Introduzione a una storia e filosofia del calcolo infinitesimale

Riassunto Prendendo le mosse dai postulati della continuità della retta e del fascio—che vengono inizialmente richiamati e che stanno alla radice della definizione di limite, nel suo significato geometrico—e proposto il tema generale—che è quello di rilevare in essa e in ogni sua applicazione la presenza di una relazione di coordinazione o, se si vuole, di complementarità accanto a quella, fino ad oggi quasi esclusivamente riconosciuta di subordinazione—lo studio prosegue con una analisi, per quanto è possibile approfondita, della relazione intercorrente tracontinuità ediscontinuità, intese queste nel loro significato più primitivo e originale, che è poi quello che hanno sempre inteso tutti i pionieri del calcolo infinitesimale. Segmento e punto sono i due aspetti che abbiamo tenuto presenti, ben osservando che quanto di essi si diceva, tutto si sarebbe potuto ripetere, in maniera analoga. per ogni altra coppia: angolo piano-retta, superficie-solido, ecc. Dalla analisi è risultata la piena complementarità dei concetti di segmento e di punto, vale a dire la impensabilità dell'uno senza dell'altro, e quindi la loro antitesi e la loro analogia, sempre relative. Si inizia quindi unexcursus storico, in tre diverse direzioni: prima si rivolge al problema della derivazione, poi a quello della integrazione e infine a quello della relazione tra i due. Esso vuol essere soltanto indicativo del metodo con il quale intendiamo condurre la nostra ricerca.

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Résumé En partant des postulats de la continuité de la droite et du faisceau—qui sont rappelés au début et qui sont à la base de la définition de limite dans sa signification géométrique—et après avoir énoncé le thème général—qui est celui de relever dans la définition et dans chacune de ses applications la présence d'une relation de coordination ou, si l'on veut, de complémentarité à c?té de celle de subordination, qui a été jusqu'ici presque exclusivement reconnue—notre étude se poursuivra par l'analyse, autant que possible approfondie, de la relation qui existe entre ?continuité? et ?discontinuité? en entendant ces termes-ci selon leur signification plus primitive et originale, qui est d'ailleurs celle qu'ont toujours entendue tous les pionniers du calcul infinitésimal. ?Segment? et ?point? sont les deux aspects que nous avons envisagés, en faisant bien remarquer que ce que l'on disait à propos d'eux on aurait pu le répéter d'une fa?on analogue pour tous les autres couples: angle plan-droite, surface-solide…etc. De cette analyse il en est résulté la parfaite complémentarité des notions de segment et de point, c'est-à-dire l'impossibilité d'envisager l'un sans envisager aussi l'autre, et par conséquent leur antithèse et leur analogie, qui sont toujours relatives. Après quoi nous commen?ons un ?excursus? historique, en trois différentes directions: avant tout nous développons le problème de la dérivation, puis celui de l'intégration, puis finalement celui de la relation entre les deux. Cet ?excursus? ne prétend être qu'une simple indication de la méthode selon laquelle nous entendons effectuer notre recherche.

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Cfr. la Introduzione pp. 9–10.

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Cfr. l'Introduction, pp. 9–10.     

Una condizione di ergodicità per l’energia cinetica

Riassunto Si considera un sistema dinamico ooonomo ad un solo grado di libertà. Si semplifica la condizione di ergodicità di una variabile aleatoria e di tutte le funzioni di essa, data in un lavoro precedente da, B. Forte; questa nuova forma della condizione di ergodicità viene poi usata per stabilire a quale condizione necessaria e sufficiente deve soddisfare il potenziale della sollecitazione agente sul sistema perchè l’energia cinetica e tutte le funzioni di essa siano ergodiche.

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Résumé On considère un système dynamique à un degré de liberté. On simplifie la condition d’ergodicité d’une variable aléatoire et de toutes ses fonctions, donnée dans un travail précédent par B. Forte; ensuite on emploie cette nouvelle forme de la condition d’ergodicité pour établir à quelle condition nécessaire et suffisante doit satisfaire le potentielU du système pour que l’énergie cinétique et toutes ses fonctions soient ergodiques.

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Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Prodotti sghembi di insiemi e strutture di gruppo collegate

Riassunto Dati due insiemiG e Γ si considerano le coppie (a, α( cona∈G ed α ∈ Γ e per queste una legge di prodotto di tipo affatto generico. L'insieme dell (a, α) risulta allora un ?prodotto sghembo?G ⊗ Γ. Si dimostra che l'essereG ⊗ Γ un gruppo—con o senza l'aggiunta di ulteriori condizioni—porta all'esistenza di certi sottogruppi particolari inG⊗Γ; introduce delle strutture di gruppo inG e in Γ od in loro sottinsiemi; ed importa perG⊗Γ una scomposizione in prodotti di gruppi permutabili ed in ampliamenti di Schreier.

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Résumé étant donnés deux ensemblesG et Γ, on considère l'ensemble des couples (a, α) oùa∈G et α∈Γ et à propos de celles-ci une loi de produit, tout à fait générique. L'ensemble des (a, α) est alors un ?produit gauche?G⊗Γ. On démontre que, lorsqueG⊗Γ est un groupe (en ajoutant éventullement quelques autres hypothèses) on a les propriétés suivantes; enG⊗Γ existent certains sous-groupes; enG et en Γ, ou dans quelques luers sousensembles, on a des structures de groupe; le produit G⊗Γ peut être décomposé en produits de groupes permutables et en extensions de Schreier.

     

Sull’entropia di ordine α

Sommario Si propone per l’entropia di ordine α un sistema semplificato di assiomi, basato sull’assunzione di una definizione modificata dell’entropia condizionata. Il sistema tende in maniera continua al sistema classico per l’entropia diShannon.

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Résumé On propose pour l’entropie α un système simplifié d’axiomes, en s’appuyant sur une définition modifiée de l’entropie liée. Ce système tend d’une fa?on continue au système deShannon lorsque α→1.

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Lavoro eseguito per il C.N.R.—Gruppo di Ricerca n. 7. L’autore è grato al Prof.B. Forte per i suoi preziosi suggerimenti.     

Sulla classificazione delle curve algebriche sghembe in base alla determinazione di tutti i multilateri sghembi connessi per ogni ordine e genere

Riassunto In questa Nota si dà un metodo per ottenere il numero ed i tipi di multilateri sghembi di ordinen e generep dati, conn+p−1 vertici di connessione e che sono casi limite di curve algebriche sghembe irriducibili.

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Résumé Dans la prèsente Note on donne une méthode pour obtenir le nombre et les types des multilatères gauches d'ordren e de genrep donnés, ayantn+p−1 sommets de connexion, et qui sont des cas limites de courbes gauches algébriques irriductibles.

     

Algebre implicative

Sunto In questa nota si studiano certe algebre connesse con il calcolo implicativo classico e si dimostra per esse un teorema di rappresentazione.

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Sommaire Dans cette note on étudie des algèbres jointes au calcul implicatif classique et on démontre pour elles un théorème de représentation.

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Lavoro eseguito nell'ambito delle attività di ricerca del C.N.R. per l'anno 1967–1968.     

Sulla esistenza e sulla costruzione effettiva con la «piccola variazione» delle curve algebriche piane con assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale)

Riassunto Posta una condizione necessaria e sufficiente per la esistenza di assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale) per le cubiche piane, viene dato un procedimento per determinarli. Con il metodo della ?piccola variazione? si procede poi alla costruzione effettiva delle cubiche aventi assi di simmetria, obliqua (od ortogonale) e, per ogni tipo, viene data la corrispondente equazione.

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Résumé Ayant posé une condition nécessaire et suffisante pour l’existence des axes de symmétrie oblique (en particulier orthogonale) pour les cubiques plaines, on donne une nouvelle méthode pour les déterminer. Ensuite par la méthode de la ?petite variation? on procède à la construction réelle de tous les types de cubiques plaines ayant des axes de symmetrie oblique (ou orthogonale) et, pour chaque type, on donne l’équation correspondante.

     

Successioni regolari relative e ideali sizigetici

Riassunto Si utilizzano le successioni regolari relative strette per studiare i moduli di sizigie e i gruppi di omologia del complesso di KoszulK(f₁,…,f_n;A) di un sistema di elementif ₁,…,f _n appartenenti ad un anello commutativo con unitàA, estendendo, tra l'altro, un noto teorema diJ. P. Serre valido per le successioni regolari. Numerose applicazioni geometriche illustrano i risultati conseguiti.

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Résumé On utilise les suites regulières relatives strictes pour étudier les modules des syzygies et les groupes d'homologie du complex de KoszulK(f ₁,…,f_n;A) d'un systéme d'élémentsf ₁,…,f _n d'un anneau commutatif avec unitéA, généralisant un théorème bienc connu deJ. P. Serre valide pour les suites régulières. Nombreuses applications géométriques clarifient les résultats obtenus.

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La presente Nota riproduce fedelmente la prima di 3 conferenze, tenuta dall'autore il 12 giugno 1979 alla XVIII Session du Séminaire de Mathématique Supérieures de l'Université de Montréal.

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Lavoro eseguito nell'ambito della GNASAGA-CNR.     

Proprietà variazionali nelle guide d'onda anisotrope

Riassunto Il problema agli autovalori delle guide d'onda anisotrope viene ridotto ad un problema variazionale cui si aggiunge un'equazione nel parametro. Si dà un'interpretazione fisica di tale impostazione e si riconosce che non esiste per tali guide una frequenza critica. Nel caso della sezione circolare si dimostra l'esistenza di infiniti modi simmetrici.

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Résumé Le problème aux valeurs propres des guides d'onde anisotropes vient reduit à un problème variationnel au quel on ajoute une équation dans les paramètre. On donne une interprétation physique de telle impostation et on reconnait qu'il n'existe pas pour les guides anisotropes une fréquence critique. Dans le cas de la section circulaire on démontre l'existence d'infinis modes symmetriques.

     

Su quattro coppie di quadriedri associate a due triedri polari

Riassunto Si studia una coppia di triedri polari nella loro mutua posizione omologica e si introduce per mezzo della polarità assoluta e della polarità armonica, quattro coppie di quadriedri ad essi associati che riferiti all’uno o all’altro dei due triedri, assumono diversi significati.

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Résumé On étudie une couple de trièdres polaires dans leur mutuelle position homologique et l'on entroduit avec la polarité absolue et la polarité harmonique, quatre couples de quadrièdres, qui prennent une différente signification selon que nous les référons à l'un ou à l'autre des deux trièdres.

     

Costruzione per «piccola variazione» delle curve algebriche sghembe con l'ausilio delle loro secanti multiple

Riassunto Si procede alla costruzione effettiva per ?piccola variazione? delle curve algebriche sghembe dei primi ordini (n≤6) insieme alle loro secanti multiple, riuscendo cosè ad individuare, per ogni ordine e genere, le diverse famiglie della classificazione diHalphen-Nolther e le sottofamiglie caratterizzate dalle loro secanti multiple.

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Résumé On donne la construction effective, par le procédé de ?petite variation?, des courbes algebriques gauches, pour les ordresn≤6, en même temps que de leurs sécantes multiples, et on atteint ainsi, pour tout ordre et pour tout genre, les différentes familles de la classification deHalphen-Noether et les sous-familles qui sont caractérisées par les sécantes multiples.

     

Sull’ampiezza del segnale di un oscillatore a triodo debolmente non-lineare

Riassunto Si dimostra che i procedimenti seguiti nella tecnica per il calcolo dell’ampiezza del segnale generato da un oscillatore non lineare a triodo conducono agli stessi risultati forniti, in prima approssimazione e nell’ipotesi di debole non linearità, dai metodi della Meccanica non-lineare. Si esamina in seguito un caso particolare di qualche interesse pratico.

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Résumé On demontre que les procédés adoptés par les techniciens pour la calculation de l’amplitude du signal généré par un oscillateur non-linéaire à lampe triode, conduisent aux mêmes résultats que donnent, dans la prémière approximation, et dans l’hypothèse de faible non lineairité, les méthodes de la Mécanique non-linéaire. On étudie, ensuite, un cas particulier de quelque intérêt pratique.

     

Sulla esistenza e sulla costruzione effettiva con la «piccola variazione» delle curve algebriche piane con assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale)

Riassunto Dimostrati alcuni opportuni teoremi viene datoun metodo per la ricerca degli eventuali assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale) di una curva algebrica piana di ordinen, nota che sia la sua equazione cartesiana e, viceversa, con l'uso della ?piccola variazione? viene indicato un procedimento costruttivo atto a tracciare curve algebriche piane di ordinen, dotate di dati requisiti di simmetria ed un procedimento analitico per scriverne la relativa equazione.

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Résumé Après avoir démontré quelques thêorèmes utiles on donneune méthode pour la recherche des éventuels axes de symétrie oblique (en particulier de symétrie orthogonale) pour une courbe algébrique plane d'ordren, si l'on conna?t son équation carthésienne. Vice versa, à l'aide de la ?petite variation?, on donne quelques avisements opportuns pour procéder ensuite à la construction effective des courbes algébriques planes d'ordren, douées de certaines qualités de symétrie et un procédé analytique pour écrire l'équation relative.

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Nota III     

Sulla formula risolutiva di un particolare problema della magneto-idrodinamica

Riassunto Si presenta sotto una forma adatta all’interpretazione fisica la formula risolutiva di un problema trattato in un lavoro precedente e riguardante la mutua azione fra fenomeni magneto-idrodinamici e fenomeni acustici in un fluido compressibile ed elettricamente conduttore.

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Résumé On présente en forme apte à l’interprétation physique la formule résolutive d’un problème traité dans un travail précédent et concernant l’action mutuelle entre des phénomènes magneto-hydrodynamiques et des phénomènes acoustiques dans un fluide compressible et électriquement conducteur.

     

Sul principio esteso delle probabilità totali

Riassunto Data una funzione φ finitamente additiva in un reticolo ℜ relativamente complementato di sottoinsiemi di un insiemeS, viene studiato il problema, utile in questioni di Calcolo delle probabilità, di stabilire delle condizioni, da imporre al reticolo ℜ, che assicurino l’esistenza di un sotto-reticolo relativamente complementato ℜ′ di ℜ, tale che la restrizione di ℜ a ℜ′ sia numerabilmente additiva.

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Résumé Etant donnée une fonction réelle finitement additive dans un treillis ℜ d’ensembles relativement complémenté, nous étudions le problème, utile en Calcul des probabilités, d’établir des conditions sur la structure de ℜ, suffisantes à assurer l’existence d’un sous-treillis ℜ′ de ℜ relativement complémenté, tel que la restriction de φ à ℜ′ soit dénombrablement additive.

     

Nomografia anaglifica

Riassunto In questo articolo vengono presentati due nomogrammi che servono come sostegno per la rappresentazione di funzioni a più variabili. Ognuno di questi nomogrammi è costituito da due reticolati sovrapposti disegnati in due colori complementari. Essi vengono osservati attraverso le lenti di occhiali anaglifici colorate ciascuna in uno dei due colori dei reticolati. Le condizioni particolari del disegno sono state scelte allo scopo di ottenere la visione stereoscopica del medesimo. Ne segue che le coppie di punti corrispondenti dei reticolati vengono viste come punti unici sopraelevati dal piano del nomogramma di altezze che vengono misurate per mezzo di un indice mobile. Data la funzione (1)F(α₁, α₂..., α_n) din variabili indipendenti (α₁, α₂..., α_n) separate o separabili riportiamo le scale delle funzioni parziali che costituiscono la (1) su i lati inferiori e di destra dei due reticolati e poi misuriamo, per mezzo dell'indice mobile, le altezze dei punti stereoscopici, visti attraverso gli occhiali anaglifici, che corrispondono agli adatti valori delle funzioni parziali. Con questo metodo si possono rappresentare funzioni di 8 variabili indipendenti legate fra loro per mezzo di operazioni razionali e irrazionali.

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Résumé Cet article montre deux nomogrammes qui servent de support pour la représentation de fonctions à plusieurs variables. Chaque nomogramme est constitué de deux réseaux superposés, dessinés aux deux couleurs complémentaires, qui sont observés à travers les lentilles de lunettes anagliphiques. Les conditions particulières du dessin ont été choisies dans le but d'obtenir sa vision stéréoscopique. Il s'ensuit que chaque couple, des points correspondants des réseaux, est vu comme un point unique surélevé au dessus du plan du nomogramme par une hauteur mesurée à l'aide dun index mobile. Soit (1)F(α₁, α₂..., α_n) une fonction den variables indépendantes (α₁, α₂..., α_n) séparées ou séparables. Tran?ons les échelles des functions partielles qui costituent la (1) des deux parties du c?té inférieur et du c?té droit des deux réseaux. Après cela mesurons à l'aide de l'index mobile les hauteurs des points stéréoscopiques, vues à travers les lunettes, qui correspondent aux valeurs données des fonctions partielles. En se servant de cette méthode on peut représenter des fonctions de 8 variables indépendantes liées entre elles par des opérations rationnelles et irrationnelles.

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L. Bonfiglioli,Anaglyphic Calculating Apparatus, Photogrammetric Engineering, U.S.A. (In corso di stampa).     

Osservazioni sulle caratteristiche dei grafi o singrammi

Riassunto Si introducono certi gruppi di numeri associati ad un grafo o singrammaG che vengono chiamati caratteristiche diG. Si studiano alcune proprietà delle caratteristiche e se ne fanno applicazioni a vari problemi sui grafi.

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Résumé On introduit certains groupes de nombres qui sont associés à un grapheG et qu’on appelle caractéristiques deG. Ou étudie quelques proprietés des caractéristiques et on en fait des applications a divers problèmes sur les graphes.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Gruppo N. 26 del Comitato Naz. per la Mat. del C.N.R.     

Interpolation polyn?miale sur un ordre d’un corps de nombres

Résumé  Dans ce texte, nous introduisons des polyn?mes d’interpolation sur un ordre d’un corps de nombres qui généralisent les polyn?mes bin?miaux usuels. Comme application, on montre, en utilisant ces polyn?mes, qu’une fonction entière envoyant un ordre d’un corps de nombres dans l’anneau des entiers de ce corps et dont les croissances analytique et arithmétique sont faibles est un polyn?me, étendant ainsi au cas non discret les résultats antérieurs dans ce domaine.

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In this paper, we introduce interpolation polynomials on an order of a number field which generalize the usual binomial polynomials. As an application of these polynomials we prove that any entire function on an order of a number field with integer values in this field and which has slow analytic and arithmetic growth is a polynomial. This results extends earlier results in this area to the non discrete case.

     

Sulla classificazione delle curve algebriche sghembe in base alla determinazione di tutti I multilateri sghembi connessi per ogni ordine e genere

Riassunto In questa Nota viene continuato (per il caso din=7) lo studio dei multilateri sghembi di ordinen e generep dati, conn+p−1 vertici di connessione e che sono casi limite di curve algebriche sghembe irriducibili, studio già iniziato (pern≤6) in un precedente lavoro.

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Résumé Dans cette Note on continue (pour le casn=7) l’étude des multilatères gauches d’ordren et de genrep donnés, ayantn+p−1 sommets de connexion, et qui sont des cas limites de courbes, gauches algébriques irriductibles, étude déjà initiée (pourn≤6) dans un précédent travail.

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(Nota II)

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo di ricerca n. 26 del Comitato Nazionale per la Matematica del C.N.R. per l’anno accademico 1963–64.     

Sur le problème biologique héréditaire de deux espèces dévorante et dévorée

Sunto Ce mémoire apporte un complément aux travaux deM. Volterra sur les fluctuations biologiques et plus précisemént au Chapitre IV de son ouvrage ? Le?ons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie ?. J'étudie le cas héréditaire de deux espèces dévorante et dévorée, mais en introduisantdes termes d'amortissement —λN, celui relatif à l'espèce dévorée n'étant s?rement pas nul. Alors les fluctuations sontlimitées supérieurement et l'espèce dévorée a desvariations bornées; lorsqu'il n'y a pas d'état stationnaire la secondes'épuise; sinon elle admet aussi des variations bornées, et la loi des moyennes asymptotiques est alors valable au sens le plus général.