花开双曲线 蝶落哪一支

问题源自一道常见的习题:已知P是双曲线x2/36-y2/64=1上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．(1)若|PF1|=14,则|PF2|= _____;(2)若|PF1|=3,则|PF2|=______．常见解法如下:     

一动点到两定点距离的和、差、积、商问题的系列探讨

<正>一、问题提出我们已知道:一动点M到两定点F_1、F_2距离之和|MF_1|+|MF_2|=2a(a>0).若2a=|F_1F_2|,则动点轨迹M为线段F_1F_2,若2a>|F_1F_2|,则动点轨迹为一个椭圆.一动点M到两定点F_1、F_2距离之差的绝对值||MF_1|-|MF_2||=2a(a>0).若2a=|F_1F_2|,则动点轨迹M为两条射线,若2a<|F_1F_2|,则动点轨迹为双曲线.一动点M到两定点F_1、F_2距离之积     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

关于循环环的理想、素理想和极大理想

研究了循环环R=的理想、素理想和极大理想的个数和结构,得到了如下结论:1)理想:(1)若|R|=∞,则R共有无穷多个理想:;(2)若|R|=n,设n的正因数个数为T(n),则R共有T(n)个理想:.2)素理想:(1)若|R|=∞,设a^2=ka(k≥0),①当k=0时,R的素理想只有R;②当k>0时,R的素理想共有无穷多个,它们是:{0}、R及;(2)若|R|=n>1,设a^2=ka,0≤k.3)极大理想:(1)若|R|=∞,则R有无限多个极大理想,它们是;(2)若|R|=n>1,设n的互不相同的素因数个数为ψ(n),则R共有ψ(n)个极大理想:(pa|p是n的素因数).     

用复数性质解题举隅

复数有许多的性质,如: ①|z|2=zz-;②若z1=z2则z1-=z2-,[z1|=|z2|;③z∈R z=z-;④若|z|=1则1=zz-等等.解答某些复数问题时,若能灵活运用这些性质,则常使问题获得巧妙简捷的解法,下面列举几个性质的应用供同学们参考. 1.用|z|2=zz- 例1 设复数z满足|z|=2,求|z2-z 4|的最值. 分析常规方法是设z=2(cosθ isinθ)代入,此法运算量大,不易解得.若利用|z|2=zz-=4代入并作适当的变形,则解法简便快捷.     

平移变换用于求区域面积

求解方程图形围成的区域的面积,是近年来各级数学竞赛中的常见题型,此类问题,大都由含绝对值符号的方程或不等式组成,直接讨论往往较繁.若注意到方程f[(x-a),(y-b)]=0平移变换为f(x,y)=0,其图形的几何性质不变,则讨论平移变换后的方程较为简单,下举几例,供同学们与直接作答比较. 例1 由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲     

Some Inequalities for the Polynomial with S-Fold Zeros at the Origin

Let p(z) be a polynomial of degree n, which has no zeros in |z|1,Dewan et al.[K.K.Dewan and Sunil Hans, Generalization of certain well known polynomial inequalities, J. Math. Anal. Appl.,363(2010),pp.38–41] established |zp'(z)+nβ/2p(z)≤n/2{(|β/2|+|1+β/2|)max|z|=1|p(z)|-(|1+β/2|-|β/2|)min|z|=1|p(z)|},for any|β|≤1 and |z|=1.In this paper we improve the above inequality for the polynomial which has no zeros in |z|k,k≥1,except s-fold zeros at the origin. Our results generalize certain well known polynomial inequalities.     

对一道题2007年联赛题的类比探究

2007年全国高中数学联赛一试第7题是:在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0)、B(1,-1)、C(0,3)、D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为_____.……     

2001年第四期初中数学问题解答

一、设f(x)=|x-p|+|x-15|+x-p-15|,其中01,b是正有理数,ab+a-b=22,则ab-a-b的值是多少?解:由ab+a-b=22两边平方得     

An inequality for polynomials with a prescribed zero

Let p_n(z)=∑_(k-0)~n a_kz~k be a polynomial of degree n such that |p_n(z)|≤M for |z|≤1. It is well.known that for 0≤u相似文献   

可用图象法求解的选择题

1.若M={x|sin|x|=1},N={x||sinx|=1},则M和N的关系是( )。 (A)M=N (B)MN (C)mV (D)M∩N=φ 2.己知f(x)为偶函数,且x>0时f(x)=x (1-x)则x<0时的表达式为( )。     

几类直接控制系统绝对稳定的充分及必要条件

其中A为n×n阶实的常矩阵,b≠0,c≠0均为n级常矢量,T表转置,特征方程|A-λE|=0的根的实部皆为负。     

平底锅不等式的两种类型

<正>2019年最新修订的高中数学人教B版教材中有一类有趣的绝对值函数,其图象比较有特点,本文对这类函数的图象特征进行总结,旨在利用结论可以使同学们方便地在图象中求解问题,而不需要分类讨论.1平底锅不等式的两种类型(1)锅型不等式形如y=|λx-a|+|λx-b|的函数,其图象如平底锅的锅身,如图1所示.1)锅底的两个拐点坐标分别为|λx-a|=0和|λx-b|=0的根;     

■,n的解的全局稳定性及其应用(Ⅱ)

<正> 这里所用的方法,亦是制定正方矩阵 A 的特征方程|A—λE|=0的根均有负实部的直接方法(不须展开即可判定,其他方法均须先展开,才能判定).     

绝对值几何意义的应用

我们知道 ,|x|的几何意义是表示数轴上点 (x)到原点的距离 ,由此 |x -a|的几何意义表示点 (x)到点 (a)的距离 ,同样 ,|x +a|的几何意义表示点 (x)到点 ( -a)的距离 .应用绝对值的几何意义去解含绝对值的一些题目 ,能使解题过程大为简化和直观 ,看下面几种题型的解法 .一、解绝对值方程例 1　解方程 |x -4 |+|x +1|=5 .解　由绝对值的几何意义知 :|x -4 |+|x +1|表示数轴上的点 (x)到点 ( 4 )的距离与点 (x)到点 ( -1)的距离之和 ,由图 1知点A( -1)与点B( 4 )之间的距离等于 5 ,当x为线段AB上的任一点P时 ,则P点到A、B两点的距离之和都为…     

关于Caratheodory不等式的注记

<正> 假设函数f(z)在圆盘|z|≤R上解析,M(r)为|f(z)|在圆周|z|=r(0≤r≤R)上的最大值,A(r)为f(z)的实部在|z|=r上的最大值,当0相似文献   

圆锥曲线中的常用方法

高考中 ,圆锥曲线解答题常作为把关题或压轴题 .定义法、待定系数法、参数法是解圆锥曲线题中不可忽视的三种方法 ,要努力提高应用这三种方法解决圆锥曲线问题的意识和能力 .1　定义法例 1　△ＡＢＣ的三边ａ >ｂ>ｃ成等差数列 ,Ａ ,Ｃ两点的坐标分别是 (- 1,0 ) ,(1,0 ) ,求顶点Ｂ的轨迹 .解　设Ｂ点的坐标为 (ｘ ,ｙ) .∵ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列 .∴ａ +ｃ=2ｂ ,即 |ＢＣ|+|ＢＡ|=2 |ＡＣ|.∴ |ＢＣ|+|ＢＡ|=4 .根据椭圆的定义易知 ,点Ｂ的轨迹方程为ｘ24 +ｙ23=1.又∵ａ >ｂ >ｃ ,∴ａ >ｃ　即 |ＢＣ|>|ＡＢ|,∴ (ｘ - 1) 2 +ｙ2 >(ｘ +1) …     

对一道竞赛最值题的探究与思考

<正>题目△ABC中,已知|AB|=4,若|CA|=3^(1/2)|CB|,则△ABC面积的最大值为______.这是2014年福建省高一数学竞赛中的一道题目,试题内涵丰富,解法多样,给学生提供了一个施展才能的舞台,训练价值很大.1.解法探究思路1用边长表示△ABC的面积.     

从一题高考试题谈圆锥曲线的特征折线

1 真题再现(2011年安徽理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1解析 约束条件可化为{x+y≤1 x≥0 y≥0或{-x+y≤1 x＜0 y≥0或{x-y≤1,x≥0,y＜0,或 {-x-y≤1,x＜0,y＜0,其表示的平面区域如图1所示,作 x+2y=0l0:x+2y=0,平移l0至l位置, l图1则当l分别过(0,1),(0,-1)时,x+2y分别取最大值2和最小值-2,故选B.本题考查了绝对值不等式和线性规划知识,考查了学生的作图能力和转化能力,是容易题.题中牵涉到一个含绝对值的曲线|x-a|+|y-b | =r( r＞0),笔者发现函数|x-a|+|y-b|=r(r＞0)是一条折线,它与圆(x-aa)2+(y-b)2 =r2(r＞0)有着十分相似的图象和性质,例如:曲线(x-a) 2+(y-b)2 =r2(r＞0)是以(a,b)为圆心,直径为2r的圆;而曲线|x-a|+|y-b|=r( r＞0)则是以(a,b)为中心,对角线长2r,内接于圆的正方形.进而笔者猜测,是不是把所有的圆锥曲线方程中的平方改成绝对值后,就能得到与其类似的折线呢?笔者把改后的这一类折线称为圆锥曲线的特征折线.     

巧求一类复数模的最值

常遇到如下一类题型:已知复数|z+a+bi|=r,求|z+c+di|的最值(这里a,b,c,d,r为实常数)。这类题型有多种解法,而利用图象法解此类题,则显得直观形象,新颖巧妙。