公式sin~2α+cos~2α=1的巧用

sin2α+cos2α=1是一个重要的三角公式,某些三角函数的化简与求值问题,若能根据题目特点恰当应用它,常能迅速打通思路,使问题巧妙获解.下面列举几例,供读者赏析.     

活用sin~2α+cos~2α=1

ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α =1除了广泛用在化简三角恒等式、解直角三角形外 ,还可以灵活应用于解其他题型 .现举几例说明 .一、活用于证明平面几何等式图 1在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＣＤ是边ＡＢ上的高 ,求证 :1ＣＤ2 =1ＡＣ2 +1ＢＣ2 .证明　如图 1所示 ,∵　∠Ａ +∠Ｂ =90°,∴　ｓｉｎＢ =ｃｏｓＡ .∴　ｓｉｎ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ａ =ＣＤ2ＡＣ2 +ＣＤ2ＢＣ2 =1 .∴　 1ＡＣ2 +1ＢＣ2 =1ＣＤ2 .已知Ｐ是矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ上的一点 ,ＤＰ⊥ＡＣ ,ＰＭ⊥ＢＣ交ＢＣ于Ｍ ,ＰＮ⊥ＡＢ交ＡＢ于Ｎ .求证 :ＰＭ23 +ＰＮ23 =ＡＣ23 . ( 98加拿大中学生…     

公式sin^2α＋cos^2α=1的巧用

sin^2α＋cos^2α=1是一个重要的三角公式,某些三角函数的化简与求值问题,若能根据题目特点恰当应用它,常能迅速打通思路,使问题巧妙获解．下面列举几例,供读者赏析．     

巧用“1”妙解题

中国传统文化中,一有很多哲学意义,例如:一生二,二生三,三生万物,说明万事万物皆由一开始发生发展,而数学科学,也是从计数单位1开始,随着时间的推移,经过历史的变迁,已经逐渐的演绎成为一门严谨的,系统的科学,并且现在正从幕后走向台前,直接应用于生产与生活,而在数学解题教学中,笔者发现巧妙地构造1,可以给解题带来意想不到的惊喜.     

用(sinα±cosα)~2=1±2sinαcosα解题

由平方关系sin2α+cos2α=1不难得到(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.它揭示了sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα三者之间的密切关系,知其一必能求出另二.在一些解方程、求最值问题中,恰当运用此关系有助于简化运算、发现解题途径.例1已知sinα+cosα=1/5(0<α<π),求tanα的值.分析本题可先求出sinα-cosα的值,再和sinα+cosα=15联立方程组求出sinα,cosα     

巧用Sn＋1=a1＋qSn解题

《中学生数学》2010年4月（上）期刊登的文章《将Sn化为an解一类数列题》,对文中提出的问题2,此处给出另一种解法,并将命题加以拓展．     

巧用等轴双曲线uv=a~2解题

巧妙运用直角坐标系uov的等轴双曲线uv=a~2(a>0)解答某些数学题,新颖独特、实用简便。本文先介绍一个结论,然后从三个方面进行举例,期能起到抛砖引玉的作用。定理设a>0,则在直角坐标系uov内,两直线u+v=-2a、u+v=2a分别切双曲线uv=a~2于顶点A_1     

巧用“不妨设”解题

当题目中的一些元素之间的关系具有多种可能性,并且不同的可能性并不影响题目结论和多功能解题方法时,我们便可通过“不妨设”选择其中一种可能性解题.请看一些例子.例1求代数式的值.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x=|aa|+|bb|+|cc|+|aabb|+|aacc|+|bbcc|,求ax3+bx2+cx+1的值.分析:由已知可得a、b、c三数中有两个为正数,一个为负数,在x的表达式中a、b、c三数任意互换其中两个,原式不变,a、b、c具有同等地位,不失一般性,可不妨设a、b为正数,c为负数.解:由abc<0,a+b+c>0,得a、b、c中有两个正数,一个负数.在x的表达式中,不妨设a、b的正数…     

巧用“几何意义”解题

中学数学的许多代数问题都具有一定的几何意义。高三数学总复习中,若能有效地结合“几何意义”组织教学,不仅能使学生深化对基础知识的理解,还能沟通各科知识间的内在联     

巧用定比“λ”解题

对于定比“λ”的应用,我们一般只停留在求点的坐标或以“λ”为参数求轨迹的问题中,而实际上,它还可以解决许多比较繁难的题目。下文将归纳二类问题,以供大家参考。一、证明线段相等例1 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的切点为p的切线交渐近线于A,B二点。求证:P点必平分线段AB。证明:因双曲线渐近线方程为y=±(b/a)x,可设A(x~1,(b/a)x_1)、B(X_2,-(b/a)x_2)为切线与渐近线的二交点。再设P点分线段AB的定比为λ,且P点的     

例谈巧用“辅助圆”解题

在解题的过程中,往往会遇到一些看似与圆无缘的题目,但若能从题目中捕捉一些与圆有联系的信息,添加辅助圆,往往能使复杂问题变得简单,简单问题变得简洁,下面列举     

用“a-a=0”解题

a-a=0虽说是一个极其简单的恒等变形,但对一些具有某种特殊结构和数量关系的题,巧用这个变形,往往能收到意想不到的效果。下面举例加以说明。例1 夕!9自g:.二孚2,,'.'曰凡弓~ 解丫、,~1 .2'4订异下丫甲个;一r-万十二六-下十.".十 1气~二1州卜工一1,十劣- 诚 加二ad十汾一ab一崛十的 减 ~(动 记)十(a一e)(己     

巧用“ 中位线”,构架解题桥梁

三角形“中位线”的性质定理在几何求解题中的应用比较广泛,中考常考.在大多数题目中,“中位线”的组成,大多不是完整地表现出来,需要我们在解题时,能够抓住题目中的已知信息,补全三角形“中位线”的残缺部分,以此作为添加辅助的方法,构造解题桥梁,从而达到快速解题.下面试举几例,以示说明.     

巧用“虚根成对”定理解题举隅

高中代数课本下册(必修)第212页中证明了:实系数一元二次方程αx~2 bc c=0在复数集C中有两个根x=((-b±(-(b~2-4ac)i))~(1/2))/(2a)(b~2-4ac<0),这表明:实系数一元二次方程若有虚根,则虚根成对出现且共轭。不难将这一结论推广到实系数一元n(n∈N且n≥2)次方程的情形:实系数一元n(n     

巧用正四面体的“补形正方体”解题

一、正四面体的补形正方体的定义及其性质 在一个正方体的相对两个面上,取两条不共面的面对角线,再将这两条对角线的四个端点两两相连,便得到一个正四面体,我们称正方体为所得正四面体的补形正方体（如图1）．     

巧用“强化命题法”解题几例

某些特殊问题,直接难于寻求解答的方法,于是,变更命题,提出关于这类特殊问题的一般性命题,使原命题强化,反而易于找出解答的关键。这种通过对一般命题的研究而解决特殊问题的方法,我们称为强化命题法。对于某些特殊问题或用常法比较繁难的数学题,倘若我们用强化命题法来解,则往往可打破常规,巧辟捷径,从而使问题变繁为简、化难为易、迎刃而解。请看下面三例。     

例说巧用反比例函数“特定关系”解题

<正>反比例函数是初中数学三大函数之一,是每年中考的必考内容,往往借助函数图像,综合考察代数、几何知识.在日常学习中,如果注重积累,重视反思总结,借用一些规律性的知识,在解题中可能会有很大帮助,现举两例说明反比例函数特定关系的应用.     

妙用“0·x=0”解题

我们知道:不论x取何实数时,都有0·x=0恒成立,所以要使ax=b(x为变量,a,b为常数)对于任意实数x恒成立,必须有a=0,且b=0.在一些定值、定点、轨迹和求值等问题     

巧用“1”求最值

“1的代换法”是数学解题中的常用方法,特别是和基本不等式■(a>0,b>0)的结合在解决最值问题中有着重要的应用,应用时要牢记三个关键词:一正、二定、三相等.     

巧用“1”求最值

<正>在运用基本不等式求最值时,根据题中已知条件或代数式本身的特点,有时可通过"1"代换使所求式中出现和或积为定值,从而使问题能运用基本不等式来求解,其常见类型有以下四种:一、根据条件直接运用代换题目本身就有整式的值为1,此时可以直接应用,简单快捷.例1已知a,b为正数,且a+b=1,求(1