数理邏辑的簡单介紹

我国的讀者近来已越來越多地对数理邏輯发生兴趣了,这是一个很好的現象。它表明了我国大众已經开始重視这門重要的科学;从而将使这門科学在我們祖国的土地上开出光輝灿烂的花朵来。但是一般讀者每每詢問下列一連串問題:数理邏輯是怎样的一門科学?它研究什么?有什么主要內容?学习它时需要什么预备知識?有什么主要参考书?……这些問題如果得不到很好的回答,对数理邏輯的学习将受到不良的影响。本文的目的想介紹数理邏輯的主要內容,部分地回答上述各問題。由于数理邏輯內容的丰富,任何人想在一篇短文內加以介紹,势必掛一漏万。再由于作者水平不够,本文必然会詳略失宜甚至含有严重的錯誤。因此讀者必須用批判的眼光来閱读它,这样才可以不因本文可能出現的錯誤而受到影响。否則本文原来的目的不但沒有达到反而带來了流弊了。数理邏輯簡史数理邏輯的內容是非常丰富的,要介紹它真是不知从何說起。現在我們先从它的发展过程来說起吧。因为一件东西,无論多么复杂,如果能够从它的发展史来看,每每极易得出它的基本特性的。     

命題演算和某些邏輯推断方法的根据

在过去两千年的时期內,邏輯被应用来发展数学,但数学却没有被用来发展邏輯。仅仅在19世紀数学才开始渗透到邏輯中去,并产生了巨大的效果。由于应用数学方法于形式邏輯的問題,結果出現了一个新的科学部门——数理邏輯(或譯数学邏輯,下同——譯者注)。数学学科的演繹体系提出研究它們的邏輯結构,查明在这个体系中应用的邏輯方法的問題。邏輯推断方法的理論的研究即是数理邏輯的对象。在本文中只討論数理邏輯的最簡单的部分——命題演算。     

数理邏輯和自动化

建立以概念和命題为对象的字母演算的最早想法和尝試皆属于十七世紀著名的数学家和哲学家萊布尼茲(1646-1716)。根据这种邏輯演算的思想,他曾幻想有一天人們可以用計算去代替辯論。因而萊布尼茲设法使邏輯和計算結合起来,使邏輯代数化,把組合分析的思想灌輸到邏輯中去,即建立現在称为数理邏輯的这門科学。数理邏輯发展到今天已达高度完善的程度,并成为最主要的数学学科之一。数学基础和数理邏輯現在也几乎变为同义語了。今天任何一篇有关数学現状及其发展的途的較长的綜合性文章部首先要考察数学基础和数理邏輯。这很自然,因为一方面研究数理邏輯并不需要任何的数学預备知識,另方面数理邏輯对現代数学的所有各分支却是必不可少的,因为現代数理邏輯的研究对象是建立数学証明的方法和工具。現代的数理邏輯可定义为研究数学証明的科学。     

命題演算的初步介紹

数理邏輯是把数学方法应用于邏輯研究的产物。从它的历史看,是应数学的需要而产生的。在近二十余年来,由于自动化和計算技术发展的要求,数理邏輯在这方面以及其他一些技术領域中得到广泛的应用。在数理邏輯中,命題演算是最簡单的、最基本的一部分。     

对“算術”一書翻譯上的几点意見

我們感謝叶述武同志,用自己的辛勤劳动为我們翻譯了苏联师范学校用的算术教科書。由於它的叙述是那么詳尽,內容是那么丰富,完全可以預料,它將給我們的工作和学習帶来極大的帮助。不过,当我閱讀后,觉得該書譯得不大很恰当,我現在就主要感到的有这么几点:語言不够简練、准确,概念模糊,邏輯性不强,为了要說明这些問題,請讓我在下面举出些例子,並写出自己的意見,希望大家来研究。 1.語言不够簡練准确的: a.該書28頁8行中“自然数8叫做自然数5及3的和,但它們的和的从5及3的組成都叫做这些数的加。”     

“冪和方根”的教学

在这一部分內容以前的教材里,包括了下面几部分主要內容:1.有理数;2.有理式的恆等变形;3.一次方程,为了进一步学习二次或者更高次的方程,就必然涉及到开方問題和根式問题;同时,也必須涉及到实数問題。所以这部分教材、主要介紹了方根;把数的概念由有理数扩张到了实数;研究了根式的变形,从而完成了代数式的恆等变形。这一部分教材包括有:乘方、方根、实数和根式等四个单元。下面分四部分来談。     

略談几何証明的邏輯联系

中学几何的理論与初等邏輯(形式邏輯)紧密地联系着。关于邏輯学中的名詞术語,一般不宜在几何課中向学生介紹,但对于教师本身来說,应当不断加强邏輯理論的修养,才可能有效地培养学生的邏輯思維,提高他們的推理論証能力。本文試从以下几个方面簡要地談談邏輯的証明在几何証明中的体現。一、証明的涵义与結构人們对于客观事物的属性的肯定或否定的思維形式叫做判断。引用其他真确的判断來証实某一判断的真确性,叫做对于这一判断的証明(本文前后所称証明同此义)。几何教材中便是引用前面的定义、公理、定     

对于在中学講授数理邏輯的初步意見

目前,随着全国范围內轰轰烈烈的技术革命文化革命广泛深入的发展,我国数学界也在进一步开展羣众性的大搞数学联系实际以及关于数学教学彻底改革的討論及試驗。在中学数学向現代化方向改革的討論中,不少同志提出应該在中学讲授一些数理邏輯基本知識;作者也同意这样的意見,为了参加討論,現在談一些不成熱的看法,难免有片面或錯誤之处,希望得到批評。一、数理邏輯的主要內容数理邏輯这門科学,就其原来的内容說,是用数学方法来帮助研究某些較初級的思維过程中的規律性。应該說明,絕不是任何思維規律的研究都适于引用数学方法;数理邏輯的研究对象,主要是一些形式邏輯中的規律,特别是数学論証中的思維規律。研究的途径是将这些思維的进行作数学的抽象和描述,使之符号     

数学綜合題教学的一些做法

所谓数学综合題,一般指解题时牵涉到的基础知识和基本訓练較广的問題。正因为数学綜合題具有这一特点,所以通过数学綜合題的教学,能够加深对概念的理解,培养綜合运用知識、技能及邏輯思維能力,提高数学教学貭量。本文謹就个人在这方面的点滴体会,介紹一些认識和做法。一、怎样选排与编制綜合题 (一)深入挖掘数学各科知識的前后联系,抓住基础知识和基本訓练,注意搜集和編制以巩固基础知識为主要目的的綜合题,結合新課教材、选讲典型范例、组织課內外练习,使学生既加深理解了新知識、又复习巩固了旧知識。下边就代数教学举一些例子。     

0和1的方程组

“0和1,这个題材太簡单了!”讀者或許会这样说。其实不然,这是一个很丰富的領域。所謂丰富,并不是說我們单純从兴趣出发可以推出关于0和1的一大堆性貭、定理、甚至建立一些理論,等等。(单純那样做是没有意义的)而是在于它能反映不少实际現象,关于它們的数学知識能帮助解决一些实际問題。現在,0和1在有些技术領域中应用已經比較普遍,例如在数字計算机的邏輯設計中,用到一种关于0和1的数学理论——布尔代数。本文不打算談这方面的內容,讀者可以去参看专书(見文末的附注)。本文打算談的是关于0和1的通常属于高等代数的一部分內容——它們的綫性方程組的应用。另外,0和1的多項式理論、綫性代数理論在一些技术問題中也已开始得到应用,本文也暫不去談它們(读者可参看文末的附注)。     

数学归納法的教材研究与教法建議

从現行代数課本来看,数学归納法是由学习“第一项相同而第二項不同的若干个二项式的积”这一課題而引出的,而这一課題的目的又在于导出“二项式定理”这一重要內容;从以后的习題內容来看,我們又将这一証明方法用之于等差数列和等比数列的通項公式以及求和公式的証明,以后又将这一証明方法用之于其他多种类型的问題,如排列、組合、复数的若干性质,不等式的证明,恆等式的証明,在几何里又可以用之于尤拉公式——“f v=l 2”的証明,等等,总之,对于和自然数有关的命題,一般都可以应用数学归納法。因此,在中等数学的許多章节里,以及在高等数学学习中,数学归納法都是一个重要的推理工具,同时,数学归納法也是发展与培养学生的邏輯思維能力的很好题材。但是,历来中学生学习这一节內容时感到困难,不易掌握其精神实貭,或者不能熟练运用这一証明方法,这給中学生进一步学习高等数学带来不便。現在,我們根据自己几年来的教学实践,把有关这一节的教材研究和致法建議写出来供同志们教学中参考,并请指正。     

数学题的拟造

(一) 对于一道数学題,教师經常可以通过适当地变更問題的条件和結論,或变更問題的內容和形式,拟造出一些新的数学題来,这种工作称为数学題的拟造。任何一道数学題,都蘊涵着一定的数量間的相依关系或图形性貭問的相依关系。在解題的时候,还要运用一些特定的邏輯关系和思維方法,通过数学題的拟造,甚至是最簡单的拟造,都能使我們对其中的关系有更深刻的认識并对所运用的方法能更透彻地掌握。恩格斯在自然辯証法中曾說:“数学上各种形态的轉变,并不是一种无聊的游戏,它是数学科学最有力的杠杆之一。”这話不仅对于数学定律和公式等的变形是正确的,对于数学問題的变形和拟造也同样是正确的,近代数学有些部門正是在对旧有的問題进行內容和形     

“不等式”的練习題

下面介紹的练习題是我們的工作經驗的結果,其中一部分是果尔坚科在莫斯科市教师进修学院听課时作的学年作业的內容。 絕大部分练习题作者們在十年級复习八、九年級代数課时运用过。如果讀者认为在自己的工作中这些綜习題可用,他們还可以毫不費事地自編若干类似的练习题。方括弧里的是答案。 1.算术根第一組练习題是用来巩固算术根的概念的。这里研究的是从根号內提出因式和根式乘除的练习題。下面举的例子可以作为証明題用,证明时必須回答:当字母取哪些值时:給定的恆等式才能成立。这些练习題还可以作为根式运算題用,在进行根式运算时要指出,字母取哪些值时才能进行变換。     

数学綜合題

一、引言什么叫做綜合題?怎样解綜合題? 綜合題的本身也是一个題,实貭上就是牵涉面較广,內容較复杂的題目。但拆开来看看,也无非是几个互相关联的較簡单的习題。一切题目,包括綜合題在內,总是从已知求未知的过程。我們只要在已知量和未知量之間根据它們的相互制約关系,理出一个头緒来,那就会得到正确的解題路綫的。怎样理出头緒来呢?也不外乎从两个方面着手:一方面是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,另一方面是从“未知”看“需知”,逐步追索到“已知”。两个方面汇合了,解題的路綫也就明确了,綜合題也就分散成     

关于解析几何教学的几点注意

本文拟环繞解析几何中的一些概念,关于在数学教学中如何对待“直观与論证”談一些个人的看法。內容包括:一、数学中的邏輯論証及直观說明;二、解析几何教学中一些問題的商榷;三、关于綫段的量的一个定理;四、关于三角形面积公式的一个証明;五、关于二次曲綫中心的定义問題。一、数学中的邏辑論证及直观說明先談談数学中的邏輯論証。通常在数学中的論証属于形式邏輯中論証的范畴。形式邏輯中的任何証明都是由下列三部分构成:(一)論題,(二)論据,(三)論証。論題是需要加以証明的判断,論据是被用来作为論題底充足理由的諸判断,論証是組成从論据推出論     

罗巴切夫斯基幾何学的一种实現法——龐卡勒方法

今年是幾何學中的革命者,俄羅斯的偉大學者羅巴切夫斯墓逝世一百周年紀念,對於這樣一位劃時代的偉大學者的哲學思想、科學創造以及其深遠的後果都需要專著來加以詳細的介紹,我在此只想接觸到一個很狹的問題,即羅巴切夫斯基幾何學的實現法的問題。在實現法的方面,大學以上的讀者可以從微分幾何中的負定曲率曲面上的幾何去得到實現,也可以由射影幾何的方法在一圓內得到實現,為了中學水平的讀者的需要,我也曾在“幾何學通論”中作了粗略的介紹,現在不準備去重提,本文將介紹由法國數學家龎卡勒提出的一種實現法。什麼是實現問題呢?原來,歐幾裏得幾何學在兩千多年中曾被看作是唯一的幾何學,也就是被認為是反映客觀世界中的形的唯一的方法,這種幾何學有一系列的公理,由這系列的公理經過純邏輯的推演可以得出各種定理,這系列的公理所推演出的結果是不互相矛盾的,這一系列的公理是否足夠推演出我們一般書中的那些結果呢?從邏輯上看它們最初是不完全     

談加强中学数学教学中的邏輯推理因素

数学是邏輯性很强的一門学科,学生在掌握数学基本知識和基本技能的同时就会逐漸养成合乎邏輯的推理习慣。反之,如果学生具有較强的邏輯推理能力,又有助于数学的学习和运用。因此,在中学数学教学中培养学生的邏輯推理能力是有可能也有必要的。培养学生推理能力的首要关鍵是教师必須熟练地掌握各种不同的推理方法。而其根本途径是通过发掘教材內部的邏輯推理因素,考虑教材特点以及学生年龄特征結合教学来进行,既要做到有意識,又必須潛移默化。任何离开教材另搞一套的做法都是不必要的。脫离学生实际,片面追求邏輯上的完整、严謹,提出过高过急的要求也是难以收到良好效果的。下面我們将就中学数学教材中常見的推理方法及其运用作一簡略介紹,以供同志們参考。     

試談平面几何教学中习題的深度与要求

近一年来,許多从事数学教育工作的同志們,对中学几何課的教学目的和任务問題进行了热烈地討論,目前,就討論的范围来看,已經涉及到在平面几何教学中发展学生的邏輯思維能力、直观与推理的关系,以及內容的安排等問題,就笔者所知,这是非常切合     

数学归納法簡介

这篇文章为数力系一二年級同学而写,可作为学习高等代数課的参考材料,还可作为初中数学教师参考。第一部分証明了关于自然数集的三个等价命題。因之导出結論:如果其中一个被取为自然数的基本性质之一,那么其他两个就成立了,这个断語奠定了数学归納法的基础。第二部分通过典型的例題,以注解的形式叙述了数学归納法的主要意义及其应用。甲。关于自然数集,下述諸命題是同值的。命題I(数学归納法),对于每一个自然数n,有一个命題P(n)与之对应,如果证得: 1° P(1)成立, 2°若P(k)成立,則P(k 1)成立。那么,命题P(n)对于任何自然数n都成立。命題II(数学归納法的第二形式),对于每一个自然数n,有一命題P(n)与之对应,如果証得: 1° P(1)成立,     

“四位数学用表”的教学体会

“四位数学用表”(以下簡称“数表”)是高中数学教材內容之一。但在中学数学教学大綱里未能对这一內容作出詳尽的安排;有关这一內容的教学問題也缺乏足够的参考资料。关于“数表”的教学問題在中学教师中,尚未一致。茲拟提出一些看法和做法,以达到共同研究的目的。 (甲)关于学习数表的作用問題,可从列三个方面来考虑: ①作为进行超越运算的工具,必須掌握它們。对数尾数表、反对数表、三角函数表和三角函数对数表等都是进行对数計算和三角計算的必要工具。沒有它們,代数、三角、几何和物理課中的某些习題是解决不了的。它們实际上是代数和三角教材的一个部分,并