对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

三角形等长截分点初探

众所周知,设P是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=φ,则点P称作△ABC的布洛卡点.其中φ称为△ABC的布洛卡角. 用类比的视角,若将上述概念中的∠PAB=∠PBC=∠PCA=φ,置换成线段长,即分别在△ABC的三边AB,BC,CA上取点D,E,F,使得AD=BE=CF=t,则CD,BF,AE是否可能共交于一点S? 笔者经过初步探究,得出了如下结果.     

涉及三角形的角平分线的两个轨迹问题

定理 1　设 AD,BE,CF是△ ABC的角图 1平分线 ,△ ABC内的动点 P到其三边的距离构成某三角形的三条边之长 ,则点 P的轨迹是△ DEF的内部 .证明　如图 1 ,过点 P作直线 E′F′分别交 AC、AB于点 E′、F′.设点 P到边 BC,CA,AB的距离分别为 r1,r2 ,r3 .则S△ E′AF′=12 ( AE′.r2 AF′.r3 ) ,( 1 )S△ ABC=12 ( ar1 br2 cr3 ) ,( 2 )　　　 S△ E′AF′S△ ABC=AE′.AF′bc . ( 3)把 ( 1 )、( 2 )代入 ( 3)式可得ar1 br2 cr3 =bc( r2AF′ r3 AE′) ( 4 )由于　 AE =bca c,AF =bca b,所以bc( r2AF r…     

一个三角形性质的应用

<正>如图1,线段AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则AD,BE,CF交于一点O,即"三角形的三条角平分线交于一点".这是三角形的一个性质,在解题时,容易被"忽略",但应用这一性质可以有效解决一些有关三角形角平分线的问题.例1如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,将△BCP沿CP折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DP,求∠BAC度数.     

三角形的伴垂心的若干极值特征

如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 　在△ ABC中 ,有A…     

三角形等角共轭点的一个性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质.即 命题设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则在BC、CA、AB上分别存在点D、E、F,使得PD DQ=PE EQ=PF FQ,且AD、BE、CF三线共点.     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.     

三角形的一个有趣性质

设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。     

两个几何不等式的证明

文[1]中,胡如松先生提出了如下猜想,现予以证明.设△DEF为△ABC内接三角形(如图).并设△ABC的三内角为A,B,C;三边BC=a,CA=b,AB=c;EF=a0,FD=b0,DE=c0.分别设△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R,R0,R1,R2,R3;r,r0,r1,r2,r3;P,P0,P1,P2,     

说说三角形的周长和面积平分线

<正>三角形的周积平分线(一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,这条直线本文称为周积平分线),一定经过此三角形的内心.证明如图1,设GH为△ABC的一条周积平分线,P为△ABC的内心,令△ABC的内切圆半径为r.不失一般性,设△ABC的三边长为a,b,c,三边两两互不相等,记1/2(a+b+c)=p,令G、H两点分别在边AB、AC上.     

三角形内心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究,阅读之后受到启发,笔者发现三角形内心也有类似的性质,现行之成文与读者共同探讨.性质1如图1,设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边长分别为a,b,c.已知点I是△ABC的内心,过I作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=m AB,AN=n AC,则bm cn=a b图1 c.证因为点I是△ABC的内心,∴a IA b IB c IC=0[3],∴-a AI b(AB-AI) c(AC-AI)=0,∴(a b c)AI=b AB c AC,即AI=ba b c·AB ca b c·AC.又因为M,I,N三点共线(A不在直线MN上),∴AI=λAM μAN(且λ μ=1),∴AI=λm AB μn AC=ba b c·…     

竞赛中的解三角形问题

解三角形问题,主要是处理三角形中的边、角关系.即通过已知的边角关系,确定三角形中未知量和未知关系.数学竞赛中的解三角形问题,常涉及以下知识点.设△ABC的三个角为A,B,C,它们对应的边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的半径为R,△ABC的面积为S.1)正弦定理:sinaA=sinbB=sinCC=2R;2)     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

向量运算的两种基本方法

向量的表示有几何形式(用有向线段表示)和代数形式(坐标表示),相应地向量的运算也有两种基本方法:(一)几何法;(二)坐标法.下面举例来说明这两种方法的应用. 例1 如图1,AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:AD,BE,CF相交于一点. 证明(法一)设BE,CF相交于H,并设AB=b,AC=c, ,则     

垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式

定理　若△ DEF是锐角△ ABC的垂足三角形 ,且 BC =a,CA =b,AB =c,△ AEF、△ BDF、△ CDE的内切圆分别为⊙ IA、⊙ IB、⊙ IC,其半径依次为 r A、r B、r C,则有ar A+br B+cr C≥ 12 3.证明　∵　 BE⊥ AC,CF⊥ AB,∴　∠ BEC =∠ CFB =90°.又∵　 E、F在 BC的同侧 ,∴　 B、C、E、F四点共圆 ,∴　∠ AEF =∠ B,∠ AFE =∠ C, 　　　△ AEF∽△ ABC, 　　　 EFBC=AEAB.在 Rt△ ABE中 ,cos A =AEAB,∴　 EFBC=cos A,即 EF =a cos A.同理　 DF =b cos B,DE =c cos C.连结 IAE、IAF,作 IAG⊥ EF…