关于反証法在中学代数教学中的一些运用

在中学数学中,某些理論若用直接証明,便会太复杂,使学生不易掌握;另外,有时学生还不具备用来証明理論的一些知識,使理論不能得到应有的邏輯上的承认。在这种情况下,若用反証法来讲解是很有成效的,可以达到讲透教材的目的;可以給学生解答一些比較困难的問題。現在举几个例題說明如下: 例1.当我們讲高中代数第七章內“§94对数的定义”时,教材中写着“……我们可以証明(証明很繁,这里省略不讲),一定有唯一的值x=b能够使 2~b=5. 这里所說的“証明很繁”,指的是直接証明很繁,但是我們如果用反証法可証明如下,中学生接受起来并不觉得困难。 証.假设当x=b及x=b′时,都能使2~x=5成立,即2~b=5,2~(b′)=5。     

多個複變數函數論Ⅱ 超球雙曲空間中的一完整正交函數系

<正> §1.引言 在上一篇文章裹,我曾經具體地算出矩陣的雙曲空間中的完整正交函数系,在該文中引用了方陣羣的表示法的理論.在這一篇文章裹,我們將定出超球雙曲空間中的完整正交系.所用的方法和上篇稍有不同,我們除掉用一些正交羣的表示羣以外,還用了不變量論中的結果及若干與球調和(spherical harmonic)     

略談几何証明的邏輯联系

中学几何的理論与初等邏輯(形式邏輯)紧密地联系着。关于邏輯学中的名詞术語,一般不宜在几何課中向学生介紹,但对于教师本身来說,应当不断加强邏輯理論的修养,才可能有效地培养学生的邏輯思維,提高他們的推理論証能力。本文試从以下几个方面簡要地談談邏輯的証明在几何証明中的体現。一、証明的涵义与結构人們对于客观事物的属性的肯定或否定的思維形式叫做判断。引用其他真确的判断來証实某一判断的真确性,叫做对于这一判断的証明(本文前后所称証明同此义)。几何教材中便是引用前面的定义、公理、定     

“抽屜原则”及它的一些应用

在这篇短文里,我們向讀者介紹一个在数論中用到的原則,即所謂“抽屜原則”;应用这个原則,我們先証明某些用有理数去迫近实数的定理;再进一步証明一种不定方程——貝尔方程——的解的存在,並介紹一下与貝尔方程     

关于解析几何教学的几点注意

本文拟环繞解析几何中的一些概念,关于在数学教学中如何对待“直观与論证”談一些个人的看法。內容包括:一、数学中的邏輯論証及直观說明;二、解析几何教学中一些問題的商榷;三、关于綫段的量的一个定理;四、关于三角形面积公式的一个証明;五、关于二次曲綫中心的定义問題。一、数学中的邏辑論证及直观說明先談談数学中的邏輯論証。通常在数学中的論証属于形式邏輯中論証的范畴。形式邏輯中的任何証明都是由下列三部分构成:(一)論題,(二)論据,(三)論証。論題是需要加以証明的判断,論据是被用来作为論題底充足理由的諸判断,論証是組成从論据推出論     

示嵌类与上同調运算

<正> 大家知道,在代数拓扑学里的許多不变量,諸如同伦羣、同調羣以及上同調运算之类等等,它們都是属于同伦性貭的;而奠正的属于拓扑不变但非同伦不变的所謂“純”拓扑不变量,一直到現在为业我們却还知道的很少,只是零星的有一些.在探寻这种所謂“純”拓扑不变量的研究中,只是吳文俊才提供了一个較一般的方法.以下我們就来簡单地追述一下吳文俊在这方面的工作.     

周期羣的伯恩賽德問题

1902年英国数学家W.伯恩賽德提出了关于周期羣理論的一个問題。随后,这个問題在代数学家們中間获得了广泛的声名,因为羣論的許多問題看来都是与这个問題有关的(参閱[1],[2])。尽管有过許多尝試,这个問題只对几种特殊情况才获得了正面的解答。只是到1959年由諾維柯夫院士发展了早先他在解决一系列羣論算法問題(恆等問題,共軛問題和同构問題)中所采用的方法,才获得了这个問題的反面解答(参閱[3])。为了論述这个問题和所得到的結果,我們来复习有关羣論的若干定义。所謂羣是指由任意性貭的元素所組成的一个非空集合G,其中定义了一种运算,叫做“乘法”,它滿足以下的要求:     

关于图上作业法

这篇文章共分三小节,分別討論三个不很連貫的內容。第一小节为物資調运图上作业法基本定理的証明。这个定理,已經有很多人証明了很多次了,为什么还要多此一举呢?这是因为,此一重要定理虽然有很多人証明了很各次,但在証明中省有同一的疏漏之处,而且是并不算小的疏漏,所以就还需要于此再証一次。第二小节为正则流向图的唯一性。这个問题,也曾有不少人討論过,但只是得到了在单圈时正則流向图是唯一的充要条件。在本文中,将給出在一般情况下正则流向图是唯一的充要条件。第三小节为双曲綫图上作业法。关于双曲线图上作业法,我們只看到了发站只有两个,叁个时的情形,在本文中,将对多个发站时的情形加以討論。但我們的討論还很不成熟,只是在理論上解决了問題,离付諸实用尚很远。     

多面体的体积

一、引言本文是前两篇文章“綫段的长度”、“多边形的面积”(分别发表于本刊今年九月和十月号)的續篇。多面体是以簡单多边形为面的封閉空間图形,和面积的概念相似,多面体的体积定义是:多面体A的正实值函数V(A),它滿足下面两条件:ⅰ)两合同的多面体的体积相等,即A≡B时,V(A)=V(B);ⅱ)如果把多面体A剖分成两个多面体B和C,則V(A)=V(B)++V(C)。完全和多边形面积理論相似,从这个定义出发,我們能够証明多面体的体积是存在的,如果我們进一步把边为单位长的立方体的体积定义为1的話,則任意多面体的体积还是唯一的。然后,沿着中学立体几何教科书中的途径,我們能証明許多常見的多面体的体积公式。     

关于序数的一个定义

1.引言在本文中我們提出序数的一种定义。这一定义有两个优点,即比較簡单同时又是把自然数作为具有下述两性貭的最小集合A的元素定义的明显推广: (ⅰ) 空集0∈A且 (ⅱ) 若x∈A,則x+1∈A(此处x+1=xU{x})。通过添加一个第三条件,首先定义了序数集合Q,然后定义序数为Q的元素或Q自身。正如上述自然数定义結合着通常的归納原則一样,我們的定义結合着超穷归納原則。对于序数性貭的証明,这是仅有的最为有力而且直观的工具,其合用性之由定义得出大大地簡化了理論的发展。不过,看来我們的定义只在某些类型的集論中方是可能的,即只在許可存在非常大的集合的集論中方为可能。根据这个理由,我們先对我們在其中工作的公理系統作一个簡短的描述。以后在第6中再比較充分地討論这一系統及其与旁的系統的关系。     

运算■的不可分解性

<正> §1.引言 Steenrod和Thomas在[5]及[6]中証明了,每一个reduced power operations都能够用四种原始型运算(在上同調羣中的加法,由系数羣間的同态所导出的上同調羣間的同态,U-积,联系于系数军的正合序列0→A→B→C→0的Bockstein-Whitney上边界运算),以及Steenrod p-powers     

关于不完备空間的“共鳴定理

<正> 在完备的赋范綫性空間,也即Banach空間中,有一个我們熟知的极为重要和有广泛应用的定理,那就是“共鳴定理”.正如我們所熟知的那样,无論該定理的証明方法各有不同,但是总是必須要用到空間的完备性的假設.然而,如果当我們所涉及的空間并不知道它是否完备或者就是不完备的时候,我們自然就会提出疑問:“共鳴定理”是否仍是成立?     

提高初二学生証題能力的体会

初学几何証明題的困难究竟在哪里?从学生的反映,作业中发現的問題以及平时观察了解,不外有下列几点: 1.缺乏叙述問題的能力。当学生初接触几何証明,就会感到这种証明的叙述过程不同子在算术或代数里的解題方法,不习慣于层层推理論証,叙述吋詞語不通,例如把“以A点为圓心,4cm为半径作弧交CE于B”。叙述成:“以A点为圆心,半径4cm为弧到B”。往往用冗长的文字叙述代替用数学符号来表达問題。对于常用的詞,如相同与相等、平分与平均、含有与具有等往往区别不清。 2.概念不清,表达錯誤。我們常見学生把△ABC三内角和等于180°写成△ABC=180°;把图1中的∠BDC和∠CEB写成∠D和∠E,或写成∠1和∠2(图中未标∠1,∠2);分不清三角形的高与垂綫;     

对中学数学教学联系实际的一些看法——从图上作业法誕生过程談起

图上作业法是由羣众中来的一个优秀的数学方法,数学通报1958年11期已作了介紹,經过了理論上的总結提高后,目前它已經在很多有关物資調运的部門中得到推广,而且国家經委已批轉了中国科学院数学研究所关于推广图上作业法的建議,即又回到羣众中去了,它的誕生及成长过程是这样的丰富多彩,激动人心,因而不能让它默默无聞,必須公之众目,在中国数学会北京分会举办的一次报告会上,我介紹了这一工作,并談了自己的一点体会,同志們认为还不无有益之处,因此我重新把它整理了一下,提出来和大家作进一步的研討。意見很不成熟,希望同志們多加指正,为了避免重复,关于图上作业法的方法和理論証明,請看1958年11期数学通报,这里就不重述了。 (一) “实践-理論-实践”的公式在数学中的应用为什么我从图上作业法談起呢?因为它具有下述的三方面特点:     

关于物資调运工作的表上作业法

我們和其他兄弟院校一样,为了貫彻党的教育方針,深入到各厂矿企业調查研究生产实践中的数学問題。我們小組在玉泉路汽車場战斗了一个月,在党的領导和車場同志热情支持下,完成了战斗任务,对物資調运工作的表上作业法取得了一些經驗和体会。看到1958年12月号数学通报上中国科学院数学研究所第三室的“物資調运工作中的表上作业法”一文(以后簡称上文),我們願意在这个基础上,提出一些問题,供大家参考。为方便起見,除註明者外,采用和上文同样的名詞和符号。 (一) 这一部分我們主要是对上文中所提到的检驗数求法的理論根据(包括閉路的存在和唯一性),給以不同的証明。     

范德曼德行列式的一个性貭

在我們研究工程控制論的最佳控制問題时,需要討論n阶行列式与n阶范德曼德(Vandermonde)行列式之间的关系;(1) 的特征是,从第i(i=1,2,…,n)行开始各元的方次比 (2) 相应的各元增加一次;引用△_n~[i]表示(1),其中[i]表示第i行开始增加方次。对此,我們建立以下定理: 定理.其中i的下脚α是(1)中比(2)增加一次方的各元所占的全部行数,α=n-(i-1)。 証.用数学归納法証,     

微积分学中值定理

在数学分析的学习和研究过程中,微积分学中值定理,象一条紅綫一样貫串始終,联系着它的概念、理論和应用:成为数学分析基础理論的核心。我們把它敘述为“微积分学中值定理”(我們这样称呼它): 若1°函数f(x)在区間[a,b]上連續; 2°函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数;     

实数的連續性

在高中代数課本第二册83。“关于极限的定理”这一节中,列举了关于极限的六个定理。除了第二个定理外,其余五个定理,在任何一本数学分析課本中,都可找到証明。但是,对于第二个定理,通常的数学分析課本上,有着不同的处理方式:有的采取作为不加証明的基本命題;有的从实数的連续性出发,当作一个定理来証明它。由于对实数連續性的叙述,有各种不同方式,因而,对这个定理的证明,也是各式各样的。这里,我們将从高中代数課本第一册的实数字义出发,介紹这个定理的証明。实数是什么?可以有各种不同方式来回答这个問題:中学代数是用无限小数来作为实数定义的。而在高等数学中,最常见的有两种方式:按照德得金(Dedckind)的实数理论,实数是有理数的分划;按照康脱(Cantor)的实数理論,实数是有理数的正則序列的类。可以証明,这几种定义是等价的。由于定义实数     

关于圓内具有两个例外值B的全純函数

<正> 引言 1.对于在单位圓內的亚純函数f(z)熊庆来教授借助于密指标N(r,a)导入例外值B的定义,而于f不取0且容許1为例外值B的全純函数,他証明了一个界囿定理有类于著名的灼特基(Schottky)定理. 本文于值1的假設易f为f~((k))时,我們証明一个定理类似于密朗达一伐利隆(Miranda-     

反证法

反証法重要嗎? 直接証法与反証法好比是通向同一目的地的两条道路。前者径直,后者曲折。如若直路好走,我們当然选择直路;但是,如果直路布滿荊棘,崎呕难行,那我們就宁愿走那条虽曲折但較好走的路了。至于直路閉塞断絕,那就非走弯路不可了。在証明时所发生的可能情况与此甚为类似。有时虽能用直接証法,但反証法来得简便,我們宁愿用反証法;亦有时根本就不能