Asymmetric stokes flows generated by the motion of a closed torus

Exact solutions of the Stokes equations are given for asymmetric flows produced by a closed torus which steadily translates along or rotates about a direction perpendicular to its axis of rotational symmetry in a quiescent viscous fluid. The force and couple acting on the body are calculated and the general motion of a closed torus is considered.

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Zusammenfassung Exakte Lösungen der Stokes'schen Gleichungen werden für eine asymmetrische Strömung angegeben, die von einem geschlossenen Torus in einer ruhenden zähen Flüssigkeit erzeugt wird. Dieser Torus bewegt sich entweder entlang einer Achse oder rotiert um eine Achse, wobei diese Achse jedesmal senkrecht zur Symmetrieaches des Torus steht. Die Kraft und das Moment die am Körper angreifen werden berechnet, und die allgemeine Bewegung eines geschlossenen Torus wird untersucht.

     

Flow due to an oscillatory free stream past a rotating disk

Summary In this paper, an exact solution of the Navier-Stokes' equations for the flow due to the harmonic oscillations of a free stream past a rotating disk is presented. The differential equations for this flow, valid for all amplitudes and frequencies of oscillations, are obtained. Analytical-numerical solutions are developed for low and high frequency of oscillations and enough numbers of terms are used in the calculation to give the solution a satisfactory accuracy over the entire flow region.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine exakte Lösung der Navier-Stokes' schen Gleichungen für die durch die harmonischen Schwingungen einer freien Strömung an einer rotierenden Scheibe verursachte Strömung angegeben. Die Differentialgleichungen für die Strömung, gültig für alle Amplituden und Oszillations-frequenzen, werden erhalten. Analytisch-numeriche Lösungen werden für hohe und niedrige Oszillations-frequenzen entwickelt und eine genügende Anzahl von Gliedern wird in der Berechnung gebraucht, um der Lösung eine befriedigende Genauigkeit über den ganzen Strömungsbereich zu geben.

     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

A solution-scheme for the convective-diffusion equation

This paper presents a versatile solution-scheme for the convective-diffusion equation. A small-time, asymptotic, solution for an instantaneous point source of scalar contaminant is expressed as a three-dimensional, Hermite polynomial expansion and manipulated, using superposition, to generate the contaminant concentration field that results at larger times and for arbitrary, continuous or instantaneous, source contaminant distribution. This equation is commonly used to model contaminant dispersion in complex environmental flows so that the considerable degree of generality, flexibility and efficiency of this solution-scheme highly commends it to this application. The off-diagonal terms in the diffusivity tensor and the non-zero gradient of this term and the mean-velocity field are shown to make a significant contribution to the evolution of the contaminant concentration field resulting from the instantaneous release of contaminant from a point source.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit gibt eine vielseitig brauchbare Lösungsmethode für die konvektive Diffusionsgleichung. Die für kurze Zeiten gültige asymptotische Lösung für eine plötzlich wirkende Punktquelle der diffundierenden Skalargröße wird als dreidimensionale Entwicklung in Hermite'schen Polynomen dargestellt. Dies wird benützt um das Feld für größere Zeiten darzustellen, für beliebige, kontinuierliche oder diskontinuierliche Quellverteilungen. Diese Gleichung wird allgemein benützt als Modell für Dispersion von Schadstoffen in komplizierten Strömungen bei natürlichen Umgebungsverhältnissen; die Allgemeingültigkeit, Anpassungsfähigkeit und Wirksamkeit der Lösung machen die Methode für diese Anwendungen besonders geeignet. Es wird gezeigt, daß die Nichtdiagonalterme des Diffusionstensors sowie die nichtverschwindenden Gradienten dieses Termes und der mittleren Geschwindigkeit wesentliche Beiträge zur Entwicklung des Feldes leisten, die von der Punktquelle erzeugt wurde.

     

Singular perturbation analysis of an integrodifferential equation modelling filament stretching

A formal asymptotic scheme is used to determine the leading order behavior of a certain singularly perturbed integrodifferential equation which models the process of stretching a polymer filament. The inner solution describes the process during a boundary layer in time which occurs at the onset of elastic recovery. The outer solution describes the long term behavior of the elastic recovery, and a bound on the ultimate recovery is determined.

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Zusammenfassung Ein formales asymptotisches Schema wird benutzt, um das Verhalten der Leitordnung einer gewissen singular gestörten Integro-Differentialgleichung, die als Modell für den Dehnungsprozeß einer Polymerfaser dient, zu bestimmen. Die innere Lösung beschreibt den Prozeß in einem zeitlichen Randgebiet, das am Anfang der elastischen Rückstellung auftritt. Die äußere Lösung beschreibt das Langzeitverhalten der elastischen Rückstellung, und eine Grenze für die endgültige Rückstellung wird bestimmt.

     

Mixed convection similarity solutions on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer on a horizontal plate is considered for the two separate cases when there is a uniform free stream with the plate held fixed and when there is no outer flow but the plate is moving continuously with a uniform velocity along its length. In both cases we assume that power law temperature distribution on the plate which enables the governing equations to be reduced to similarity form. For the first problem we consider the range of buoyancy parameter for which there are dual solutions, showing how these dual solutions arise from a bifurcation and how the lower branch of solutions terminate as the buoyancy parameter tends to zero. For the second problem we show that there is a unique solution for all positive values of the buoyancy parameter and that for negative values the solution terminates at a singular solution with algebraic decay.

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Zusammenfassung Die Grenzschicht an einer horizontalen Platte mit gemischter Konvektion wird für zwei Fälle untersucht: Für eine ruhende Platte bei gleichförmiger Außenströmung und für eine Platte, die sich kontinuierlich mit konstanter Geschwindigkeit in ihrer eigenen Ebene bewegt, ohne Außenströmung. Für beide Fälle wählen wir ein Potenzgesetz für die Temperaturverteilung entlang der Wand, für welche die Grundgleichungen eine Ähnlichkeitslösung zulassen. In der ersten Problemstellung betrachten wir einen Bereich des Auftriebsparameters, für den zweifache Lösungen existieren. Wir zeigen, wie diese doppelten Lösungen aus einer Bifurkation entstehen und wie der untere Lösungszweig endet, wenn der Auftriebsparameter gegen Null strebt. Für die zweite Problemstellung zeigen wir, daß eine eindeutige Lösung existiert für alle positiven Werte des Auftriebsparameters und daß für negative Werte eine singuläre Lösung mit algebraischem Zerfall erreicht wird.

     

On the propagation of pressure pulses in circular elastic rods

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den radialen und axialen Dehnungen in einem einseitig unbegrenzten elastischen Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Die Oberfläche des Stabes ist in radialer Richtung frei von Spannungen; in normaler Richtung wird an dem einen Ende eine Druckspannung als zeitlicher Sprungimpuls eingeprägt, wobei die Scherspannung an diesem Ende stets zu Null angenommen wird. Die exakte Lösung wird dargestellt durch komplexe Laplace-Umkehr-Integrale, welche für grosse Fortpflanzungsentfernungen asymptotisch gelöst werden. Insbesondere werden Lösungen gefunden für die Umgebung der Vorläufer der Welle und für die Anstiegsflanke der Druckwelle.     

An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

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This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

Effects of high electrical conductivity in two-dimensional plasma flows

Zusammenfassung Der Einfluss endlicher elektrischer Leitfähigkeit auf die Kopplung zwischen Magnet-feld und Geschwindigkeitsvektor in einer ebenen, sonst dissipationsfreien Plasmaströmung wird theoretisch untersucht. Die Strömungsgleichungen werden mittels Reihenentwicklung nach negativen Potenzen der (hohen) magnetischen Reynoldszahl linearisiert. Als Lösung nullter Ordnung wird eine stationäre, zweidimensionale, dissipationsfreie Strömung durcy einen parallelen Kanal verwendet, die zur Klasse der «aligned-flow» problems,vB ₀, gehört. Das linearisierte Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe geeigneter Transformationen durch eine TRICOMISCHE Differentialgleichung samt Rand-und Anfangsbedingungen für nur eine Strömungsvariable des gestörten Problems ersetzen, die der Diffusion des Magnet-felds aufgrund der endlichen Leitfähigkeit durch einen inhomogenen Term Rechnung trägt. Zur Lösung dieser Gleichung wird ein Integraltransformationsverfahren angegeben, das für eine grosse Klasse von über den Kanal variablen Magnetfeldern nullter Ordnung anwendbar ist. Ein solcher Fall wird explizit behandelt und es wird gezeigt, dass durch die Lösung alle anderen Strömungsvariablen 1. Ordnung eindeutig bestimmt sind. Für den Fall konstanten Magnetfeldes in nullter Ordnung lässt sich der Kontakt mit bestehender einschlägiger Literatur herstellen.     

The flow due to the motion of an object through a non-diffusive stratified fluid confined between horizontal planes

Summary Very slow translation of an object through a stratified fluid confined between horizontal planes causes a very long upstream wake just as in the case when the fluid is unbounded. If the Froude number is exceedingly small and the Reynolds number is not too small, the inviscid core of the wake is bounded by boundary and shear layers which merge into the core far upstream to make the entire upstream motion viscous. We present here a solution which is uniformly-valid upstream of the obstacle. The downstream motion for an object which is a semi-infinite rectangular prism is uniformly viscous dominated, and a solution may also be constructed in that region. We further show that no downstream-growing boundary layers are possible in any such small-Froude-number flow.

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Zusammenfassung Die sehr langsame Translation eines Körpers in einem geschichteten Fluid, der durch zwei horizontale Platten begrenzt wird, verursacht eine sehr lange Delle stromaufwärts, genau wie im Fall einer unbegrenzten Flüssigkeit. Wenn die Froude-Zahl äusserst klein ist, und für nicht zu kleine Reynolds-Zahl, wird der reibungsfreie Kern der Delle durch Grenz- und Scherschichten begrenzt, die weit stromaufwärts mit dem Kern zusammenfliessen, so dass die ganze Strömung zähigkeitsbehaftet wird. Es wird hier eine Lösung gegeben die weit stromaufwärts gleichförmig gültig ist. Die Bewegung stromabwärts ist für einen Körper in der Form eines halb- unendlichen rechteckigen Prismas gleichförmig durch die Zähigkeit beherrscht, und es kann eine Lösung für dieses Gebiet konstruiert werden, wird auch gezeigt, dass für derartig kleine Froude- Zahlen keine Grenzschichten möglich sind, die stromabwärts anwachsen.

     

A generalized spherical harmonics solution basic to the scattering of polarized light

A generalized spherical harmonics solution for the azimuthally symmetric component of a Fourier representation of the vector of Stokes parameters basic to the scattering of polarized light in a plane-parallel layer is reported. The final result is continuous in both independent variables and is valid for a general class of scattering matrices. Computational aspects of the developed solution are discussed, and numerical results for the relevant Stokes vector are given for several realistic cases.

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Zusammenfassung Es wird über eine verallgemeinerte Lösung in Kugelfunktionen berichtet für die azimutalsymmetrische Komponente der Fourier-Darstellung eines Vektors von Stokes-Parametern, die für die Theorie der Streuung von polarisiertem Licht in ebenen parallelen Schichten grundlegend ist. Das Endresultat ist kontinuierlich in beiden unabhängigen Veränderlichen und ist für eine allgemeine Klasse von Streumatrizen gültig. Rechnerische Aspekte der gewonnenen Lösung wurden diskutiert, und numerische Lösungen für den relevanten Stokes-Vektor werden für verschiedene realistische Fälle angegeben.

     

Discrete methods for boundary value problems with applications in plate deflection theory

In this report we survey numerical techniques of order 2, 4 and 6 for the solution of a two-point boundary value problem associated with a fourth-order linear ordinary differential equation. A sufficient condition guaranteeing a unique solution of the boundary value problem is also given. Numerical results are tabulated for two typical numerical examples and compared with some known methods including the shooting technique employing the classical fourth-order Runge-Kutta method.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden numerische Methoden der Ordnung 2, 4 und 6 untersucht zur Lösung eines Zwei-Punkt Randwertproblemes für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung vierter Ordnung. Es wird eine hinreichende Bedingung gegeben die die eindeutige Lösung der Randwertaufgaben gewährleistet. Tabellen der numerischen Resultate werden für zwei typische Beispiele angegeben und mit gewissen bekannten Methoden verglichen, einschliesslich der Einschiess-Technik die die klassische Runge-Kutta Methode vierter Ordnung benützt.

     

Finite elastic deformations of bodies with irregular shapes

Zusammenfassung In der Theorie endlicher Deformationen elastischer Festkörper sind jene Probleme, für die exakte Lösungen verfügbar sind, beschränkt auf Körper, deren gespannte und entspannte Zustände durch Koordinatenflächen eines der bekannten und allgemein verwendeten Koordinatensysteme begrenzt sind, und die daher symmetrische Eigenschaften in hohem Grade besitzen. Diese Abhandlung entwickelt eine Methode, mit deren Hilfe man Lösungen für endliiche Deformationen erhalten kann, und zwar für Körper, deren nichtdeformierte Form eine Perturbation der nichtdeformierten Form eines anderen Körpers ist, für den eine endliche Deformationslösung schon verfügbar ist. Diese Methode wird verwendet zur Bestimmung einer Lösung zu dem Problem der endlichen Streckung und Torsion eines elliptischen Zylinders, dessen Verhältnis von Hauptachse zu Nebenachse nahezu eins ist. Im Weiteren erleichtert diese Methode eine Analyse des Problems einer endlichen Ausdehnung für zwei Fälle achsensymmetrischer Körper: 1. Der Körper ist ein Kreiszylinder in allen Punkten ausserhalb eines Streifens endlicher Länge, wo seine nichtdeformierte Form eine Perturbation des Kreiszylinders ist. 2. Der Körper wird erhalten durch Rotation einer Sinuskurve um die Symmetrieachse.     

A tenth-order theory of stretching of transversely isotropic sheets

Summary The problem of determining three-dimensional Poisson's ratio effect corrections for two-dimensional plane stress theory is solved approximately by assuming equilibrium stress systems with parabolic variations in thickness direction of the primary face-parallel stresses. An application of a variational theorem for stresses and displacements is shown to lead to a tenth-order system of two-dimensional differential equations for stress measures and certain weighted averages of displacements components. It is further shown that the solution of the tenth-order system can be expressed in terms of a bi-harmonic function, in conjunction with the solutions of one second-order and one fourth-order differential equation, involving Laplace operators only.

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Zusammenfassung Das Problem der drei-dimensionalen Korrekturen für die zwei-dimensionale Theorie des ebenen Spannungszustandes wird, durch die Anwendung eines Variationsprinzips für Spannungen und Verschiebungen approximativ auf ein zwei-dimensionales Problem von zehnter Ordnung reduziert. Es wird weiterhin gezeigt das die Lösung dieses Systems ausgedrückt werden kann durch eine Bi-Potential-Funktion, zusammen mit der Lösung einer Gleichung zweiter Ordnung, und der Lösung einer Gleichung vierter Ordnung, die beide nur Laplace Operatoren enthalten.

     

General axisymmetric solution of the creeping motion equations in the presence of free surfaces and gravitational forces

The Navier Stokes equations for slow motion of an incompressible viscous flow in an axisymmetric tube under gravity are solved in terms of a pair of potential functions. Their gauge transformations and scaling properties are discussed and the velocity field of a fluid with a free upper surface at constant position is calculated from tube geometry and the outlet pressure. For numerical solution a polynomial approximation is given which is stable against the uncertainties of the boundary conditions as is demonstrated for a simple example.

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Zusammenfassung Die linearisierten Navier-Stokes Gleichungen für eine imkompressible zähe Flüssigkeit im Schwerefeld werden für den axialsymmetrischen Fall mit Hilfe zweier Potentialfunktionen gelöst. Ihre Eichtransformationen und Skalierungseigenschaften werden angegeben. Die Lösung wird dazu benutzt um das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit mit ortsfester freier Oberfläche in einem axialsymmetrischen Gefäß aus der Geometrie und dem Auslaßdruck zu berechnen. Zur numerischen Lösung wird eine polynomiale Näherung angegeben. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die Methode gegen die Unsicherheiten der Randbedingungen stabil ist.

     

Large plane deformations of thin elastic sheets of neo-Hookean material

Zusammenfassung Es werden grosse ebene Verformungen dünner elastischer Scheiben aus Neo-Hookeschem Material betrachtet und eine Methode der sukzessiven Substitutionen entwickelt, um Probleme im Rahmen der zweidimensionalen Theorie endlicher ebener Spannungszustände zu lösen. Die erste Näherung wird durch lineare Randwertprobleme für zwei harmonische Funktionen bestimmt, und sie wird asymptotisch angenähert für sehr grosse Dehnungen in der Ebene der Scheiben. Die zweite und die höheren Annäherungen werden durch Lösung Poissonscher Gleichungen gewonnen. Es werden verschiedene Beispiele behandelt, und für rotationssymmetrische Verformungen wird gute übereinstimmung zwischen den Näherungen und den exakten Lösungen gefunden.     

Stokes flow past a slightly deformed fluid sphere

Summary The Stokes flow past a fluid spheroid whose shape deviates slightly from that of a sphere, is examined. To the first order in the small parameter characterizing the deformation, an exact solution is obtained. As an application, the case of a fluid oblate spheroid is considered and the drag experienced by it is evaluated. Special well-known cases are then deduced.

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Zusammenfassung Die Stokes-Strömung um einen Flüssigkeitstropfen, der nur leicht von einer perfekten Kugel abweicht, wird untersucht. Eine Lösung wird gefunden, die exakt ist bis zur ersten Ordnung im Deformations-Parameter. Als Beispiel wird der Strömungswiderstand eines abgeplatteten Flüssigkeits-Sphäroids berechnet. Die Methode liefert für bekannte Spezialfälle korrekte Lösungen.

     

Non-Newtonian flow past a stretching plate

In this paper we have considered the study of boundary layer flow past a stretching plate in visco-elastic fluid (Walters' liquid B Model).The solution of boundary layer equation of motion past a stretching plate is obtained by using similarity parameter method. The influence of visco-elastic parameterk ₀ ^* on the flow velocity is investigated.

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Zusammenfassung Die Arbeit behandelt die Grenzschichtströmung um eine gespannte Platte in einer viskoelastischen Flüssigkeit (Walters Flüssigkeitsmodell B).Die Lösung der Grenzschicht-Bewegungsgleichung für eine gespannte Platte wird durch die Ähnlichkeits-Parametermethode erzielt. Der Einfluß des viskoelastischen Parametersk ₀ ^* auf die Strömungsgeschwindigkeit wird untersucht.

     

On establishing a two-term scattering law in the theory of radiative transfer

The inverse problem for a linearly anisotropically scattering model in the theory of radiative transfer or neutron transport is solved, in terms only of surface quantities, for a finite slab.

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Zusammenfassung Das inverse Problem für ein linear anisotropes Streumodell in der Theorie der Strahlungsübertragung oder der Neutronen-Transporttheorie wird gelöst; für eine endliche Schicht wird die Lösung mit Hilfe von Oberflächengrössen ausgedrückt.

     

On the analytic structure of the Taylor-Maccoll conical-flow solution

Summary The conical flow solution for axisymmetric supersonic flow past cones has been found to be virtually independent of the ratio of specific heats when normalized in a certain way. A simple rational approximation to this flow is derived. The important singularities and the limiting behavior of the solution are also discussed.

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Zusammenfassung Die Lösung für die konische axisymmetrische Ueberschall-Strömung un einen Kreiskegel konnte durch eine gewisse Normalisierung praktisch vollständig unabhängig vom Adiabatenexponenten dargestellt werden. Eine einfache rationale Approximation wird für diese Lösung angegeben. Die wichtigen Singularitäten und das Grenzverhalten werden auch untersucht.