韦达定理及其应用

韦达定理及其逆定理是中学数学中的重要基础知识,在解决数学问题时是经常要用到的一种工具。本文只就一元二次方程根与系数的关系来谈韦达定理及其应用。     

韦达定理及其变式的应用

一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根x1,x2与系数存在着某种特定的等式关系,即x1＋x2=-b/a,x1·x2=c/a,我们把它称为韦达定理。我们遇到的数学问题中,并不是所有问题都能直接运用以上两个式子就能得到的,往往需要通过运用这两个式子的一些变形才能达到求解的目的。下面举例说明。     

韦达定理应用中的思考

“韦达定理”作为初中数学中重要的定理之一,应用十分广泛,但是由于通常对于“韦达定理”的应用是通过大量的公式变形和混合运算来达到目的的,这就需要有一定的数学基础和运算能力,而直接在定理的两个公式和推导思路中另辟新径:将数与数的运算先转变为字母系数间的关系,在最后一步再代入系数,“一步登天”,似乎更为便捷,也易于理解.     

巧用韦达定理

韦达定理是揭示一元n次方程中根与系数关系的重要定理。但运用于解题有时却因条件比较隐晦而失之交臂,颇为可惜。这就需要我们在审题中,观察得更精细敏锐一些,联想更广泛丰富一些,尤其要注意把握住韦达定理的特征条件。那么,韦达定理往往另有用武之地。兹举几例说明如下:     

韦达定理的应用例谈

一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.这是著名的韦达定理,它在数学解题中有非常重要的应用.现举例说明.     

韦达定理的妙用

韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理 ,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 .　　一、在平面几何中的应用【例 1】　 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面…     

韦达定理的妙用

2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛试题： 已知椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2-1（a〉b〉0）,过左焦点F,并且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,若AF/FB=9＋4√2/7,则椭圆的离心率等于（ ）．     

巧用韦达定理解题

<正>已知一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个的根分别为x_1,x_2,求解有关x_1,x_2代数式的值是一元二次方程问题中的一种题型,解决此类问题通常有两种方法,分别是:方法 1先将已知的一元二次方程的根求出来,然后再带入到已知的代数式中计算;方法2将所求代数式进行适当的变形,然后利用韦达定理以及已知条件去求解出变形后的代数式的值.这两种方法各有利弊,方法 1思路简单,     

韦达定理在解析几何中的一点应用

在中学代数中韦达定理占有很重要的位置,它将一元二次方程的根与其系数有机地联系起来。然而它在解析几何中的应用往往被有的学生忽视。在牵涉到直线与曲线相交的问题中,它所起到的作用非同小可,可以大大减少计算量。下面针对这个问题,用例题来说明。例1:圆系x~2+y~2-2(m-1)x+2(m+1)y+2m~2-2=0。求证平行于直线y=-x与圆系相交的直线,它在各圆上截取相等的弦。     

浅谈韦达定理的教学

韦达定理“如果方程ax~2 bx c=0(a■0)的两根是x_1,x_2，那么，，x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a)”.它提示了一元二次方程根与系数的内在联系,无论在代数、几何、三角,还是在解析几何中都有着其广泛的应用。然而,许多学生虽然理解了韦达定理的内容,但不能正确加以运用。究其原因,笔者以为,主要是由于教师的教法不     

韦达定理的另探

从另一角度审视一元二次方程 ,引出根与系数关系 .不妨设ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )有两个不为 0的根ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1≠ｘ2 .∵　ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,∴　 ｃａ·1ｘ=-ｂａ-ｘ .令ｙ =ｃａ·1ｘ,则ｙ =-ｂａ-ｘ .画它们的图像如图 .　　由于它们的图像都关于直线 ｙ =ｘ对称 ,所以 ,可设两图像交于Ｍ (ｘ1,ｙ1) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 )点 .则　ｘ1=ｙ2 ,　ｘ2 =ｙ1,所以　ｘ1+ｘ2 =ｘ1+ｙ1=-ｂａ.ｘ1·ｘ2 =ｘ1·ｙ1=ｃａ.这就证明了韦达定理 (当ｘ1、ｘ2 均不为零的情况 ) .其它情况也可得出相应结论韦达定理的另探$山东省单县孙六张黄…     

巧用韦达定理例谈

韦达定理是一元二次方程根与系数之间关系的一个基本定理.有些题目,看似与一元二次方程并无关系,但倘若细心观察,巧妙变化,就能应用韦达定理,使问题迅捷获解. 1 巧求代数值 例1 实数a、b、c满足a=b 2～(1/2),2ab 2(2～(1/2))c2 1=0,求a b c的值. 解由已知条件得 a (-b)=2～(1/2),a·(-b)=2～(1/2)c2 1/2,根据韦达定理,a、-b可看为方程x2-(2～(1/2))x (2～(1/2))c2 1/2=0的两实数根,     

韦达定理与极坐标解题

高中数学新课程标准把《坐标系与参数方程》列入选修系列4,使得极坐标这一传统数学内容又回到了高中数学之中,为说明极坐标在解题中的应用,本文现谈谈韦达定理与极坐标解题,供高中师生教与学时参考.     

为何韦达定理不适用

题目已知圆x2＋y2=4与抛物线y2=ax（a＞0）相交于A、B两点，且IABI—2乃，求该抛物线的焦点坐标．解设A、B两点的坐标分别为：（11，yi），（xZ，yZ），由于题设条件中的圆和抛物线均关于2轴对称，故有2；一22＞0，y．—一yZ。＿．．I＿－．－－－－－－fu＿＿。＿M且Iyll—lyZI一一一J3，不妨取yi一J3，趴x＼yL4得x，＝1或x＝－1（一，将A点坐标（1，厄）代入y‘一。得。一3，rt抛物线的焦点坐标为（号，0）．’，”－”－””””’”””——””””4’一””笔者在课堂上讲完该解法后，让学生用韦达定理试试，立即有学生提出该…     

构造二次方程 巧用韦达定理

大家知道,韦达定理在解答数学问题中用途十分广泛,有时甚至看起来不具备使用条件而经过构造二次方程,巧用韦达定理来进行解题。例1 有双曲线xy=1,过点,A(a,0)作斜率为m的直线,交双曲线于B、C两点,交y轴于D点,(a>0,m<0),①证明|AB|=|CD|;②若|AB|=|BC|,试用a表示m。     

韦达定理的妙用一则

本题中因为直线经过左焦点F,所以线段AF、BF的长度可以依据椭圆的第二定义,转化为A、B两点到准线的距离,但是如果直线通过x轴上异于焦点的其它定点,这种转化我们将无法实现,那么此类问题如何处理呢？     

运用韦达定理五注意

<正>韦达定理是初中代数的重要定理,应用十分广泛,韦达定理有用但需会用.运用韦达定理除确切掌握定理外,还必须注意以下五个细节问题.一、注意根的符号例1已知α、β是方程x2+5x+2=0的两根,求(α/β)1/2+(β/α)1/2的值.解由韦达定理,知α+β=-5,αβ=2,     

韦达定理的逆定理在三角中的应用

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=b/aαβ=c/a,那么这两个数α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根,我们知道,这便是韦达定理的逆定理。下面举例说明它在平面三角中的应用。例1 已知A+B=90°,sinAsinB=m。求证:tgA、tgB是方程mx~2-x+m=0的两个根。证明:∵A十B=90°, ∴A=90°-B B=90°-A。∴tgA+tgB=sinA/cosA+sinB/cosB =sin(A+B)/cosAcosB=1/sinBsinA =1/m (1) ∵tgAtgB=tgActgA=1 (2) 故根据韦达定理的逆定理,由(1)、(2)     

关于韦达定理的名称

二次方程根与系数之关系,常常被人称为韦达定理。这样称呼,对吗?为了说明问题,陈列定理四条如下: 定理1.二次方程x~2+px+q=0的两个根是α和β;则:     

韦达定理在解析几何中的应用例说

<正>韦达定理描述了一元二次方程的根与系数之间的关系.韦达定理的题目灵活、应用广泛,在高考的解析几何题型中更是具有不可代替的地位.应用韦达定理解题,能培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力.下面我将以近两年的高考题为例,展示韦达定理在解析几何题型中的重要性.