 5以外还有另一根ｘ0 ,当ｘ0 >5时 ,…     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试数学试题

一、填空题 (本大题共 14题 ,每题 2分 ,满分 2 8分 )1.计算 :( 12 ) -2 =.2 .如果分式 ｘ + 3ｘ - 2 无意义 ,那么ｘ =.3.在张江高科技园区的上海超级计算中心内 ,被称为“神威 1”的计算机运算速度为每秒 384 0 0 0 0 0 0 0 0 0次 ,这个速度用科学记数法表示为每秒次 .4 .方程 2ｘ2 - 1=ｘ的根是 .5.抛物线 ｙ =ｘ2 - 6ｘ + 3的顶点坐标是 .6 .如果 ｆ(ｘ) =ｋｘ ,ｆ( 2 ) =- 4,那么ｋ =.7.在方程ｘ2 + 1ｘ2 - 3ｘ=3ｘ - 4中 ,如果设 ｙ =ｘ2- 3ｘ ,那么原方程可化为关于ｙ的整式方程是.8.某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额…     

一类特殊方程的解法

第九届“希望杯”全国数学竞赛中有这样一道试题 :设α ,β分别为方程ｌｏｇ2 ｘ ｘ - 3=0和 2 ｘ ｘ -3=0的根 ,则α β =.现解答如下 .解法 1　 (观察法 )显见 1为后一方程的一根 ,又ｆ(ｘ) =2 ｘ ｘ - 3是增函数 ,则 1为后一方程的唯一实根 ,即 β =1.类似得α =2 ,则α β =3.解法 2　 (代入法 )由α为前一方程的根可得ｌｏｇ2 α α - 3=0 ,2 3-α=α ,则 2 3-α ( 3-α) - 3=0 ,即 3-α为后一方程的根 .由解法一知后一方程实根唯一 ,∴ β =3-α ,所以α β =3.图 1　解法 3图解法 3　 (图象法 )在同一坐标系中作出三个函数①ｙ …     

一元二次方程根的判别式应用举例

初中数学中一元二次方程根的判别式的应用相当广泛 ,为使同学们在复习中系统地掌握其应用 ,现将它们归纳如下 ,供同学们参考 .应用一 :不解方程 ,判断方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 ( 3ｘ - 5) (ｘ - 3 ) =1 0的根的情况 .解 :整理原方程 ,得　　　 3ｘ2 - 1 4ｘ + 5=0 .∵△ =( - 1 4 ) 2 - 4× 3× 5>0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ时 ,方程一定要化为一般形式ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) .应用二 :确定方程 (组 )中未知字母的取值或取值范围例 2　ｍ取何值时 ,方程 ( 2ｘ - 2 ) (ｘ - 2 ) =ｍ无…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

本文中|A|表示集合A的元素个数.1设P(x)=x~3-3x 1.求一个多项式Q(x),使得Q(x)的根是P(x)的根的5次幂.解设a,b,c是P(x)的根.由根与系数的关系,有依题意知,Q(x)=(x-a5)(x-b5)(x-c5)=x3-(a5 b5 c5)x2 (a5b5 a5c5 b5c5)x-a5b5c5=x3-S5x2 T5x 1.这里S5=a5 b5 c5,T5=a5b5 b5c5 c5a5.对于正整数n,令Sn=an bn cn,则有T5=21(S52-S10),所以要求Q(x),只需求出S5与S10.∵S1=a b c=0,S2=(a b c)2-2(ab bc ca)=6.又a,b,c是方程x3=3x-1的根,所以a3=3a-1,b3=3b-1,c3=3c-1,由此易得Sn 3=3Sn 1-Sn(n≥1),∴S3=3(a b c)-3=-3,S4=3×S2-S1=3×6-0=18…     

判别式的应用

判别式的应用相当广泛 .为使同学们更系统地掌握其应用 ,这里将它归纳一下 ,供参考 .一、不解方程 ,判定方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 5x(x-2 ) =3的根的情况 .解 :整理原方程 ,得 5x2 -1 0x-3 =0 .∵Δ =( -1 0 ) 2 -4× 5× ( -3 ) >0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式Δ =b2 -4ac时 ,方程一定要化为一般形式 .二、根据方程根的存在情况确定未知数的取值或取值范围例 2　方程 2x2 -5x =m -4无实根 ,求m的取值范围 .解 :整理原方程 ,得 2x2 -5x +4 -m =0 .∵原方程无实根 ,∴Δ <0 ,即 ( -5 ) 2 -4× 2 ( 4 -m) <0 .…     

保加利亚教育科学部第50届数学奥林匹克试题(待续)

1　已知数列 {ａｎ}适合ａ0 =4 ,ａ1=2 2 ,且ａｎ- 6ａｎ - 1 ａｎ - 2 =0 (ｎ≥ 2 ) ,证明 :存在两个正整数数列 {ｘｎ}和 { ｙｎ}满足ａｎ=ｙ2 ｎ 7ｘｎ- ｙｎ(ｎ≥ 0 ) .解　 [方法 1]由特征方程ｘ2 - 6ｘ 1=0 ,求其特征根为 3± 2 2 ,应用待定系数法 ,求其通项公式ａｎ=8 5 24 (3 2 2 ) ｎ 8- 5 24 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .取 ｙ0 =1,ｙ1=9,ｙｎ=6 ｙｎ - 1- ｙｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) .用求ａｎ 同样的方法可求得ｙｎ=2 324 (3 2 2 ) ｎ 2 - 324 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .令ａ- 1=2 ,则 ｙ20 7=8=ａ- 1ａ0 且可证ｙ2 ｎ 7=ａｎ -…     

初三代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .若关于ｘ的方程 (ｍ -2 ) 2 ｘ2 +(2ｍ +1 )ｘ +1 =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是 (　 ) .Ａ .ｍ≤ 34　　　　　　Ｂ .ｍ <34Ｃ .ｍ≥ 34且ｍ≠ 2　Ｄ .ｍ >34且ｍ≠ 22 .在一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )中 ,若ａ与ｃ异号 ,则方程 (　 ) .Ａ .有两个相等的实数根Ｂ .有两个不相等的实数根Ｃ .没有实数根Ｄ .根的情况无法确定3 .若解分式方程 2ｘｘ +1 -ｍ +1ｘ2 +ｘ=ｘ +1ｘ 产生增根 ,则ｍ的值是 (　 ) .Ａ . -1或 -2　Ｂ . -1或 2Ｃ . 1或 2　Ｄ .1或 -24.用换元法解方…     

世界各地数学奥林匹克竞赛试题摘编

1　 (第 2 3届全俄中学奥林匹克竞赛试题 ,11年级 )求方程 (x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y的整数解 .解　以下将证明方程(x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y (1)的解是 (- 4,5 ) ,(4,5 ) ,(- 1,0 ) ,(1,0 ) ,(- 4,3) ,(4,3) .设x ,y是满足方程 (1)的两个整数 .注意到 ,若 y <0 ,则 1+ 16 y <0 ,则 1+ 16 y不是一个完全平方数 ;若 (x ,y)就是 (1)的解 .不失一般性 ,可设x≥ 0 .情形 1:若x≥y ,可令x =y +a且a∈N .方程 (1)可改写为 :4a2 y2 + 4 (a3- 4) y +a4 - 1=0 .故 y是二次方程 4a2 X2 + 4 (a3- 4)X +a4 - 1=0的一个解 .此时Δ =16 (- 8a3+a2 + 16 ) ,则一…     

根值审敛法的几个推论

本文对正项级数收敛性的根值判别法进行了讨论 ,所得推论在判别某些正项级数的收敛性时更为方便。1 .根值审敛法根值审敛法 (柯西定理 )　设 ∑∞n=1un 为正项级数 ,如果它的一般项 un 的 n次根的极限等于 ρ,即limn→∞n un=ρ。则ρ<1时 ,级数收敛 ;ρ>1 (或 limn→∞n un=+∞ )级数发散 ;ρ=1级数可能收敛也可能发散。例　用根值审敛法判别级数 ∑∞n=1( 13 n -1 ) 2 n- 1的收敛性。解　n un =( 13 n -1 ) 2 n- 1n =( 13 n -1 ) 2 ( 3 n -1 ) 1n因为 limx→ +∞ ( 3 x -1 ) 1x =e　 limn→ +∞ln(3x-1)x =e　 limn→ +∞33x-1=e0 =1 ,所…     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

对2003年一道春季招生压轴题的三问

20 0 3年春季高考数学 (理工类 )的压轴题是 :设α ,β为ｘ2 -ｘ - 1 =0的根 ,且α >β ,令ｃｎ=αｎ- βｎ(ｎ∈Ｎ) ,1 )求ｃ1,ｃ2 ,ｃ3 ;2 )证明 :1α2ｎ -1+ 1α2ｎ>1ｃ2ｎ -1+ 1ｃ2ｎ;3)证明 :∑ｎｋ=11ｃｋ<α .读罢该题和看了参考答案后 ,产生以下三问 .1　ｃｎ 怎么求∵α ,β是方程ｘ2 -ｘ - 1 =0的根 ,∴α2 -α - 1 =0 .∴　　　αｎ-αｎ -1-αｎ -2 =0 ( 1 )同理　　　βｎ- βｎ -1- βｎ -2 =0 ( 2 )( 1 ) - ( 2 )得　αｎ- βｎ- (αｎ -1- βｎ -1) -(αｎ -2 - βｎ -2 ) =0 .即　　ｃｎ-ｃｎ-1-ｃｎ -2 =0 . ( 3)( 3)即是…     

初二代数第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .当x时 ,分式 13x -2 的值为正 ,当x时 ,分式 x2 -9x-3 的值为零 .2 .a2 x2 -2a2 xy a2 y2 分解因式的结果是.3 .x2 mx 1 6是一个完全平方式 ,则m的值是.4.当m =时 ,方程2mx 1m -x =2的根为 12 .5 .化简 a b-1a -b 2b -1b-a=.6.当a ,b满足条件时 ,方程 (a -b)x =a2 -b2 的解是x =a b.7.已知 x3 =y4=z5 ,则2x y-3zx y z =.8.已知 xx -1 xx 1 =Ax2 Bxx2 -1 ,则A =,B =.9.如果ab≠ 0 ,a2 ab -2b2 =0 ,那么2a -b2a b的值为 .1 0 .解方程 2xx -1 -1 =ax -1 时 ,能使方程产生增根的a的值是 .二、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .把多项式 4x -x2 -4分解因式 ,结果正确的是(　 ) .A . -x( 4 -x) -4　　　　B .4x -(x 2 ) (x-2 )C . -(x-2 ) ...     

运用方程根的定义解题例谈

灵活运用方程根的定义解题,常能化繁为简、化难为易,收到事半功倍的效果. 一、正用方程根的定义若x1、x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根,则有ax21 bx1 c=0,ax22 bx2 c=0. 例1 已知x1、x2是方程x2 3x-√5=0的两根,求x21-x22 4x1-2x2的值. 分析用求根公式解出两根,再代入求值     

特殊数列的求和

对于等差数列、等比数列的求和 ,可以用求和公式解决 .本文主要讨论某些特殊数列的求和问题 .1　分组求和法例 1求数列 7,77,777,…的前ｎ项和 .解　∵ａｎ =77… 7ｎ=7 7× 10 7× 10 2 … 7× 10 ｎ - 1=7( 1 10 10 2 … 10 ｎ - 1)=79( 10 ｎ- 1) ,∴Ｓｎ =79[( 10 - 1) ( 10 2 - 1) … ( 10 ｎ-1) ]=79[( 10 10 2 … 10 ｎ) - ( 1 1 … 1) ]=79[109( 10 ｎ- 1) -ｎ].推导自然数乘方公式 :12 2 2 32 … ｎ2 =16ｎ(ｎ 1) ( 2ｎ 1) ,也体现了分组求和的思想 .∵ (ｋ 1) 3-ｋ3=3ｋ2 3ｋ 1,∴∑ｎｋ =1[(ｋ 1) 3-ｋ3]=…     

一道初中数学竞赛题的简解

20 0 0年 4月 2日举行的全国初中数学联赛 (更名为数学活动创新能力评估 )试题二试( C卷 )第三题除了评分标答的解法外 ,还可用下面的方法来解答 .题　求所有的正整数 a、b、c,使得关于 x的方程 :　 x2 - 3ax 2 b =0 ,x2 - 3bx 2 c =0 ,x2 - 3cx 2 a =0的所有的根是正整数 .解　设方程 x2 - 3ax 2 b =0的两正整数根为 x1、x2 ,方程 x2 - 3bx 2 c=0的两正整数根为 x3 、x4 ,方程 x2 - 3cx 2 a =0的两正整数根为 x5、x6,由根与系数的关系 ,得　　 x1 x2 =3a,x1x2 =2 b,　　 x3 x4 =3b,x3 x4 =2 c,　　 x5 x6=3c,x5x6=2 a.由 …     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .关于x的方程 6mx2 +3nx +2 =0和 2 4mx2 +1 0nx+7=0有公共根是 12 ,则m =,n =.2 .关于x的二次三项式 (m -1 )x2 +4 (m -1 )x +2m +2是一个完全平方式 ,则m的值等于3 .若x1,x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则二次三项式ax2 +bx +c在实数范围内可分解为.4.已知方程 3x2 -4x =-1的两个根为x1,x2 ,不解方程 ,代数式 x2x21+x1x22=.5 .关于x的二次方程 (x+2 ) 2 =2 -n(n <5 )无实数根 ,则n的最大整数值是 .6.在平面直角坐标系内 ,已知点 ( 1 -2a ,a -2 )在第三象限 ,且a为整数 ,则a =.7.设P(x ,y)是平面直角坐标系中…     

等轴双曲线上三点构成正三角形的充要条件

1997年全国高中数学联赛一试第四题为 :设双曲线 xy =1的两支 C1、C2 ,正三角形PQR的三个顶点位于此双曲线上 ,求证 :P、Q、R不能都在双曲线的同一支上 .本文先给出赛题的几种证法 ,然后给出等轴双曲线上的三点构成正三角形的一个充要条件 .图 ( 1 )证法 1　假设 P、Q、R在双曲线 xy =1的同一支如 C1(如图 (1 ) )上 ,其坐标分别为 (x1,1x1)、(x2 ,1x2) ,(x3,1x3) ,不妨设 0 相似文献