一个有趣的发现

一次偶然的机会 ,笔者发现两个小朋友甲和乙在玩儿一种扑克牌游戏 .每人手中都有一副扑克牌 (不含大、小王 ,共 5 2张 ) ,但两副扑克牌的顺序不一样 .游戏的规则是 :将一副扑克牌的上下两张同时抽出 ,如果这两张扑克牌点数相同 (例如 ,红桃 8和梅花 8的点数相同 ) ,就把它们甩在一边 ,下一轮不再使用 ,如果抽出的两张扑克牌点数不同 ,就把它们按着原来的上下顺序放在另一个位置重新摞好 ;再抽取第二对扑克牌 ,如果第二对扑克牌的点数相同 ,则把它们也甩在一边 ,下一轮不再使用 ,如果第二对扑克牌点数不同 ,则按着原来的上下顺序 ,放在第一对…     

一个有趣的发现

在100以内的两位数中,末位为1的数有: 11,21,31,41,51,61,71,81,91共九个,其中21,51,81为合数．注意到合数21和81有如下写法:21=21×10 1,81=23×10 1,由此联想提出问题:形如an=22n 1×10 1(n∈N)的数是否也是合数呢?     

一个有趣的发现及其推广

文(1)给出了椭圆上一点的切线的尺规作法，笔者在研究过椭圆外一点的切线时，得到一个很简捷的作法，并且对这种作法作了适当的推广。     

一个有趣的数列

奇数列 1,3,5,7,9,… (I)是大家熟悉的。如果每次从数列(I)的首项开始,依次取其2~0、2~1、2~2、2~3、…项,并按照原来的顺序排列起来,我们就得到了一个新的数列     

一个有趣的不等式

<正> 在数学中不等式的应用是很重要的。在本文中,我们对Hardy不等式作了有趣的推广。     

一个有趣的猜想

一个自然数 ,若它是不能被 3整除的偶数 ,把它的各位数字之和平方后得另一数 .所得之数若为偶数 ,把它的各位数字之和平方 ;若为奇数 ,把它的各位数字之和立方 ,这样经有限步的运算 ,最终必得 1!如 :872① 8+7+2 =17　　　　 172 =2 89奇② 2 +8+9=19193=685 9奇③ 6+8+5 +9=2 82 83=2 195 2偶④ 2 +1+9+5 +2 =19192 =3 61奇⑤ 3 +6+1=10 10 3=10 0 0偶⑥ 1+0 +0 +0 =112 =1共 6步 .又如 :2 5 2 64① 2 +5 +2 +6+4 =19192 =3 61奇② 3 +6+1=10 10 3=10 0 0偶③ 1+0 +0 +0 =112 =1.共 3步 .经有限个数的验算 ,上述猜想成立 .不知如何证明 ?或…     

一个有趣的不等式

利用凸函数的性质,证明了一个不等式     

一个有趣的结论

1　问题的提出 :1 995年文科第 2 6题如下 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x =1 2 ,P是l上一点 ,射线OP交椭圆于点R ,又点Q在OP上且满足｜OQ｜·｜OP｜=｜OR｜2 .当点在l上移动时 ,求点Q的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么曲线 .其答案是 :Q的轨迹方程为(x -1 ) 2 +y223=1 (其中x ,y不同时为 0 ) .从上面答案我们也许看不出什么有趣的东西 ,但将上面答案展开得 :x22 4+y21 6=x1 2 ,并对比已知条件中两条曲线的方程就不能不引起一个对数学问题感兴趣的人的思考了 .无独有偶的是 1 995年高考理科第 2 6题 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x1 …     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

一个有趣的不等式

苏联А·Б瓦西列夫斯基著《数学解题教学法》中有一道有趣的不等式: 证明:(3+3~(1/3))~(1/3)+(3-(3~(1/3))~(1/3)<2(3~(1/3)) 对于这种类型的不等式,常用两边多次自乘的办法,将其转化为有理不等式,但计算之繁冗,是不难想像的。该书的作者利用表格求出不等式两边的近似值(左边为过剩近似值,右边为不足近似值)分别取精确到1、0.1、0.01、…直到判定原不等式成立为止来进行证明。     

一个有趣的猜测

吕学礼主编《名师导学　高中数学精解　上册》Ｐ3 83 ,巧妙地解答了下一问题 :不查表求　ｃｏｓπ1 3 +ｃｏｓ3π1 3 +ｃｏｓ9π1 3 的值 .同时还获得了一伴生的结果 :ｃｏｓ5π1 3 +ｃｏｓ7π1 3+ｃｏｓ1 1π1 3 =1 -1 34.也许还有一系列这样的问题 .事实上 ,前述结果仅仅是下式ｃｏｓ π1 3 +ｃｏｓ3π1 3 +ｃｏｓ5π1 3 +ｃｏｓ7π1 3 +ｃｏｓ9π1 3 +ｃｏｓ1 1π1 3 =12 的一个拆分 .一般地 ,对∑2ｎｋ =1ｃｏｓ2ｋ-14ｎ+1 π =12 ( )作怎样的拆分可望得到一般结论呢 ?要回答这个问题 ,似乎并不容易 .限于水平 ,没能找到更简捷的办法 ,…     

一个有趣的应用题

在现实生活中，人们常用一块矩形木板紧靠一个墙角围成一个直三棱柱空间来堆放东西．由于忽视墙角的大小与木板的放法，所以随意而围效果不佳．这个多变量的最值问题，值得认真研究．     

两个有趣的几何发现

本文介绍笔者最近发现的两个有趣的几何结论. 定理1 若凸m边形内有互不相同且任意三点都不共线的n(n∈N*)个点,把这n个点再加上m边形的m个顶点共m+n个点作为顶点,连线组成互不重叠的小三角形,则一共可以组成的小三角形的个数为f(m,n)＝m+2n-2.     

等差数列的一个有趣性质

命题设a,b,d∈N ,且(d,b)=1,则首项为a,公差为d的等差数列中一定有无穷多项是b的自然数次幂.     

一个有趣猜想的证明

文[1 ] 提出了下述猜想 :若自然数n使 4n+ 1为质数 ,则有且只有n个不超过 2n的不同的自然数 :k1 ,k2 … ,kn(k′1 ,k′2 ,… ,k′n为相应的不超过 2n的剩余的n个不同的自然数 ) ,使∑ni=1cos2ki- 14n + 1 π=1 + 4n+ 14,∑ni=1cos2k′i- 14n+ 1 π =1 - 4n + 14.本文给出上述猜想的证明并且指出序列k1 ,k2 ,… ,kn 的特性 .记A={x∶x是模p的二次剩余 },B ={x∶x是模p的二次非剩余 }.引理 1　 ( [2 ])设奇素数p≡ 1 (mod4) ,则( 1 ) 1 ,2 ,… ,p- 1中有且只有p - 14个偶数为模p的二次剩余 ,p - 14个奇数为模p的二次剩余 ;( 2 ) 1 ,2 ,… ,p-…     

三角形的一个有趣性质

设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。     

一个有趣的整除问题

请问:23~(43)+43~(23)是否能被66所整除? 为回答这一问题,先来看一个较简单的问题:“3~5+5~3是否能被8所整除”,如果这一问题能有个一般方法获得解决,我们的问题也就可以相应得到解决了。首先因为3~5+5~3=243+125=368=46×8,所以8|(3~5+5~3)[注:记号“8|(3~5+5~3)”表示8能整除3~5+5~3,或3~5+5~3能被8所整除]这个方法很简单,但由于这个数中的底数和指数都比较小,乘方后所得之和也不很     

四边形的一个有趣性质

定理　设四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA与对角线 AC、BD的中点分别为 E、F、E′、F′、G、G′,△ BCD、△ CDA、△ DAB、△ ABC的重心分别为 A′、B′、C′、D′,则 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′、GG′七线共点 .证明　如图 1 ,连结EF、FE′、E′ F′、F′ E,图 1则可得 EF ∥=12 AC,F′ E′∥=12 AC.即有 EF∥=F′ E′,故四边形 EFE′ F′是平行四边形 ,于是 EE′、FF′互相平分 .类似地 ,可证明 FF′、GG′互相平分 .故 EE′、FF′、GG′相交于它们的中点 .令 EE′的中点为 I,连结 EC、D…     

一个有趣的切点坐标

本文介绍一个有趣的切点坐标及其应用,供读者参考。定理直线x/m＋y/n=1（mn≠0）与有心圆锥曲线x^2/p＋y^2/q=1（pq≠0,p,q不同时为负）相切的充要条件是切点坐标为P（p/m,q/n）。