‖S_n‖超越ε(nlgn)~(1/2)的次数、最大程度和最后时刻的矩的讨论

设{X_n,n≥1}是i.i.d.的B值随机变量序列,本文讨论了‖S_(?)‖超越ε(nlgn)~(1/2)的次数L(ε)、最大程度N(ε)和最后时刻H(ε)关于某一类特定的函数φ(t)的某种形式的矩同相应的尾概率级数收敛性之间的关系,得到了若干等价性命题.     

多元线性模型中一个二次估计的最优性(Ⅰ)

考虑线性模型设ε′=(ε_((1)),…,ε_((n))),对ε_((1)),…ε_((n))独立,Eε_((i))ε′_((i))=Σ,E(ε_((i))ε′_((i))ε_((i))ε′((i)))=(i=1,…,n)的情形本文求出了Σ的(一定意义下的)最小二乘估计Σ~*,并给出了tr(CΣ~*)是tr(CΣ)的一致(对Σ≥0,Ψ)最小方差不变二次无偏估计的充要条件,这里C是对称矩阵。对Covε=GΣ,Y服从准正态分布的情形也做了相应的讨论,这里G是已知n阶非零的非负定矩阵,Σ是未知的p阶非负定矩阵。     

条件弱鞅的一类极小值不等式

本文研究了(非负)条件弱鞅的极小值不等式,将相关文献中关于非负条件弱鞅的形如εP~F(min1≤i≤n c_i S_i≤ε)的极小值不等式推广到εP~F(min1≤i≤n c_ig(S_i)≤ε)的情形下,此外,本文还给出了条件弱鞅的形如εP~F(min1≤i≤n g(S_i)≤ε)和εP~F(min1≤i≤n g(S_i)≤-ε)的极小值不等式.     

(~ρ)-混合误差下回归函数加权核估计的强相合性

设{yi}是固定在点{xi}的观察值,适合模型yi=g(xi) εi.其中g(x)是[0,1]上的未知函数,{εi}是均值为0的随机误差序列.文献中,在{εi}为独立同分布的条件下,通过构造新的函数gn(x),对g(x)进行了估计.论文将{εi}推广至(~ρ)-混合误差序列的情形,通过附加适当的条件和精细的计算,获得了用gn(x)估计g(x)的同样结论.     

可靠性(Ⅳ)

设某一物理参数的真值为α.对它进行n次互相独立的测试.设:测试结果没有系统误差;第i次测试的误差ε_i为N(0,σ_i).在独立测试的条件下,诸ε_i是互相独立的.于是第i次测试的结果为α+ε_i,即N(α,σ_i),它的概率密度函数为     

2011年清华金秋营数学试题及解答

1.求sinπnsin2πn…sin(n-1)πn的值.解设ε=cosπn+isinπn(i为虚数单位),则1,ε,ε2,…,ε2(n-1)为x2n-1=0的根,且sinkπn=εk-ε-k2i=ε2k-12iεk,所以sinπnsin2πn…sin(n-1)πn=(ε2-1)(ε4-1)…[ε2(n-1)-1]2n-1in-1ε12n(n-1)()n-1(2)(4)…[2(n-1)]     

关于N≡3(mod 4)的最优秤重設計

1.引言我们假定用无偏离的天平去秤量N个个体的组合N次,并且假定Y=X_(Nω)+ε,秩(X_N)=N,E(Y)=X_(Nω),■_Y=σ~2I_N, (1.1)其中E(Y)与■_Y分别是Y的均值和协方差矩阵.我俩知道N×N的矩阵X_N=(x_(ij))是设计矩阵,其中元素x_(ij)是1,若第i个个体在第i次秤量组合时放在天平的左边托盘内;或是一1,若第i个个体在第i次秤量组合时放在关平的右边托盘内;或是0,若在第i次秤量组合中不秤量第i个个体.     

方差分量组合的非负二次估计的可容许性

设有方差分量模型Y=X_β+U_(1ε1)+…+U_(NεN),其中XU_i已知,ε_1,…,ε_1相互独立。Eε_(if)=0,Eε_(if)~2=σ~2,Eε_(if)~3=0.Eε_(if)~4=3σ_i~4,这里(ε_(i1),…,ε_(in_i)εi。(β,σ~2)∈R~n×Ω为未知参数。Ω={(σ_1~2,…,σ_N~2):0≠sum from i=1 to n σ_i~2U_iU'_i≥0}。本文给出了Y'AY是sum from i=1 to n f_iσ_i~2在损失(Y'AY-sum from i=1 to N f_iσ_i~2)~2下在类{Y'BY:B≥0}中可容许估计的一个充分条件。同时也给出了Y'AY+l'Y+a是sum from i=1 to N f_iσ_i~2的可容许估计(在类{Y'BY+m'Y+b}中)的一个充要条件。研究了非负二次估计与局部最优估计之间的关系。     

长时间相依游动的分形性质

给定ε=(εi)j≥1∈{-1,+1}∞,考虑两种长时间游动和Qn(ε)=,0＜α≤1.我们得到了{Pn(ε)～bna}和{Qn(ε)～bna}的Hausdorff维数.     

一个加性混合幂丢番图不等式(Ⅰ)

本文证明了如果λ1,…,λ6是非零实数,并且不同一符号,至少有一个λi/λj(1≤i,j≤3)是无理数,那么对任意实数η和ε＞0,不等式|λ1x21+λ2x22+λ3x23+λ4x44+λ5x45+λ6x46+η|＜ε有无穷多正整数解x1,…,x6.     

由φ-混合序列产生的长程相依过程的广义强逼近定理

设{X_k;k≥1}是由X_k=∑_(i=0)~βα_iε_(k-i)所定义的滑动平均过程,其中{ε_i;-∞i∞}是一同分布的φ-混合相依变量序列,{α_i;i≥0}为满足条件α_i~i~(-α)l(i)的实数序列,l(i)为一缓变函数.当1/2α1时,{X_k;k≥1}为一长程相依过程.在Eε_0~2可能为无穷的条件下,对长程相依过程{X_k;k≥1}的部分和建立了一个更为一般性的强逼近定理.     

二阶哈密尔顿系统的对称扰动(英文)

我们研究二阶Hamiltonian系统-ü=▽F1(t,u)+ε▽F2(t,u)a.e.t∈[0,T]的多重周期解,其中ε是一个参数,T0.F1(F2)∶R×RN→R关于t是T周期的,▽F1(t,x)关于x是奇的;并且Fi(t,x)(i=1,2)对所有x∈RN关于t是可测的,对几乎所有t∈[0,T]关于x是连续可微的,而且存在a∈C(R+,R+),b∈L+(0,T;R+)使得|Fi(t,x)|≤a(|x|)b(t),|▽Fi(t,x)|≤a(|x|)b(t)对所有x∈RN及几乎所有t∈[0,T]成立.我们对F1施加适当的条件,能够证明对任意的j∈N存在εj0使得|ε|≤εj,则上述问题至少有j个不同的周期解.     

非参数回归的若干性质

非参数回归,由于其具有不依赖于样本所从属的总体的分布形式与总体分布的参数无关,无需检验总体的参数等诸多优点而被广泛应用.本文讨论了非参数回归的一些性质.1　预备知识设有一组样本{(xi,yi),i=1,2,…,n}.考虑yi=f(xi)+εi,　i=1,2,…,n,其中E(εi)=0,D(εi)=σ2,cov(εi,εj)=0,i≠j,则一元非参数回归为f(x)=1nh∑ni=1Kx-xihyi1nh∑ni=1Kx-xih,(1)其中h为带宽,K(x)为核函数,一般取为关于原点对称的概率密度函数,如标准正态密度函数等.同样可定义二元非参数回归f(z)=1nh21+h22∑ni=1Kx-xih1,y-yih2yi1nh21+h22∑ni=1Kx-xih1,y-yi…     

一个加性混合幂丢番图不等式(Ⅰ)

本文证明了:如果λ1,…,λ6是非零实数,并且不同一符号,至少有一个λi/j(1≤i,j≤3) 是无理数,那么对任意实数η和ε>0,不等式|λ1x12 λ2x22 λ3x32 λ4s44 λ5x54 λ6x64 η|<ε有无穷多正整数解x1,…,x6．     

二阶非线性无穷边值问题的奇摄动(Ⅰ)

本文讨论了奇异地依赖于小参数ε>0的二阶非线性无穷边值问题(其中a_i,β为常数,i=0,1)之解的存在性、唯一性及其渐近估计.     

二阶非线性无穷边值问题的奇摄动(Ⅱ)

本文讨论了含小参数ε>0的二阶非线性奇摄动无穷边值问题(其中a_i,β为常数,i=0,1)之解的存在性,并且给出了解的渐近估计式.     

复数的教学(續)

Vn.复数的乘方1.1的方粱及其圆示法.1)1的各方翼:乙,i一~一1,舒~沪.(一1)2一乙,.︸(乙2)2i4i,i已 .印二:二i臼二二二13~一乞,18一14·+1,一1,14二+1.沪护月创2)由此导出:i4n+‘~i,14,,+2:二一1,14护‘+3~一i,14,‘二+1·恤一。1,1)“~韶八一‘天了一,l,“十嵘了一2(bi)匕一十 +嗯砂一“伪动“十··一左+人i 一了~arl一嵘砂一2犷一:嗽了一1护一 B~吐a叹一‘b一嵘了一“护十吹了一“护… 只要用二项式定理展开法剧将(u一卜b汀‘展开,再热i的方尊适当变换为i,一1,一凡十1;最后再牌实数部分集项和虚数部分集项.即得其IL次方幕.5.再得出三角函…     

‖B~(-1)A‖的估计及其应用

无论是求解线性方程组的点算法还是区间算法,能较好的估计‖B~(-1)A‖是十分有用的,然而按‖B~(-1)A‖≤‖B~(-1)‖‖A‖来估计又往往不能达到予期目的,为此本文应用[15]中关于区间对角占优矩阵的性质,对区间矩阵B,A给出了一类满足‖B~(-1)A‖<1的条件及判别方法,将这些结果应用到区间线性方程组的诸分裂求解方法如Jacobi、Gauss-Seidel、SOR及正则分裂方法中,不仅改进了已有结果,而且方法简单。     

一类最优停止问题的解

Let {Z_i} be i.i.d.,and {ε_i} be i.i.d.,Bernoulli variables independent of {Z_i}.Set To≡z and T_n=ε_n(T_(n-1)-Z_n)for n≥1.Using Wiener-Hopf type equations,we give a newapproch to find optimal stopping rules for stopping T_n-nC,Where C>O.Special casesare nsidered in detail,some of them are difficult to treat by Ferguson's method.     

关于m个相关回归方程系统回归系数的两步估计

一、前言 考虑m个回归方程系统如下yi=Xiβi εi(i=1,2,…,m),(1)其中在第i(i=1,2,…,m)个方程中,yi是n×1的随机观察值向量,Xi是秩为pi的n×pi阶矩阵,βi是pi×1的未知参数向量,而εi是n×1的误差向量。 惯常的方法是假定误差向量ε_1,ε_2,…,ε_m是互相独立地服从正态分布,其均值是E(εi)=0,方(协)差矩阵是D(εi)=σ_i~2I_n(i=1,2,…,m),这里I_n表示n阶单位阵,σ_i~2是未知参数。在这样的假定下,估计回归系数βi只须单从第i个方程求得其最小