第47个梅森素数被发现

挪威计算机专家奥德·斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，最近发现了第47个梅森素数，该素数为“2的42643801次方减1”．它有12837064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50公里!     

埃拉托塞尼与素数筛子

自然数是人们最早研究的数学对象,又是最有扭力的、从中能产生无穷多个问题的数学对象,而且从不同的角度探讨自然数,就会形成不同的问题．例如,从自然数所含的因数的个数来看,可把所有的自然数分为三个部分：（1）仅有一个因数的数工;（2）有且仅有两个因数的数,即除1和自身以外,没有别的因数的数,如2,3,5,7,…等,称为素数（质数）;（3）有三个以及多于三个不同的因数的数,即除1和自身以外,还有其他因数的数,如4,6,8,ZO。…等,称为复合数,简称合数．如我们已经知道的,素数就构成了数学中的许许多多重要的课题,如…     

素数等差数列问题

1素数的基本知识自然数中2,3,5,7,11,…称为素数,它们除1与自身外,没有其它因数.其它数,1除外,称为合数.每一个合数可以唯一分解为素数之积,这是算术基本定理.这个定理说明,素数像“砖头”,也像原子.素数在整数中分布很不均匀,例如107570463×102250±1是一对孪生素数.给予整数N,不论多大,都有连续N个数中没有素数.例如(N 1)! 2,(N 1)! 3,…,(N 1)! N 1中就没有素数,这构成一个“黑洞”.因此,寻找素数的规律是古今一大挑战,也很有意思.②欧几里得:素数有无穷多个.(反证法)欧拉:引入∑n1ns(s>1),证明了∑p1p发散,从而素数有无穷.切比雪夫:…     

素数的判定

一个大于1的整数,如果只能被1和它本身所整除,则这个正整数叫做素数,否则叫做合数。开头的几个素数是2,3,5,7,…。为了进一步找出更多的素数,大约在公元前250年,     

合数是绝对假素数的充要条件

利用正整数模的特征数这一新概念给出了合数是绝对假素数的充要条件。以此为据，证明了绝对假素数是奇数，它无异于1的平方因数，并且至少是三个互异的奇素数的乘积；还给出了两个绝对假素数或两个大于1的奇数的乘积是绝对假素数的充要条件。     

基于身份的门限密码体制

描述一个公钥密码体制,其中参与者的公钥是一个公开值,例如他的身份,这个体制由很多可信中心联合产生一个大合数N=pq,p,q为素数且p≡q≡3(mod 4),任意其中一个可信中心都不知道N的分解.另外,每一个可信中心拥有一个秘密指数的一个分享,这样产生一个门限解密.本文将讨论所提出的方案的安全性,并证明它与解决二次剩余问题的困难性有关.     

一种加快概率素数搜索技巧的改进和推广

对一种快速筛去部分合数的一种算法加以改进和推广，结合利用雅可比符号寻找大素数的算法，给出了一种可以有效的减少判别的奇合数，加快素数搜索过程的有效快速算法．     

什么是“梅审数”?

以十七世纪法国数学家马兰·梅尔塞纳(M·Mersenne)的名字定名把形如2p-1(p为素数)的整数叫作“梅审数”。它可以是素数,也可以是合数。例如M_2=2~2-1=3,M_3=2~3-1=7,M_5=2~5-1=31,M_7=2~7-1=127均为素数,但M_(11)=2~(11)-1=2047=23·89,则是一个合数。判定一个梅审数是否为素数,或是当已知其为合数时分解其素因数,均非易事。截至1978年止共找到25个梅审数,第25个梅审数于1978年得到。它是一个6533位数:M_(21701)=2_(21701)-1 1984年2月-7日《参考消息》第3版上刊登了一篇文章《三十二小时解开三世纪之久的难题》中提到了一个梅审数2~(251)-1说它是一个69位数     

威尔逊定理的一个等价命题

素数的研究一直是初等数论的一个重要内容，而素数的判定又是其中一个较困难而又具有价值的问题．１７７１年数学家拉格朗日证明了著名的威尔逊定理：“ｐ为素数的充要条件是ｐ能整除（ｐ－１）！＋１．”根据威尔逊定理，可以构造出一个人们梦寐以求的只产生素数且能够产...     

素数的判别与分类

素数的判别与分类宋八全（华中师范大学数学系９２级）记ｐ是不等于２，５的素数．本文试用循环小数的性质讨论素数的判别与分类．全文计划如下：（１）建立素数与循环小数的联系，证明一个素数判别定理．（２）确定素数分类关系和制造素数表的方法并指明用此表分解合数．...     

探究6465+6564是素数还是合数?

在一本初等数论的书上,我看到这样一个问题:判断6465+6564是素数还是合数?可以想象这是一个很大的数,需要比较巧的方法才能判定.书上是这样解答的:根据费马小定理,如果a和p互素,p是素数,则ap-1≡1(mod p).     

梅森素数趣谈

素数也叫做质数,其特点是它只能被1和它本身整除.比如2009就不是一个素数,它可以被7整除.许多数学家都在寻找素数的秘密,著名的哥德巴赫猜想就与素数有密切关系;世界上最难的猜想当数黎曼猜想,它也是以素数为中心;欧几里得在两千多年以前就利用反证法证明了有无穷无尽的素数,梅森提出了少量素数可以表示成2~p-1(p为正整数)的形式,但科学家们至今也没有找到这种形式     

保密通信的发展概况(续)

6　RSA公钥方案公元前三世纪 ,希腊数学家欧几里德在《几何原本》中叙述了以下定理并且给出了证明 :每个大于 1的整数都 (不计次序 )可唯一分解成有限个素数 (或叫质数 )的乘积 .这叫算术基本定理 ,是初等数论的基石 .这个定理在理论上是很漂亮的 ,但是在实际上人们会问 :给了一个很大的正整数n ,求n的分解式是否容易 ?一个最笨的算法是用 2 ,3,...,n- 1依次去除n ,如果均除不尽n ,则n为素数 ,分解完毕 .如果某个i( 2 ≤i≤n- 1 )除尽n ,则最小的这个i是n的一个素因子 .再对整数n i继续下去 .但是这个算法至少需要n个运算 ,而算式的复杂性…     

一类表示伪素数的公式

素数最基本的性质是费马小定理，给出了自然数是素数的必要条件：若（p，a）=1（p为素数）则ap-1≡1（modp）．很长一段时间以来，人门认为费马小定理的逆定理也成立，甚至认为n是素数当且仅当2n-1≡1（modn），但这是错误的．1819年萨吕斯（M．Sarrus）证明，2341≡2（mod341），但341＝11×31是合数．后来，人们把满足同余式2n-1≡（modn）的合数叫伪素数．伪素数是否有无穷多？1903年，马洛（Malo）首先证明：如果A是伪素数，2A-1也是伪素数[1].文[2]给出一个伪素数的公式，笔者认为可以给出一类伪素数的公式．现给出预备知识（p为奇素…     

素数个数的估计

素数是数学中最重要、最基本的概念之一．关于素数个数的讨论,早在两千多年前,古希腊学者欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）已在其名著《几何原本》中给出且证明：素数有无穷多个．人们又发现素数在自然数中所占比例很小,若记π（ｘ）为不超过ｘ的素数个数,数学大师欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）证明了下面的结论．ｌｉｍｘ→∞π（ｘ）ｘ＝０．然而对于π（ｘ）的估计都经历了极为漫长的过程．１８世纪以前,人们已经知道：在ｎ～２ｎ－２之间（ｎ为自然数）至少有一个素数,在ｎ～２ｎ之间至少有两个素数．利用爱拉托色尼（Ｅｒａｔｏｓｔｈｅｎｅｓ…     

《居加猜想的一个证明》一文质疑

《居加猜想的一个证明》一文质疑安徽省肥西师范学校朱玉扬四川西充县常材中学杨仕椿江苏兴化市周庄镇孙庄中学管训贵文［１］关于居加猜想的充分性证明是不完全的．因为这个关系式是对任何正整数Ｐ都成立的．而对一个正整数Ｐ，当Ｐ可整除时，如果Ｐ不是素数，无法断言Ｐ...     

一个整除定理及其应用

众所周知,著名的费马小定理是:如果p是素数,那么对于任何整数a,都有P|(ap-a) 如果改动这个著名定理的条件,将p是素数放宽为p是奇数,会出现什么结论呢?这个结     

强伪素数、覆盖同余式组以及广义bent函数

本文考虑三个问题:强伪素数的计算、覆盖同余式组和广义bent函数.本文的创新点包括:(1)编程证明3 825 123 056 546 413 051是通过前9个素数为基的Miller-Rabin测试的最小合数;(2)证明Kim的猜想,即任意代数数域上的恰好覆盖同余式组必有模理想重复出现;(3)证明两类广义bent函数不存在.     

漫长的寻觅梅森素数的历程

漫长的寻觅梅森素数的历程徐品方（四川西昌师专）数论中有一些猜想，是世界最坚硬的磐石，它能轻而易举地挫去人的智慧的锋芒，耗尽人的才华和心血，甚至幸福．荷兰数学家丹齐格（Ｖ．Ｄ．Ｄａｎｚｉｇ，１９００—１９０９）说：“数论是数学中所有部门最难的一门．不错...     

"大互联网梅森素数寻求(GIMPS)"研究计划进展

梅森素数是一种特殊的素数,它的研究与寻求一直是数论研究的代表性问题之一.寻求梅森素数之路艰辛曲折,其计算复杂性对现代计算能力极具挑战.计算机网络技术的发展,特别是能使虚拟组织共享计算资源的全球分布计算技术,使得寻求速度大大加快.本文综述寻求梅森素数的最新进展及历史进程,并介绍寻求梅森数所用的分布计算技术.