四边形的两个优美性质

文[1]发现了平面四边形涉及"内心"的两个美妙性质,受其启发,本文得到关联"旁心"的两个同样优美的类似结论.     

四边形两个优美性质的深入探究

文[1]、[2]分别给出了圆内接四边形中有关三角形内切圆、旁切圆的两个几何恒等式,并综合运用三角、代数知识给出了证明.这两个恒等式"优美"的几何背景是什么?如何用几何方法给出它们的证明?笔者对此作了进一步探究,得到了圆内接四边形一个非常优美的几何性质,由此很容易证得文[1]与文[2]中的有关性质.     

涉及三等分角线的两个重要结论

涉及三等分角线的两个重要结论李平龙（江苏省灌云县中学）莫勒定理［１］是涉及三角形中三等分角线的著名定理，被数学家奥克莱赞为：“数学中最令人吃惊而又全然意外的定理之一，如同明珠一般，鲜有能与之匹敌者．”对此定理的研讨至今仍经久不衰．文［２］、［３］分别...     

谈圆内接四边形的几个优美三角恒等式

文[1]介绍了锐角△ABC中的如下两个不等式cos(B-C)cos A+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥6(1)cos Acos(B-C)+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥23(2)由此,笔者发现了下列有趣结论.定理1在圆内接四边形ABCD中,若A、B、C、D都不为直角,则有cos(B-C)cos A+cos(coCs-B D)+cos(cDos-C A)+cos(coAs-D B)=0(3)证明由于四边形ABCD为圆内接四边形,∴A+C=B+D=180°,∴cosc(oBs-A C)+cos(cCos-B D)+cos(cDos-C A)+cos(cAos-D B)=cos[B-c o(s18A0°-A)]+cos(cBos-B A)+cosc[o1s8(01°8-0°-B-A)A]+cocso(s(1A80-°-B B))=-coc…     

关于四边形的两个定理

三角形中我们有余弦定理表示边与角的关系,在四边形中也有类似的定理. (1)中线定理 如图凸四边形ABCD中,E、F、G、H是各边中点,EF、GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2     

两个优美的几何不等式

文[1]给出如下一个优美几何不等式. 已知ra,rb,rc是△ABC的分别以a,b,c为邻边的旁切圆的半径,则 ra-rb2+rb-rc2+rc-ra2≥a-b2+b-c2+c-a2. 受其启发,笔者得到了如下两个一等式.     

正多边形的两个优美定值

文[1]中的定理1如下： 若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均为定值．     

两个优美不等式的推广

本刊文[1]介绍了一组俄罗斯杂志《中学数学》刊登的不等式题,其中有下面的瓦西列夫不等式和彼得罗夫不等式:     

两个优美的几何恒等式

1预备知识 引理1△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则sinA sinB sinC=S/Rr。     

两个优美不等式的推广

本刊文[1]介绍了一组俄罗斯杂志《中学数学》刊登的不等式题，其中有下面的瓦西列夫不等式和彼得罗夫不等式：     

双圆四边形的一些有趣结论

既有内切圆,又有外接圆的四边形,称为双圆四边形。双圆四边形有一系列有益的结论,其中有几个结论曾作为竞赛题展现在数学爱好者面前,掌握这那结论,可以加深对这类几何图形的了解,增进学习兴趣。本文把这些结论介绍如下,供教学和课余活动的参考。结论1.双圆四边形的对边之和相等。     

对两个结论的注记

文[1]在推证正弦定理时,得到了三个“副产品”,其中前两个是:结论1在△ABC中,sinA sinB sinCcosA cosB cosC<2;结论2在△ABC中,1相似文献   

涉及两数平均的两个不等式

正在文[1]中,杨克昌先生给出了关于正数a、b的表达式(a+1/a)(b+1/b)与这两个正数的算数平均及几何平均的一组条件不等式.受其启发,笔者得到了涉及两数平均的两个新不等式:     

涉及两数平均的两个不等式

在文[1]中,杨克昌先生给出了关于正数a、b的表达式（a＋1/a）（b＋1/b）与这两个正数的算数平均及几何平均的一组条件不等式．受其启发,笔者得到了涉及两数平均的两个新不等式：     

两个正三角形引出的几个结论

如图一,B为线段AC上一点,在AC的同向作正三角形ABD和正三角形BCE,这个构图虽然很简单,但却能得到多个有趣的结论.在以下的讨论中,同一个字母表示的意义相同,再次使用时不再重复说明.结论一如图一,连AE和DC,则AE=DC.     

三变量独立性的两个结论

本给出了三随机变量相互独立与条件独立的两个结论，其中结论2表明，三变量如果两两条件独立，则三变量一定相互独立。     

一道题引出的两个结论

2013年陕西高考理科有一题是：如图1,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=.我在探索该题多种解法的过程中,发现了圆的切线的两个有趣结论.结论在⊙O中,任作两条相交弦AB、CD,AB与CD交于E,若BC与AD不平行,过E作BC的平行线,     

抛物线中的一组优美结论

最近本人在研究抛物线中的有关定值问题时,得到了几个优美的结论,行之成文,供大家教学时参考.在本文中约定,用kAB表示直线AB的斜率,且所考虑的直线斜率均存在.     

两个结论的改进及引申

文 [1]所得外心、重心、垂心的结论非常优美 ,而内心和旁心的结论却难以记忆 ,可操作性不够 .下面将文 [1]中关于内心和旁心的结论加以改进 ,再添加关于“中心”的结论 .1　内心定理 1　若O为△ABC所在平面上一点 ,则O为△ABC内心的充要条件为AO·(e1+e2 ) =BO·(e2 +e3) =CO·(e3+e1) =0 (其中e1,e2 ,e3分别为与CA ,AB ,BC同向的单位向量 ) .证　设非零向量a ,b的夹角为θ,则cosθ =a·b|a| |b| =a|a| ·e(其中e为与b同向的单位向量 ) .图 1　定理 1图如图 1,O为△ABC的内心 ∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ 4 ,∠ 5 =∠ 6 cos∠ 1=AO|AO…