数值流形方法及其在岩石力学中的应用

数值流形方法是目前岩石力学分析的主要方法之一.该方法起源于不连续变形分析,主要用于统一求解连续和非连续问题,其核心技术是在分析时采用了双重网格:数学网格提供的节点形成求解域的有限覆盖和权函数;而物理网格为求解的积分域.数学网格被用来建立数学覆盖,数学覆盖与物理网格的交集定义为物理覆盖,由物理覆盖的交集形成流形单元.流形方法的优点在于它使用了独立的数学和物理网格,具有和有限元明显不同的定义形式,且数学网格对于同一问题不同的求解精度的需求可以很方便地细化.由于该方法考虑了块体运动学,可以模拟节理岩体裂隙的开裂和闭合过程,因而在岩石力学中得到了广泛应用,近年来许多学者对该方法进行了研究.本文简要叙述了节理岩体的数值方法从连续到非连续的发展过程,详细地介绍了数值流形方法的组成和数值流形方法在岩石力学及其相关领域的研究和发展概况,最后就作者所关心的一些问题,如三维问题的数值流形方法、数值流形方法在物理非线性问题和裂纹扩展问题中的应用、相关的耦合方法等进行了探讨.      

一种建筑材料细观力学数值模拟的新方法

数值流形方法通过数学和物理双重网格,分析连续和非连续问题,已应用于模拟节理岩体裂隙的开裂与闭合问题.但对于裂纹尖端的局部化问题,数值流形方法需要像有限元那样在裂纹尖端设置细密单元.本文利用裂纹尖端解析解将数值流形方法的基函数进行扩展,推导了相应的试函数.从最小势能原理出发提出了断裂力学的数值流形方法,推导了相应的求解方程,将其应用于建筑材料细观力学数值模拟.最后给出两个数值算例,将计算结果与解析解对比,说明该方法的正确性和可行性.     

基于适合分析T样条的高阶数值流形方法

数值流形方法是一种非常灵活的数值计算方法,连续体的有限单元方法和块体系统的非连续变形分析方法只是这一数值方法的特例.数值流形方法中高阶位移函数的构造可通过提高权函数的阶次来实现,这种方法往往需要沿单元边界配置适当的边内节点,这些结点的出现增加了前处理的复杂性,特别是对于大型复杂的空间问题.另一方面,在数值流形方法中可通过缩小单元尺寸(h加密)来提高求解精度.当模拟裂纹扩展时,这种细化策略可用来克服裂纹尖端的奇异性.一个传统的解决方案是细化整个网格,但这会导致计算效率的显著降低.将适合分析的T样条(analysis-suitable T-spline,AST)引入数值流形方法中来建立高阶数值流形方法的分析格式,有效的避免了该问题的出现.AST样条基函数具有线性无关,单位分解,局部加密等许多重要性质,使得其非常适合用于工程设计及分析.在引入AST样条后,可通过改变数学覆盖的构造形式建立不同阶次的数值流形方法分析格式;AST样条自身的局部加密性质也使得数值流形方法中的数学网格局部加密更容易实现.算例结果表明:随着AST样条基函数阶次的提高,数值流形方法的计算结果有了明显的改善;基于AST样条基函数的数值流形方法在保持计算精度的前提下降低了自由度的数量.     

多裂纹扩展的数值流形法

数值流形法的求解体系建立在两套覆盖(包括数学覆盖和物理覆盖) 和接触环路的基础之上,实现了对连续和非连续问题的统一求解. 在处理裂纹问题时,数学覆盖无需与裂纹重合,方便岩体破坏过程的模拟. 通过在裂纹尖端影响区域内的物理片上增加用于模拟应力奇异性的增强位移函数,发展了扩展的数值流形法. 在此基础上,提出一种多裂纹扩展的控制算法,并给出了裂纹扩展过程中材料体的整体响应. 针对典型的线弹性断裂力学问题, 给出的数值算例表明所建议的方法是正确有效的.      

基于单位分解法的无网格数值流形方法

在数值流形方法和单位分解法的基础上，提出了无网格数值流形方法. 无网格数值流形 方法在分析时采用了双重覆盖系统，即数学覆盖和物理覆盖. 数学覆盖提供的节点形成求解 域的有限覆盖和单位分解函数；而物理覆盖描述问题的几何区域及其域内不连续性. 与原有 的数值流形方法相比，无网格数值流形方法的数学覆盖形状更加灵活，可以用一系列节点的 影响域来建立数学覆盖和单位分解函数，具有无网格方法的特性，从而摆脱了传统的数值流 形方法中网格所带来的困难. 与无网格方法相比，由于采用了有限覆盖技术，试函数的构造 不受域内不连续的影响，克服了原有的无网格方法在处理不连续问题时所遇到的困难. 详细推导了无网格数值流形方法的试函数和求解方程，最后给出了算例，验证了该方法的正 确性.     

热传导问题的非协调数值流形方法

数值流形方法通过引入数学与物理双重网格,将插值域与积分域分别定义在两个不同的覆盖上,其优点是网格划分随意,不受复杂边界形状和材料界面的限制,是较之于有限元方法更一般化的数值模拟方法。在计算精度方面,数值流形方法远远高于有限元法。但它的精度还是不够理想。为此本文在单元总体位移场上附加非协调位移基本项,使单元位移函数趋于完全,构造了非协调流形单元来改善流形单元的计算精度和计算效率,并将其应用于热传导问题,推导了势问题的非协调数值流形方法。     

基于最佳质量网格的薄板问题的非协调流形方法

对于大部分非协调板单元,使用规则网格能得到很好的效果。但是,当网格不规则时,非协调元的数值特性将变得很差,甚至收敛性得不到保证。为解决网格依赖性问题,许多专家学者提出了改造单元,如拟协调元法和广义协调元法,这些方法能解决收敛性问题,但是数值实践证明没有一种单元能在所有情况下都具有良好的数值特性。考虑到流形方法采用两套完全独立的覆盖系统,可以用规则的数学网格来作为数学覆盖进行插值,取得最佳的插值效果,单元收敛性便能得到保证。再结合适用于流形方法的变分提法,建立起流形方法处理非规则物理边界非协调板单元的一般格式。以ACM薄板单元为例,与ANSYS、拟协调元法和广义协调元法进行了对比,证明本文方法在处理具有曲线边界的薄板弯曲问题时具有收敛快和精度高等优势。     

基于最佳质量网格的薄板问题的非协调流形方法

对于大部分非协调板单元,使用规则网格能得到很好的效果。但是,当网格不规则时,非协调元的数值特性将变得很差,甚至收敛性得不到保证。为解决网格依赖性问题,许多专家学者提出了改造单元,如拟协调元法和广义协调元法,这些方法能解决收敛性问题,但是数值实践证明没有一种单元能在所有情况下都具有良好的数值特性。考虑到流形方法采用两套完全独立的覆盖系统,可以用规则的数学网格来作为数学覆盖进行插值,取得最佳的插值效果,单元收敛性便能得到保证。再结合适用于流形方法的变分提法,建立起流形方法处理非规则物理边界非协调板单元的一般格式。以ACM 薄板单元为例,与ANSYS、拟协调元法和广义协调元法进行了对比,证明本文方法在处理具有曲线边界的薄板弯曲问题时具有收敛快和精度高等优势。     

裂纹问题的一致性高阶无网格法

一致性高阶无网格法能高效精确地求解连续体问题,尤其是能得到高精度的应力场。本文将该方法拓展到应力解析精度至关重要的裂纹问题（即非连续体问题）的数值分析。采用背景积分网格描述裂纹几何,基于无需增加节点额外自由度的虚拟节点法描述裂纹处位移场的间断,提出了虚拟节点的引入算法和断裂单元的数值积分方法。为进一步模拟裂纹扩展,采用相互作用积分方法计算应力强度因子,裂纹的扩展方向由最大周向应力准则确定。数值结果表明,本文发展方法能够精确地通过间断分片试验;相较于标准的高阶无网格法和低阶一致性无网格法,本文的一致性高阶无网格法显著改善了应力强度因子的计算精度,能够准确预测裂纹扩展路径。     

裂纹问题的一致性高阶无网格法

一致性高阶无网格法能高效精确地求解连续体问题,尤其是能得到高精度的应力场。本文将该方法拓展到应力解析精度至关重要的裂纹问题(即非连续体问题)的数值分析。采用背景积分网格描述裂纹几何,基于无需增加节点额外自由度的虚拟节点法描述裂纹处位移场的间断,提出了虚拟节点的引入算法和断裂单元的数值积分方法。为进一步模拟裂纹扩展,采用相互作用积分方法计算应力强度因子,裂纹的扩展方向由最大周向应力准则确定。数值结果表明,本文发展方法能够精确地通过间断分片试验;相较于标准的高阶无网格法和低阶一致性无网格法,本文的一致性高阶无网格法显著改善了应力强度因子的计算精度,能够准确预测裂纹扩展路径。     

基于NMM的EFG方法及其裂纹扩展模拟

数值流形方法（numerucal manifold method,NMM）通过引入数学覆盖和物理覆盖两套系统来统一处理连续和非连续问题. 通过用移动最小二乘插值（moving least squares interpolation,MLS）中的节点影响域构造数学覆盖,得到了基于数值流形方法的无网格伽辽金法（element free Galerkin,EFG）. 该方法在保证前处理简单的同时,又能方便处理如裂纹等不连续问题. 建立了适用于小变形和大变形的裂纹扩展计算格式,并通过对曲折裂纹（kinked crack）的处理,在不加密的情况下实现了任意小步长的裂纹扩展,大大提高了在固定网格中模拟裂纹扩展的实用性. 大小变形的结果对比表明,按照不考虑构型变化的小变形计算,结果可能偏于危险.      

THE NMM-BASED EFG METHOD AND SIMULATION OF CRACK PROPAGATION

数值流形方法（numerucal manifold method,NMM）通过引入数学覆盖和物理覆盖两套系统来统一处理连续和非连续问题. 通过用移动最小二乘插值（moving least squares interpolation,MLS）中的节点影响域构造数学覆盖,得到了基于数值流形方法的无网格伽辽金法（element free Galerkin,EFG）. 该方法在保证前处理简单的同时,又能方便处理如裂纹等不连续问题. 建立了适用于小变形和大变形的裂纹扩展计算格式,并通过对曲折裂纹（kinked crack）的处理,在不加密的情况下实现了任意小步长的裂纹扩展,大大提高了在固定网格中模拟裂纹扩展的实用性. 大小变形的结果对比表明,按照不考虑构型变化的小变形计算,结果可能偏于危险.     

EVALUATION ON STRESS INTENSITY FACTOR OF CRACK UNDER DYNAMIC LOAD USING NUMERICAL MANIFOLD METHOD

相较于传统有限元,数值流形方法（numerical manifold method, NMM） 的一个显著优点是在处理裂纹问题时网格无需与裂纹重合,这就方便了岩体破坏过程的模拟. 基于包含裂尖增强函数的NMM,采用Newmark 隐式动力学算法进行时间积分,重点研究了动力载荷条件下裂纹动态应力强度因子（dynamic stress intensity factor,DSIF） 的求解方法. 针对典型的线弹性动力裂纹问题,给出了NMM 的数值算例. 结果表明NMM 能够准确计算动载荷条件下裂纹的DSIF,并且具有较好的收敛性.     

动载下裂纹应力强度因子计算的数值流形元法

相较于传统有限元,数值流形方法（numerical manifold method, NMM） 的一个显著优点是在处理裂纹问题时网格无需与裂纹重合,这就方便了岩体破坏过程的模拟. 基于包含裂尖增强函数的NMM,采用Newmark 隐式动力学算法进行时间积分,重点研究了动力载荷条件下裂纹动态应力强度因子（dynamic stress intensity factor,DSIF） 的求解方法. 针对典型的线弹性动力裂纹问题,给出了NMM 的数值算例. 结果表明NMM 能够准确计算动载荷条件下裂纹的DSIF,并且具有较好的收敛性.      

On the uses of special crack tip elements in numerical rock fracture mechanics

Numerical methods such as boundary element methods are widely used for the stress analysis in solid mechanics. These methods are also used for crack analysis in rock fracture mechanics. There are singularities for the stresses and displacements at the crack tips in fracture mechanics problem, which decrease the accuracy of the numerical results in areas very close to the crack ends. To overcome this, higher order elements and isoperimetric higher order elements have been used. Recently, special crack tip elements have been proposed and used in most of the numerical fracture mechanics models. These elements can drastically increase the accuracy of the results near the crack tips, but in most of the models only one special crack tip element has been used for each crack end. In this study the uses of higher order crack tip elements are discussed and a higher order displacement discontinuity method is used to investigate the effect of these elements on the accuracy of the results in some crack problems. The useful shape functions for two special crack tip elements, are derived and given in the text and appendix for both infinite and semi-infinite plane problems. In this analysis both Mode I and Mode II stress intensity factors are computed . Some example problems are solved and the computed results are compared with the results given in the literature. The numerical results obtained here are in good agreement with those cited in the literature. For the curved crack problem, the strain energy release rate, G can be calculated accurately in the vicinity of the crack tips by using the higher order displacement discontinuity method with a quadratic variation of displacement discontinuity elements and with two special crack tip elements at each crack end.     

瞬态热传导问题的精细积分数值流形方法研究

数值流形方法（NMM）因其特有的双覆盖系统（数学覆盖和物理覆盖）在域离散方面具有独特的优势,而精细时间积分法则具有精度高、无条件稳定、无振荡以及计算结果不依赖于时间步长等特点。发展了用于研究二维瞬态热传导问题的精细积分NMM。结合待求问题的控制方程和边界条件,并基于修正变分原理导出了NMM的总体方程,给出了求解此类时间相依方程的精细时间积分及空间积分策略,选取了两个典型算例对方法的有效性进行了验证,结果表明本文方法可以高效高精度地求解瞬态热传导问题。     

An effective approach for modeling fluid flow in heterogeneous media using numerical manifold method

A major challenge of modeling fluid flow in heterogeneous media is to model the material interfaces, which may be arbitrarily oriented or intersected with Dirichlet, Neumann, or other boundaries, making it difficult to mesh and accurately satisfy the boundary constraints. In order to solve these problems, we derived a new continuous approach in the numerical manifold method (NMM). NMM is an ideal method to handle boundaries, considering its flexibility and efficiency with fixed mathematical mesh and its integration precision. With the two‐cover‐meshing system, we construct physical covers containing gradient jump terms defined as extended degrees of freedom to realize the refraction law across material interfaces. In the global equilibrium equations, the jump terms are naturally considered with the energy‐work seepage model. In this approach, high accuracy is expected from the newly constructed jump function together with simplex integration. Moreover, high mesh efficiency is realized by fixed triangular mathematical mesh with algorithms fully considering interfaces intersecting with Dirichlet, Neumann, or other boundaries and simplex integration on elements in arbitrary shapes. The new approach was coded into our NMM fluid flow model. We calculated examples involving fluid flow through a domain including (1) a single interface, (2) an idealized fault represented by multiple material interfaces, (3) intersected interfaces, and (4) an octagonal inclusion. We compared the simulated results to analytical solutions or results with denser mesh to test precision and efficiency and thereby proved that the new approach is accurate, efficient, and flexible, especially when considering intense geometric change or intersections. Copyright © 2015 John Wiley & Sons, Ltd.